Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-042

Прямокутний трикутник, коло і перпендикуляр до BO

У прямокутному трикутнику ABCA B C точка DD лежить на гіпотенузі ACA C так, що BD⊥ACB D \perp A C. Нехай ω\omega — коло з центром OO, яке проходить через CC і DD та дотикається до прямої ABA B в точці, відмінній від BB. Точку XX вибрано на катеті BCB C так, що AX⊥BOA X \perp B O. Якщо AB=2A B=2 і BC=5B C=5, то довжину відрізка BXB X можна подати у вигляді ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-044

Площа в рівнобедреному прямокутному трикутнику

Нехай △ABC\triangle ABC — рівнобедрений прямокутний трикутник, у якого AB=AC=10AB = AC = 10. Нехай MM — середина сторони BCBC, а NN — середина відрізка BMBM. Нехай ANAN перетинає описане коло △ABC\triangle ABC знову в точці TT. Обчисліть площу △TBC\triangle TBC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-053

Рівносторонні трикутники в чотирикутнику

В опуклому чотирикутнику ABCDABCD, у якому AB=11AB = 11 і CD=13CD = 13, існує точка PP, для якої △ADP\triangle ADP і △BCP\triangle BCP — рівні рівносторонні трикутники. Обчисліть довжину сторони цих трикутників.
10–11 класиПоворот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-063

Бісектриса кута і дотичне коло

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=8AB = 8, AC=12AC = 12 і BC=5BC = 5. Нехай MM — друга точка перетину внутрішньої бісектриси кута ∠BAC\angle BAC з описаним колом трикутника ABCABC. Нехай ω\omega — коло з центром MM, дотичне до прямих ABAB і ACAC. Дотичні до кола ω\omega, проведені з BB і CC, відмінні від прямих ABAB і ACAC відповідно, перетинаються в точці DD. Обчисліть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2022-004

Центри описаних кіл у трикутнику з висотами

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якого ∣AB∣>∣CA∣>∣BC∣|AB| > |CA| > |BC|. Нехай DD, EE і FF — основи висот, проведених з AA, BB і CC відповідно. Пряма через FF, паралельна до прямої DEDE, перетинає BCBC у точці MM. Бісектриса кута ∠MFE\angle MFE перетинає DEDE у точці NN. Доведіть, що FF є центром описаного кола трикутника △DMN\triangle DMN тоді й лише тоді, коли BB є центром описаного кола трикутника △FMN\triangle FMN.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2022-027

Конкурентні прямі в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм, у якому ∣AC∣=∣BC∣|AC| = |BC|. Точка PP вибрана на промені ABAB так, що BB лежить між AA і PP. Описане коло трикутника ACDACD і відрізок PDPD мають, окрім точки DD, ще одну спільну точку QQ. Описане коло трикутника APQAPQ і відрізок PCPC мають, окрім точки PP, ще одну спільну точку RR. Доведіть, що три прямі CDCD, AQAQ і BRBR перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2022-010

Рівні кути при перетині кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — основа висоти, проведеної з AA. Коло з центром AA, яке проходить через DD, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках XX і YY, причому порядок точок на цьому описаному колі такий: A,X,B,C,YA, X, B, C, Y. Доведіть, що ∠BXD=∠CYD\angle B X D = \angle C Y D.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2022-008

Перетин дотичних на спільній зовнішній дотичній

Дано два кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} з центрами O1O_{1} і O2O_{2} та спільними зовнішніми дотичними ℓ1\ell_{1} і ℓ2\ell_{2}. Пряма ℓ1\ell_{1} дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в AA і до кола Γ2\Gamma_{2} в BB. Нехай XX — точка на відрізку O1O2O_{1} O_{2}, але не на колах Γ1\Gamma_{1} чи Γ2\Gamma_{2}. Відрізок AXA X перетинає Γ1\Gamma_{1} в Y≠AY \neq A, а відрізок BXB X перетинає Γ2\Gamma_{2} в Z≠BZ \neq B. Доведіть, що дотична в YY до кола Γ1\Gamma_{1} і дотична в ZZ до кола Γ2\Gamma_{2} перетинаються на прямій ℓ2\ell_{2}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2022-006

Дотичні діаметральні кола і перетин діагоналей чотирикутника

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що коло з діаметром ABAB дотикається до прямої CDCD, а коло з діаметром CDCD дотикається до прямої ABAB. Доведіть, що дві точки перетину цих кіл і точка AC∩BDAC \cap BD лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2022-019

Спільна точка кіл, породжених симетрією відносно точок дотику

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник із прямим кутом при CC та ∣AC∣>∣BC∣|AC| > |BC|, нехай II — центр вписаного кола, а HH — проєкція точки CC на відрізок ABAB. Вписане коло ω\omega трикутника △ABC\triangle ABC дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно в точках A1A_{1}, B1B_{1} та C1C_{1}. Нехай EE і FF — образи точки CC при симетрії відносно прямих A1C1A_{1}C_{1} і B1C1B_{1}C_{1} відповідно, а KK і LL — образи точки HH при симетрії відносно прямих A1C1A_{1}C_{1} і B1C1B_{1}C_{1} відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників A1EIA_{1}EI, B1FIB_{1}FI і C1KLC_{1}KL проходять через спільну точку.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-002

Дотик описаного кола в трикутнику з бісектрисою

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Нехай - DD — основа бісектриси кута при AA, - EE — точка відрізка BCBC (відмінна від BB) така, що AB=AEAB = AE, - FF — точка відрізка BCBC (відмінна від BB) така, що BD=DFBD = DF, - GG — точка відрізка ACAC така, що AB=AGAB = AG. Доведіть, що описане коло трикутника EFGEFG дотикається до прямої ACAC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-012

Коло, дотичне до трьох одиничних кіл

Три кола одиничного радіуса попарно дотикаються одне до одного, а четверте коло дотикається до всіх трьох і не містить їх усередині. Чому дорівнює радіус четвертого кола? (A) 3+124\frac{\sqrt{3}+1}{24} (B) 18\frac{1}{8} (C) 312\frac{\sqrt{3}}{12} (D) 233−1\frac{2 \sqrt{3}}{3}-1 (E) 3−14\frac{\sqrt{3}-1}{4}
10–11 класиКола, що дотикаються
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-006

Точка описаного кола, побудована за дотичними до вписаного

Нехай ABCABC — нерівносторонній трикутник, і нехай RR — радіус його описаного кола. Вписане коло трикутника ABCABC має центр у точці II і дотикається до сторони CACA у точці DD, а до сторони CBCB — у точці EE. Нехай A1A_{1} — точка прямої EIEI така, що A1I=RA_{1}I=R, причому II лежить між A1A_{1} і EE. Нехай B1B_{1} — точка прямої DIDI така, що B1I=RB_{1}I=R, причому II лежить між B1B_{1} і DD. Нехай PP — перетин прямих AA1AA_{1} і BB1BB_{1}. a. Доведіть, що PP належить описаному колу трикутника ABCABC. b. Припустімо тепер додатково, що AB=1AB=1 і що PP збігається з CC. Визначте можливі значення периметра трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-021

Шлях вершини рівностороннього трикутника в шестикутнику

Нехай дано правильний шестикутник зі стороною 11. Розглянемо рівносторонній трикутник зі стороною 11 всередині шестикутника, у якого дві вершини прив’язані до периметра шестикутника. Рухатимемо рівносторонній трикутник так, щоб одна з двох прив’язаних вершин здійснила рівно один обхід уздовж периметра шестикутника. Яка довжина шляху, пройденого неприв’язаною вершиною? (A) π/2\pi / 2 (B) π33\frac{\pi \sqrt{3}}{3} (C) 83−128 \sqrt{3}-12 (D) (43−6)π(4 \sqrt{3}-6) \pi (E) Жодна з попередніх.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-008

Проєкції та симетрії в трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник, нехай rr — внутрішня бісектриса гострого кута BAC^\widehat{BAC} і нехай KK — проєкція точки BB на пряму rr, LL — проєкція точки KK на пряму ABAB, а DD — симетрична точка до BB відносно LL. Нарешті позначимо через HH основу висоти трикутника ABCABC, проведеної з вершини BB. Доведіть, що: a. BH=2LKBH = 2 LK; b. Пряма KAKA ділить навпіл кут HKD^\widehat{HKD}; c. трикутник ADHADH рівнобедрений.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-002

Трапеція з вписаним колом

У трапецію ABCDABCD вписано коло радіуса 33, причому AD∥BCAD \parallel BC, а кути BB і CC — гострі. Якщо AB=7AB = 7 і CD=8CD = 8, знайдіть площу трапеції ABCDABCD.
10–11 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-013

Рівнобедрений трикутник ABC і центр кола трикутника BDF

У рівнобедреному трикутнику ABCABC з AB=ACAB = AC точка OO лежить у його внутрішності (без межі), а коло ω\omega з центром OO, що проходить через CC, перетинає сторони (без кінців) BCBC і ACAC у точках DD і EE відповідно. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника AEOAEO, яке перетинає ω\omega вдруге в точці F≠EF \neq E. Доведіть, що центр описаного кола трикутника BDFBDF лежить на колі Γ\Gamma. Вище через XYXY позначено довжину відрізка XYXY.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2022-010

Трикутник з ортоцентром і умовою на описане коло

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник зі сторонами AB=11AB = 11, AC=10AC = 10, ортоцентр позначено через HH, а середину сторони BCBC — через MM. Точка PP всередині трикутника ABCABC лежить на описаному колі трикутника BHCBHC і задовольняє ∠ABP=∠CPM\angle ABP = \angle CPM, PM=3PM = 3. Знайдіть довжину BCBC.
10–11 класиТочка перетину висот
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-005

Рівносторонній трикутник у прямокутнику

ABCDABCD — прямокутник зі сторонами AB=CD=1AB = CD = 1 і BC=DA=2BC = DA = 2. Нехай MM — середина сторони ADAD. Точка PP лежить з протилежного від AA боку прямої MBMB так, що трикутник MBPMBP — рівносторонній. Знайдіть величину ∠PCB\angle PCB.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-003

Дотичні до вписаного кола і рівність відрізків

Трикутник ABCABC з прямим кутом при BB має інцентр II. Точки DD, EE і FF — це точки, в яких вписане коло трикутника дотикається до сторін BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Прямі CICI і EFEF перетинаються в точці PP. Прямі DPDP і ABAB перетинаються в точці QQ. Доведіть, що AQ=BFAQ = BF.
10–11 класиВписане коло
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-001

Діаметр кола та відношення відрізків

Нехай kk — коло з центром MM, а ABA B — діаметр кола kk. Крім того, нехай CC — точка на колі kk така, що AC=AMA C = A M. Нехай DD — точка на прямій ACA C така, що CD=ABC D = A B і CC лежить між AA і DD. Нехай EE — друга точка перетину описаного кола трикутника BCDB C D з прямою ABA B, а FF — точка перетину прямих EDE D і BCB C. Пряма AFA F перетинає відрізок BDB D у точці XX. Знайдіть відношення BX/XDB X / X D.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-007

Дотичні до кіл і кут 120 градусів

Нехай kk — коло з центром OO, а X,A,YX, A, Y — три точки на колі kk у такому порядку, що дотична до описаного кола трикутника OXAO X A через XX і дотична до описаного кола трикутника OAYO A Y через YY паралельні. Доведіть, що ∠XAY=120∘\angle X A Y=120^{\circ}, якщо AA лежить на меншій дузі XYX Y.
10–11 класиДотична кола2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-008

Вписаний чотирикутник у дотичних колах

Нехай k1k_{1} — коло з центром MM і ℓ\ell — пряма, дотична до кола k1k_{1} у точці AA. Нехай k2k_{2} — коло всередині кола k1k_{1}, яке також дотикається до прямої ℓ\ell у точці AA. Нехай PP — точка на прямій ℓ\ell, відмінна від AA. Друга дотична до кола k1k_{1}, проведена через PP, дотикається до k1k_{1} у точці TT. Нехай BB — друга точка перетину прямої ATA T і кола k2k_{2}, а CC — друга точка перетину прямої PBP B і кола k2k_{2}. Доведіть, що ATCMA T C M — вписаний чотирикутник.
10–11 класиДотична кола3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-006

Перпендикулярність інцентрів на стороні трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — внутрішня точка сторони BCBC. Нехай I1I_{1} та I2I_{2} — інцентри трикутників APBAPB і APCAPC відповідно. Нехай XX — найближча до AA точка на прямій APAP така, що відрізок XI1XI_{1} перпендикулярний до відрізка XI2XI_{2}. Доведіть, що відстань AXAX не залежить від вибору PP.
10–11 класиВписане коло
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2021-030

Площа описаного кола рівнобедреного трикутника

Рівнобедрений трикутник ABCABC має AB=AC=36AB = AC = 3\sqrt{6}, а коло радіуса 525\sqrt{2} дотикається до прямої ABAB у точці BB і до прямої ACAC у точці CC. Чому дорівнює площа круга, обмеженого колом, яке проходить через вершини AA, BB і CC? (A) 24π24\pi (B) 25π25\pi (C) 26π26\pi (D) 27π27\pi (E) 28π28\pi
8–10 класиОписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.