Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 456 задач
КомбінаторикаКонструкції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-004

Існування багатої й талановитої множини цілих чисел

Назвімо множину AA цілих чисел талановитою, якщо кожен елемент цієї множини можна подати як суму деяких двох (не обов'язково різних) чисел, що також належать множині AA. Назвімо множину AA цілих чисел багатою, якщо 00 — єдине ціле число, яке не можна подати як суму елементів деякої скінченної непорожньої підмножини AA. Чи існує множина цілих чисел, що є водночас і багатою, і талановитою?
10–11 класиЧисла Фібоначі
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-002

Найбільша кількість рядків таблиці n стовпців з одиничним максимумом

Для кожного натурального числа nn знайдіть найбільше натуральне rr, для якого таблицю з rr рядків та nn стовпців можна заповнити дійсними числами так, щоб виконувалася умова: якщо в одному з рядків таблиці стоять числа a1a_1, a2a_2, …\ldots, ana_n (саме в такому порядку), а в іншому рядку — числа b1b_1, b2b_2, …\ldots, bnb_n (саме в такому порядку), то справджується рівність max⁡{∣a1−b1∣,∣a2−b2∣,…,∣an−bn∣}=1.\max\left\{|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\ldots,|a_n-b_n|\right\}=1.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-009

Найбільша кількість дипломів на квадраті парт 6 на 6

У кімнаті, де проводять олімпіаду, парти учасників розташовані квадратом по 66 парт у кожній лінії. Дві парти назвімо сусідніми, якщо вони розташовані поруч по горизонталі, вертикалі чи діагоналі. Таким чином, наприклад, учасник, який сидить за кутовою партою, має трьох сусідів, а учасник, що сидить за партою біля центра кімнати, має вісьмох сусідів. За результатами олімпіади учасника нагороджують дипломом, якщо кількість балів, не меншу ніж він, набрав щонайбільше один з усіх його сусідів. Яку максимальну кількість учасників олімпіади могли нагородити дипломами?
4–6 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-008

Найменша кількість непарних серед 1006 різних чисел

Сума 10061006 різних натуральних чисел дорівнює 1 019 0571\,019\,057. За умови, що жодне з чисел не перевищує 20122012, яка найменша кількість із них можуть виявитися непарними?
4–6 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-043

Найменша і найбільша сума чисел 1–9 на сторонах трикутника

На рис. 5.15 зображено можливе розташування чисел від 11 до 99 у дев’яти комірках-шестикутниках, при якому сума чисел уздовж кожної з трьох сторін трикутника однакова і дорівнює 1919. А якою найменшою і якою найбільшою може бути сума чисел уздовж сторони трикутника, якщо числа розставили інакше, але всі три суми при цьому, як і раніше, збігаються?
7–9 класиПідрахунок двома способами
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-048

Важча з семи куль за два зважування

Зважувальна машина складається з трьох ящиків. Якщо вага предметів у довільному з трьох ящиків строго менша від ваги предметів у кожному з двох інших ящиків (не від сумарної ваги), на цьому ящику загоряється лампочка. Маємо 77 куль. Відомо, що 66 із них мають однакову вагу, а сьома важча. За два використання зважувальної машини визначте, яка із семи куль важча.
7–9 класиРозбиття на випадки
Міжнародне математичне змагання (IMC)IMC-2012-047

Розбиття круга на рівні частини без центра

Розріжте круг на кілька рівних частин так, щоб хоча б одна з частин не містила центр круга ні всередині, ні на своїй межі. Кожен розріз може бути відрізком або дугою довільного радіуса між будь-якими двома точками круга. Достатньо знайти один спосіб розрізання.
7–9 класиРозрізання, покриття та замощення
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2012-006

Натуральні n з двома сумами, що дорівнюють одиниці

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існують такі цілі невід'ємні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, що 12a1+12a2+…+12an=13a1+23a2+…+n3an=1.\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\ldots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\ldots+\frac{n}{3^{a_n}}=1.
10–11 класиПарність та непарність
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-008

Неперетинні пари з обмеженими сумами

Нехай n≥1n \geq 1 — ціле число. Яка найбільша можлива кількість попарно неперетинних пар елементів множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} таких, що суми різних пар є різними цілими числами, які не перевищують nn?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-009

Максимум трійок у розфарбованій таблиці

У квадратній таблиці 999×999999 \times 999 деякі клітинки білі, а решта — червоні. Нехай TT — кількість трійок (C1,C2,C3)(C_{1}, C_{2}, C_{3}) клітинок, з яких перші дві стоять в одному рядку, а останні дві — в одному стовпці, причому C1C_{1} і C3C_{3} білі, а C2C_{2} червона. Знайдіть найбільше можливе значення TT.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-010

Мінімальна кількість монет для гри з коробками по колу

Гравці AA і BB грають у гру з N≥2012N \geq 2012 монетами та 20122012 коробками, розташованими по колу. Спочатку AA розкладає монети по коробках так, щоб у кожній коробці була принаймні 11 монета. Потім вони роблять ходи в порядку B,A,B,A,…B, A, B, A, \ldots за такими правилами: - Кожним своїм ходом BB перекладає по 11 монеті з кожної коробки до сусідньої коробки. - Кожним своїм ходом AA вибирає кілька монет, які не були задіяні в попередньому ході BB і лежать у різних коробках. Кожну вибрану монету вона перекладає до сусідньої коробки. Мета гравчині AA — забезпечити принаймні по 11 монеті в кожній коробці після кожного її ходу, незалежно від того, як грає BB і скільки ходів буде зроблено. Знайдіть найменше NN, за якого вона може досягти успіху.
10–11 класиНапівінваріанти
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2012-003

Цілочисельний набір із заданими сумою і добутком

Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого існують nn цілих чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} (не обов'язково різних) з 1≤xk≤n,1≤k≤n1 \leq x_{k} \leq n, 1 \leq k \leq n, таких, що x1+x2+⋯+xn=n(n+1)2, і x1x2⋯xn=n!x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=\frac{n(n+1)}{2}, \quad \text{ і } \quad x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=n! але {x1,x2,…,xn}≠{1,2,…,n}\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right\} \neq\{1,2, \ldots, n\}.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-028

Стабільні знакозмінні кортежі

Назвемо n-набір (a1,…,an)(a_1, \dots, a_n) дійсних чисел стабільним, якщо суми a1+a2+⋯+aka_1 + a_2 + \dots + a_k, де 0<k≤n0 < k \le n, а також суми an+an−1+⋯+an−ka_n + a_{n-1} + \dots + a_{n-k}, де 0≤k<n0 \le k < n, або всі від'ємні, або всі невід'ємні. Нехай kk — довільне натуральне число. Розглянемо всі стабільні (2k+1)(2k+1)-набори, що складаються з дійсних чисел, які почергово від'ємні та невід'ємні. Знайдіть найменшу можливу кількість стабільних піднаборів з більш ніж одного елемента, що можуть міститися в такому наборі. (Піднабором (a1,…,an)(a_1, \dots, a_n) називається будь-який набір (ai,…,aj)(a_i, \dots, a_j), 1≤i≤j≤n1 \le i \le j \le n, з елементів, послідовних у вихідному наборі.)
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-032

Підмножина двоцифрових чисел з умовою покриття цифр

Нехай TT позначає 15-елементну множину T={10a+b:1≤a<b≤6}T = \{10a+b : 1 \le a < b \le 6\}. Нехай S⊆TS \subseteq T — підмножина TT, у якій трапляються всі 6 цифр і в якій не існує 3 елементів, які разом містять усі 6 цифр 1, 2,..., 6. Знайдіть найбільший можливий розмір nn множини SS.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-035

Мінімальна кількість задач із попарним перетином

Математичний конкурс проводиться на 88 різних рівнях складності. Оргкомітет має підготувати по 55 задач для кожного рівня. Одна й та сама задача може використовуватися для більш ніж одного рівня, але будь-які два рівні можуть мати не більше однієї спільної задачі. Яка найменша кількість задач достатня організаторам?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-006

Мурахи на дошці з правилами зіткнень

Нехай mm — натуральне число і розглянемо шахівницю, що складається з mm на mm одиничних квадратиків. У серединах деяких із цих одиничних квадратиків є мураха. У момент часу 0 кожна мураха починає рухатися зі швидкістю 1 паралельно до деякої сторони шахівниці. Коли дві мурахи, що рухаються в протилежних напрямках, зустрічаються, вони обидві повертають на 90∘90^{\circ} за годинниковою стрілкою і продовжують рухатися зі швидкістю 1. Коли зустрічаються більше ніж дві мурахи або коли зустрічаються дві мурахи, що рухаються у перпендикулярних напрямках, мурахи продовжують рухатися в тому самому напрямку, що й до зустрічі. Коли мураха досягає одного з країв шахівниці, вона падає з неї і більше не з'являється. Розглядаючи всі можливі початкові положення, визначте найпізніший можливий момент, у який остання мураха падає з шахівниці, або доведіть, що такий момент не обов'язково існує.
10–11 класиІнші інваріанти
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-008

Найбільше однорідне перекриття при покритті сітки

На квадратній дошці з 20112011 на 20112011 клітинок розміщено скінченну кількість серветок, кожна з яких покриває квадрат 5252 на 5252 клітинок. У кожну клітинку записуємо кількість серветок, що її покривають, і фіксуємо максимальну кількість kk клітинок, які містять одне й те саме ненульове число. Серед усіх можливих розташувань серветок знайдіть найбільше можливе значення kk.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2011-006

Найбільша гарантована різниця сусідніх чисел таблиці

У комірки квадратної таблиці 2011×20112011 \times 2011 деяким чином записують натуральні числа від 11 до 201122011^2 (по одному в комірку), причому кожне число використовують рівно по разу. Знайдіть найбільше натуральне число MM, для якого незалежно від розташування чисел обов'язково знайдуться дві сусідні комірки з різницею записаних у них чисел, не меншою від MM. При цьому ми вважаємо, що верхній рядок таблиці межує з нижнім, а лівий — із правим, тобто комірки з координатами (x,y)(x, y) та (x′,y′)(x', y') є сусідніми тоді й лише тоді, коли x=x′x = x' та y−y′≡±1(mod2011)y - y' \equiv \pm 1 \pmod{2011} або y=y′y = y' та x−x′≡±1(mod2011)x - x' \equiv \pm 1 \pmod{2011}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-004

Сума попарних добутків проти циклічної суми

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує додатне дійсне число CC таке, що ∑1≤i<j≤nxixj≤C(x1x2+⋯+xn−1xn+xnx1)\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j \le C (x_1 x_2 + \dots + x_{n-1} x_n + x_n x_1) для всіх додатних дійсних чисел x1,…,xnx_1, \dots, x_n.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-028

Стовпці з парною кількістю фішок у кожному рядку

На прямокутній дошці з nn рядками та n+1n+1 стовпцями розміщено кілька фішок. Доведіть, що завжди можна вибрати один або кілька стовпців так, щоб у кожному рядку цих стовпців була парна кількість фішок.
10–11 класиПарність і непарність
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-033

Найменша кількість чорних трикутників у тріангуляції

Нехай nn — ціле число, n≥3n \ge 3. Розглянемо всі розбиття опуклого nn-кутника на трикутники за допомогою n−3n-3 діагоналей, які не мають спільних точок усередині многокутника, та всі розфарбування трикутників у чорний і білий кольори так, щоб трикутники зі спільною стороною завжди були різного кольору. Знайдіть найменшу можливу кількість чорних трикутників.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-034

Незалежна множина у графі обміну капелюхами

У групі з 3030 людей кожен спочатку мав капелюх. Одного дня кожен учасник відправив свій капелюх іншому учаснику (один учасник міг отримати більше одного капелюха). Доведіть, що існує підгрупа з 1010 людей така, що жоден учасник цієї підгрупи не отримав капелюха від іншого учасника цієї підгрупи.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-035

Позначення клітинок для блокування рядів простої довжини

Боб намагається створити гру для двох гравців. Він вирішив, що гра відбуватиметься на дошці з n×mn \times m клітинок. Перший гравець позначає не більше ніж xx клітинок на дошці. Потім другий гравець намагається знайти pp клітинок підряд, по горизонталі, вертикалі чи діагоналі, які не були позначені першим гравцем. Другий гравець виграє, якщо він зможе знайти такі клітинки, а перший гравець виграє, якщо другий гравець не знайде таких клітинок до заходу сонця. Аліса стверджує, що якщо pp — просте число, більше за 3, і x=⌊mnp⌋x = \lfloor \frac{mn}{p} \rfloor, то перший гравець завжди може виграти, позначивши відповідні клітинки. Доведіть, що Аліса має рацію.
10–11 класиКонструкція через періодичність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-005

Можливість зібрати всі монети в шостій коробці

У початковий момент часу в кожній із шести коробок B1B_1, B2B_2, B3B_3, B4B_4, B5B_5, B6B_6 міститься по одній монеті. Дозволяється виконувати операції двох типів: - вибрати непорожню коробку BjB_j, де 1≤j≤51 \le j \le 5, видалити з неї одну монету і додати дві монети в коробку Bj+1B_{j+1}; - вибрати непорожню коробку BkB_k, де 1≤k≤41 \le k \le 4, видалити з неї одну монету і поміняти місцями вміст коробки Bk+1B_{k+1} (можливо порожньої) із вмістом коробки Bk+2B_{k+2} (можливо порожньої). Чи існує скінченна послідовність таких операцій, за якої коробки B1B_1, B2B_2, B3B_3, B4B_4, B5B_5 стануть порожніми, а в коробці B6B_6 міститиметься рівно 2010201020102010^{2010^{2010}} монет?
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-007

Прапори з одноколірною діагоналлю

На деякій планеті є 2N2^{N} країн (N≥4)(N \geq 4). Кожна країна має прапор NN одиниць завширшки та одну одиницю заввишки, складений із NN полів розміру 1×11 \times 1, кожне з яких або жовте, або синє. Жодні дві країни не мають однакового прапора. Будемо казати, що множина з NN прапорів є різноманітною, якщо ці прапори можна розташувати у квадрат N×NN \times N так, щоб усі NN полів на його головній діагоналі були одного кольору. Знайдіть найменше натуральне число MM таке, що серед будь-яких MM різних прапорів знайдуться NN прапорів, які утворюють різноманітну множину.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.