Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 236 задач
КомбінаторикаМетоди комбінаторних обчислень
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-013

Розподіл ролей із заданими кількостями

У грі «Пента» грають командами по п'ять гравців, існує п'ять ролей, які можуть обирати гравці. Кожен із п'яти гравців обирає дві з п'яти ролей, які він хотів би грати. Якщо кожен гравець обирає свої ролі випадково, то яка ймовірність того, що кожну роль гратимуть рівно два гравці?
10–11 класиСтепені вершин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-019

Коні, що б'ють один одного, на дошці 3×3

На шаховій дошці 3×33 \times 3 кожна клітинка містить коня з імовірністю 12\frac{1}{2}. Яка ймовірність того, що знайдуться два коні, які б'ють один одного? (У шахах кінь може бити будь-яку фігуру, що розташована на дві клітинки від нього в одному напрямку та на одну клітинку в перпендикулярному напрямку.)
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-020

Суми різних реп'юнітів

Реп'юніт — це натуральне число, усі цифри якого дорівнюють 11. Нехай a1<a2<a3<…a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots — список усіх натуральних чисел, які можна подати у вигляді суми різних реп'юнітів. Обчисліть a111a_{111}.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-023

Можливі опори при з'єднанні резисторів

Ребека має чотири резистори, кожен з опором 11 ом. Щохвилини вона вибирає будь-які два резистори з опорами aa і bb ом відповідно та об'єднує їх в один одним із таких способів: - З'єднує їх послідовно, що дає резистор з опором a+ba+b ом; - З'єднує їх паралельно, що дає резистор з опором aba+b\frac{a b}{a+b} ом; - Закорочує один із двох резисторів, що дає резистор з опором aa або bb ом. Припустімо, що через три хвилини Ребека має один резистор з опором RR ом. Скільки можливих значень може набувати RR?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-024

Витягування кульок з умовами зупинки

У коробці лежать три кульки різних кольорів. Щохвилини Рендалл навмання витягає кульку з коробки, записує її колір, а потім повертає її до коробки. Розглянемо такі дві умови: (1) Якусь кульку витягнуто принаймні три рази (не обов'язково поспіль). (2) Кожну кульку витягнуто принаймні один раз. Яка ймовірність того, що умова (1) настане раніше, ніж умова (2)?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-022

Одинадцять жаб, дружба та найменша кількість бійок

Жаба Кельвін і 10 його родичів перебувають на святі. Будь-які дві жаби або дружать між собою, або не дружать. Коли зустрічаються три жаби, які попарно дружать, вони пліткують одна про одну, і зрештою між ними виникає бійка (утім, вони все одно лишаються друзями). Коли зустрічаються три жаби, які попарно не дружать, між ними також виникає бійка. В усіх інших випадках жаби знаходять спільну мову, і бійки не трапляється. Якщо всі (113)\binom{11}{3} трійки жаб зустрінуться рівно по одному разу, якою буде найменша можлива кількість бійок?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-030

Ймовірність атаки китайських коней

На дошці 3×33 \times 3 у кожній клітинці з імовірністю 12\frac{1}{2} стоїть китайський кінь. Яка ймовірність того, що є два китайські коні, які можуть бити один одного? (У китайських шахах китайський кінь може бити будь-яку фігуру, яка розташована на дві клітинки від нього в певному напрямку та на одну клітинку в перпендикулярному напрямку, за умови, що немає іншої фігури безпосередньо поруч із ним у першому напрямку.)
10–11 класиФормула включення-виключення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-037

Ймовірність дванадцяти повторів раніше за всі кольори

У коробці лежать дванадцять кульок, кожна іншого кольору. Щохвилини Рендалл навмання витягує з коробки кульку, записує її колір, а потім повертає її в коробку. Розглянемо такі дві умови: (1) Деяку кульку витягнуто щонайменше дванадцять разів (не обов'язково поспіль). (2) Кожну кульку витягнуто щонайменше один раз. Яка ймовірність того, що умова (1) настане раніше за умову (2)? Якщо правильна відповідь — CC, а ваша відповідь — AA, ви отримуєте max⁡(⌊30(1−12∣log⁡2C−log⁡2A∣)⌋,0)\max \left(\left\lfloor 30\left(1-\frac{1}{2}\left|\log _{2} C-\log _{2} A\right|\right)\right\rfloor, 0\right) балів.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2017-007

Складання стосів дисків з умовою видимості

Нехай nn — натуральне число. Дано круглі диски з радіусами 1,2,…,n1,2, \ldots, n. Кожного розміру маємо два диски: один прозорий і один непрозорий. У кожному диску є отвір точно посередині, за допомогою якого ми можемо нанизувати диски на вертикальний стрижень. Ми хочемо тепер складати стоси, які задовольняють такі умови: - З кожного розміру в стосі лежить рівно один диск. - Якщо дивитися строго зверху, ми бачимо зовнішні краї всіх nn дисків у стосі. (Тобто якщо в стосі лежить непрозорий диск, то під ним не можуть лежати менші диски.) Визначте кількість різних стосів, які ми можемо скласти за цих умов. (Два стоси різні, якщо вони використовують не точно ту саму множину дисків, а також якщо вони використовують точно ту саму множину дисків, але не в тому самому порядку.)
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2017-011

Триколірне розфарбування вершин правильного многокутника

Нехай nn — натуральне число, взаємно просте з 66. Вершини правильного nn-кутника розфарбовано в три кольори так, що кількість вершин кожного кольору непарна. Доведіть, що тоді завжди існує рівнобедрений трикутник, вершини якого є вершинами nn-кутника і мають усі різні кольори.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2017-046

Найбільший набір діагоналей n-кутника з перпендикулярними перетинами

Нехай nn — натуральне число, n≥3n \ge 3. Знайдіть найбільшу кількість діагоналей правильного nn-кутника, які можна вибрати так, щоб будь-які дві вибрані діагоналі, що перетинаються всередині многокутника, були перпендикулярними.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-006

Сума прихованих граней куба з гральних кубиків

Андреа склеює між собою 27 звичайних шестигранних гральних кубиків так, щоб утворити великий куб. Кубики орієнтовані так, що суми значень, видимих на кожній грані куба, у деякому порядку дорівнюють 1414, 2222, 3030, 3838, 4646, 5454. Чому дорівнює сума значень на всіх гранях кубиків, які через склеювання більше не видно? (A) 189 (B) 204 (C) 261 (D) 333 (E) 363
10–11 класиПідрахунок двома способами
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-011

Вибір трьох попарно несуміжних будинків

Абеларда, Брунільда та Каллісто, троє давніх знайомих, хочуть купити по одному будинку з 10 будиночків у ряд на головній вулиці міста. Оскільки вони не терплять одне одного, вони будь-що хочуть уникнути сусідства: тому вони хочуть, щоб будинки, які вони придбають, були попарно несуміжними. Скількома способами вони можуть купити будинки так, щоб задовольнити цю умову? (A) 56 (B) 120 (C) 336 (D) 480 (E) 504
10–11 класиБієкції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-016

Ймовірність отримати число 8 після зміни номерів кульок

Урна містить 8 кульок, на яких написані числа від 1 до 8. Федеріка витягає дві кульки поспіль, стирає число, написане на першій, і замінює його подвоєним, стирає число на другій кульці й замінює його помноженим на 4. Потім вона повертає обидві кульки в урну (наприклад, якщо Федеріка витягла кульки 3 і 7 саме в такому порядку, то вона поверне в урну дві кульки з числами 6 і 28). Нарешті вона знову витягає одну кульку: яка ймовірність того, що витягнута кулька матиме число 8? (A) 18\frac{1}{8} (B) 17\frac{1}{7} (C) 744\frac{7}{44} (D) 956\frac{9}{56} (E) 16\frac{1}{6}
10–11 класиРозбиття на випадки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-032

Дільники квадрата числа з обмеженнями

Щоб визначити кількість додатних дільників числа, достатньо розкласти його на степені різних простих чисел і перемножити числа, на одиницю більші за показники. Наприклад, 2016=25⋅32⋅712016=2^{5} \cdot 3^{2} \cdot 7^{1} має (5+1)(2+1)(1+1)=36(5+1)(2+1)(1+1)=36 додатних дільників. Розглянемо число n=27⋅34n=2^{7} \cdot 3^{4}. а) Визначте кількість додатних дільників числа n2n^{2}. б) Скільки дільників числа n2n^{2} більші за nn? в) Скільки дільників числа n2n^{2} більші за nn і не є кратними nn?
8–9 класиКількість дільників τ(n)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-041

Латинський квадрат 4x4 з початком першого рядка 1, 2

Латинський квадрат — це таблиця n×nn \times n, заповнена nn різними символами так, що в кожному рядку та в кожному стовпці немає повторюваних символів. Наприклад, на рисунку нижче показано приклад латинського квадрата розміру 3×33 \times 3. Назва навіяна працями математика Леонарда Ейлера, який використовував латинські літери як символи. | 1 | 2 | 3 | |:--- |:--- |:--- | | 3 | 1 | 2 | | 2 | 3 | 1 | Відомо, що існує 576 різних латинських квадратів розміру 4×44 \times 4. Скількома способами можна доповнити наведений нижче квадрат, який вже має дві заповнені клітинки, цифрами 1,2,3 і 4 так, щоб у кожному рядку та стовпці містилися всі чотири цифри?
8–9 класиБієкції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-013

Розфарбування прямокутника з чотирма кольорами у кожному квадраті

Нехай m,n≥2m, n \geq 2 — натуральні числа. Маємо чотири кольори й хочемо кожну клітинку прямокутника m×nm \times n пофарбувати в один із них так, щоб у кожному квадраті 2×22 \times 2 траплялися всі чотири кольори. Скільки існує різних способів для цього? Зауваження: два способи вважаємо різними, якщо існує принаймні одна клітинка, яка отримала різні кольори.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-002

Вибір пар з малим об'єднанням

Нехай n≥5n \geq 5 — натуральне число, а E1,E2,…,E2n−1E_{1}, E_{2}, \ldots, E_{2 n-1} — різні двоелементні підмножини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}. Доведіть, що серед 2n−12 n-1 підмножин EiE_{i} можна вибрати nn так, щоб об'єднання цих nn підмножин містило не більше ніж 23n+1\frac{2}{3} n+1 елементів.
9–11 класиПідрахунок двома способами
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-006

Найменша зв'язна система мостів між островами

Є 7 островів A1,…,A7A_{1}, \ldots, A_{7}. Дозволено будувати мости або між островом AiA_{i} і наступним островом Ai+1A_{i+1} (для i∈{1,2,…,6}i \in \{1,2, \ldots, 6\}), або між островом AiA_{i} і останнім островом A7A_{7} (для i∈{1,2,…,6}i \in \{1,2, \ldots, 6\}). Скількома способами можна виконати ці побудови з найменшою можливою кількістю мостів так, щоб можна було дістатися з будь-якого острова до будь-якого іншого? Приклад для 3 островів замість 7: три можливі побудови з використанням двох мостів такі: 1) міст між A1A_{1} і A2A_{2}, і міст між A1A_{1} і A3A_{3} 2) міст між A1A_{1} і A2A_{2}, і міст між A2A_{2} і A3A_{3} 3) міст між A1A_{1} і A3A_{3}, і міст між A2A_{2} і A3A_{3}.
9–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-001

Блукання ґраткою без самоперетинів

Тесей стартує з точки (0,0)(0,0) на площині. Якщо Тесей стоїть у точці (x,y)(x, y) на площині, він може зробити крок на одиницю на північ до точки (x,y+1)(x, y+1), на одиницю на захід до точки (x−1,y)(x-1, y), на одиницю на південь до точки (x,y−1)(x, y-1) або на одиницю на схід до точки (x+1,y)(x+1, y). Після послідовності з понад двох таких ходів, яка починається з кроку на одиницю на південь (до точки (0,−1)(0,-1)), Тесей знову опиняється в точці (0,0)(0,0). Він жодного разу не відвідав жодну точку, відмінну від (0,0)(0,0), більше ніж один раз, і жодного разу не відвідував точку (0,0)(0,0), крім початку та кінця цієї послідовності ходів. Нехай XX — кількість разів, коли Тесей зробив крок на одиницю на північ, а одразу після цього — крок на одиницю на захід. Нехай YY — кількість разів, коли Тесей зробив крок на одиницю на захід, а одразу після цього — крок на одиницю на північ. Доведіть, що ∣X−Y∣=1|X-Y|=1.
10–11 класиКути багатокутника. Зовнішні кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-131

Розбиття площини прямими на області

Для натуральних чисел nn нехай SnS_{n} — множина цілих чисел xx таких, що nn різних прямих, жодні три з яких не проходять через одну точку, можуть поділити площину на xx областей (наприклад, S2={3,4}S_{2} = \{3, 4\}, бо площина ділиться на 3 області, якщо дві прямі паралельні, і на 4 області в іншому разі). Яке найменше ii таке, що SiS_{i} містить принаймні 4 елементи?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-007

Ймовірність встигнути на поїзд

Шеррі чекає на поїзд. Щохвилини з ймовірністю 75%75\% прибуває поїзд. Проте вона захоплена грою в судоку, тож навіть якщо поїзд прибуде, вона з ймовірністю 75%75\% його не помітить (і, отже, пропустить поїзд). Яка ймовірність того, що Шеррі встигне на поїзд протягом наступних п'яти хвилин?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-132

Очікувана довжина до двох М підряд

Починаючи з порожнього рядка, ми будуємо рядок, послідовно дописуючи одну з літер HH, MM, TT з імовірностями 14\frac{1}{4}, 12\frac{1}{2}, 14\frac{1}{4} відповідно, доки літера MM не з’явиться двічі поспіль. Чому дорівнює математичне сподівання довжини отриманого рядка?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-134

Зв'язні підмножини ребер у прямокутнику

Нехай RR — прямокутник у декартовій площині з вершинами в точках (0,0)(0,0), (2,0)(2,0), (2,1)(2,1) і (0,1)(0,1). RR можна поділити на два одиничні квадрати, як показано; утворена фігура має сім ребер. Скільки підмножин цих семи ребер утворюють зв'язну фігуру?
10–11 класиЗв’язність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-106

Випадкове блукання до 5 з перельотом

Стеф Каррі грає в таку гру, і він виграє, якщо в якийсь момент має рівно 5 очок. Підкидають чесну монету. Якщо випадає герб, він виконує 3-очковий кидок, який приносить 3 очки. Якщо випадає решка, він виконує штрафний кидок, який приносить 1 очко. Він влучає 12\frac{1}{2} своїх 3-очкових кидків і всі свої штрафні кидки. Знайдіть ймовірність того, що він виграє гру. (Зауважимо, що він продовжує підкидати монету, доки не набере рівно 5 або більше 5 очок.)
10–11 класиРозбиття на випадки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.