Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 236 задач
КомбінаторикаМетоди комбінаторних обчислень
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-023

Знакозмінна перестановка семи гномів різного зросту

Сім гномів мають попарно різний зріст. Вони йдуть до копальні колоною в певному порядку, так, що гном на чолі вищий за другого, другий нижчий за третього, третій вищий за четвертого і так далі... Скільки існує таких способів розставити гномів?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-038

Області, утворені перетином прямих

2015 попарно різних прямих проведено на площині. Припустимо, що вони обмежують менше ніж 8000 областей (області можуть бути необмеженими). Доведіть, що кількість областей дорівнює 2016, 4030, 6042 або 6043, і наведіть приклад конфігурації в кожному випадку.
9–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-035

Перестановка чисел від 1 до n і остачі сум

Нехай n⩾5n \geqslant 5 — ціле число, і {a1,a2,⋯ ,an}={1,2,⋯ ,n}\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\}=\{1,2, \cdots, n\}. Доведіть, що числа a1,a1+a2,a1+a2+a3,⋯ ,a1+a2+⋯+ana_{1}, a_{1}+a_{2}, a_{1}+a_{2}+a_{3}, \cdots, a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n} дають принаймні ⌊n⌋+1\lfloor\sqrt{n}\rfloor+1 різних остач за модулем nn. (⌊.⌋\lfloor.\rfloor позначає цілу частину.)
9–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-008

Гамільтонів цикл на дошці

Нехай n⩾2n \geqslant 2. На дошці n×nn \times n проведено контур, який проходить рівно один раз через кожну клітинку і повертається до своєї початкової точки (дві послідовні клітинки контуру повинні мати спільну сторону). Доведіть, що існують дві сусідні клітинки на дошці такі, що, якщо «розрізати» контур у цих двох клітинках, обидва отримані шляхи мають довжину не меншу за чверть довжини початкового контуру.
8–10 класиДерева
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-002

Шляхи по решітці прямокутника

Нехай RR — прямокутник у декартовій площині з вершинами в точках (0,0)(0,0), (2,0)(2,0), (2,1)(2,1) і (0,1)(0,1). RR можна поділити на два одиничні квадрати, як показано. Утворена фігура має 7 відрізків одиничної довжини, які сполучають сусідні точки цілочисельної решітки (ті, що лежать на RR або всередині нього). Обчисліть кількість шляхів із (0,1)(0,1) (верхнього лівого кута) до (2,0)(2,0) (нижнього правого кута) вздовж цих 7 відрізків, причому кожен відрізок можна використати не більше одного разу.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-133

Різниця ймовірностей досягнення у випадковому блуканні

Починаючи з числа 00, Кейсі виконує нескінченну послідовність ходів у такий спосіб: він навмання обирає число з {1,2}\{1, 2\} (кожне з імовірністю 12\frac{1}{2}) і додає його до поточного числа. Нехай pmp_{m} — імовірність того, що Кейсі коли-небудь досягне числа mm. Знайдіть p20−p15p_{20} - p_{15}.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-134

Випадкове прибирання камінців за модулем 5

Алісі Царіні нудно, і вона грається з купкою камінців. Спочатку в купці 20152015 камінців. У кожному раунді, якщо в купці NN камінців, вона забирає kk з них, де 1≤k≤N1 \leq k \leq N, причому кожне можливе kk має однакову ймовірність. Аліса Царіна продовжує, доки в купці не залишиться жодного камінця. Нехай pp — ймовірність того, що кількість камінців, які залишилися в купці після кожного раунду, кратна 55. Якщо pp має вигляд 5a⋅31b⋅cd5^{a} \cdot 31^{b} \cdot \frac{c}{d}, де a,ba, b — цілі числа, а c,dc, d — натуральні числа, взаємно прості з 5⋅315 \cdot 31, знайдіть a+ba+b.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-135

Сума кількостей блоків одиниць у двійковому записі

Для натуральних чисел xx нехай g(x)g(x) — кількість блоків послідовних одиниць у двійковому записі числа xx. Наприклад, g(19)=2g(19)=2, оскільки 19=10011219=10011_{2} має блок з однієї одиниці на початку та блок з двох одиниць у кінці, а g(7)=1g(7)=1, оскільки 7=11127=111_{2} має лише один блок з трьох одиниць. Обчисліть g(1)+g(2)+g(3)+⋯+g(256)g(1)+g(2)+g(3)+\cdots+g(256).
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-082

Графи дружби-ворожнечі без заборонених трикутників

Маркус і четверо його родичів перебувають на вечірці. Кожні двоє з цих п’яти людей — або друзі, або вороги. Для будь-яких двох ворогів не існує людини, з якою дружили б обоє з них. Скількома способами це можливо?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-136

Періодичне розфарбування із забороненими парами

Знайдіть кількість функцій f:Z→{’зелений’,’синій’}f: \mathbb{Z} \rightarrow\{\text{'зелений'}, \text{'синій'}\} таких, що f(x)=f(x+22)f(x)=f(x+22) для всіх цілих xx і не існує цілого yy, для якого f(y)=f(y+2)=’зелений’f(y)=f(y+2)=\text{'зелений'}.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-011

Нерівні трикутники у правильному десятикутнику

Нехай DD — правильний десятикутник з довжиною сторони 1. Трикутник TT задають вибором трьох вершин десятикутника DD і сполученням їх відрізками. Скільки існує різних (попарно нерівних) трикутників TT?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-106

Ймовірність утворення квадрата з випадкових клітинок

Розглянемо сітку квадратів 6×66 \times 6. Едмонд вибирає чотири з цих квадратів рівномірно навмання. Яка ймовірність того, що центри цих чотирьох квадратів утворюють квадрат?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-137

Ймовірність різниці в одне замовлення супу і салату

2015 людей сідають у ресторані. Кожна людина замовляє суп з імовірністю 12\frac{1}{2}. Незалежно кожна людина замовляє салат з імовірністю 12\frac{1}{2}. Яка ймовірність того, що кількість людей, які замовили суп, рівно на одну більша за кількість людей, які замовили салат?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-108

Сподівана кількість ходів тури на шаховій дошці

Розгляньмо клітинну дошку 8×88 \times 8. Тура стоїть у лівому нижньому куті, і щохвилини вона переходить на одну з клітинок того самого рядка чи стовпця з однаковою ймовірністю (тура мусить ходити; тобто вона не може залишатися на тій самій клітинці). Чому дорівнює математичне сподівання кількості хвилин до моменту, коли тура дістанеться правого верхнього кута?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-139

Умовна ймовірність із кольоровими кульками

У Келвіна є мішок із 50 червоними кульками, 50 синіми кульками та 30 жовтими кульками. Відомо, що після того, як він навмання витягнув 65 кульок (без повернення), червоних кульок серед витягнутих виявилося на 5 більше, ніж синіх. Яка ймовірність того, що наступна кулька, яку він витягне, буде червоною?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-140

Ймовірність строго зростаючої випадкової послідовності

Група друзів, пронумерованих 1,2,3,…,161,2,3, \ldots, 16, по черзі вибирає випадкові числа. Особа 1 вибирає число рівномірно (випадково) в [0,1][0, 1], потім особа 2 вибирає число рівномірно (випадково) в [0,2][0, 2] і так далі, причому особа kk вибирає число рівномірно (випадково) в [0,k][0, k]. Яка ймовірність того, що 16 вибраних чисел будуть строго зростаючими?
10–11 класиБієкції3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-030

Цілі трійки з добутків дійсних чисел

Для скількох трійок (x,y,z)(x, y, z) цілих чисел від −10-10 до 1010 включно існують дійсні числа a,b,ca, b, c, які задовольняють ab=xac=ybc=z?\begin{gathered} a b = x \\ a c = y \\ b c = z ? \end{gathered}
10–11 класиКорені та степені
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-031

Колінеарні трійки у тривимірній ґратці

Знайдіть кількість невпорядкованих трійок різних точок ґратки 4×4×44 \times 4 \times 4 {0,1,2,3}3\{0,1,2,3\}^{3}, які колінеарні в R3\mathbb{R}^{3} (тобто існує пряма, що проходить через ці три точки).
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-037

Розфарбування дошки 2×5 без одноколірного квадрата 2×2

Кожну клітинку дошки 2×52 \times 5 з одиничних квадратиків треба пофарбувати в білий або чорний колір. Обчисліть кількість таких розфарбувань, для яких жоден квадрат 2×22 \times 2 не є одноколірним.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-040

Розфарбування сітки 2×2 з точністю до поворотів

Розглянемо сітку 2×22 \times 2 з квадратиків. Кожен із квадратиків буде пофарбовано в один із 10 кольорів, причому два розфарбування вважаються еквівалентними, якщо одне можна отримати з іншого поворотом. Скільки існує різних розфарбувань?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-065

Зважений підрахунок для квадратичної форми

Для цілого числа nn нехай f(n)f(n) позначає кількість пар цілих чисел (x,y)(x, y) таких, що x2+xy+y2=nx^{2}+x y+y^{2}=n. Обчисліть суму ∑n=1106nf(n)\sum_{n=1}^{10^{6}} n f(n) Запишіть свою відповідь у вигляді a⋅10ba \cdot 10^{b}, де bb — ціле число, а 1≤a<101 \leq a<10 — десяткове число. Якщо ваша відповідь записана в такому вигляді, то ваша оцінка становитиме max⁡{0,25−⌊100∣log⁡10(A/N)∣⌋}\left.\max \left\{0,25-\left\lfloor 100\left|\log _{10}(A / N)\right|\right\rfloor\right\}\right., де N=a⋅10bN=a \cdot 10^{b} — ваша відповідь до цієї задачі, а AA — справжня відповідь. Інакше ваша оцінка дорівнюватиме нулю.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-068

Підмножини, замкнені відносно симетричної різниці

Нехай PP позначає множину всіх підмножин {1,…,23}\{1, \ldots, 23\}. Підмножина S⊆PS \subseteq P називається хорошою, якщо для будь-яких множин A,BA, B з SS множина (A\B)∪(B\A)(A \backslash B) \cup (B \backslash A) також належить SS. (Тут A\BA \backslash B позначає множину всіх елементів з AA, які не належать BB, а B\AB \backslash A позначає множину всіх елементів з BB, які не належать AA.) Яку частку хороших підмножин PP становлять ті, що мають від 2015 до 3015 елементів включно? Якщо ваша відповідь — десяткове число або дріб (вигляду m/nm / n, де mm і nn — натуральні числа), то ваш результат за цю задачу дорівнюватиме max⁡{0,25−⌊1000∣A−N∣⌋}\max \{0,25-\lfloor 1000|A-N|\rfloor\}, де NN — ваша відповідь, а AA — правильна відповідь. Інакше ваш результат буде нульовим.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2015-019

Ділянки круглого саду з включенням

Нехай n≥2n \geq 2 — натуральне число. Посеред круглого саду стоїть сторожова вежа. На краю саду стоять nn рівномірно розміщених садових гномів. На сторожовій вежі живуть пильні сторожі. Кожен сторож стежить за ділянкою саду, обмеженою двома різними садовими гномами. Кажемо, що сторож AA контролює сторожа BB, якщо вся ділянка BB міститься в ділянці AA. Серед сторожів є дві групи: учні та майстри. Кожного учня контролює рівно один майстер, і сам він нікого не контролює, а майстра не контролює ніхто. Витрати на утримання всього саду такі: - Один учень коштує 1 золоту монету на рік. - Один майстер коштує 2 золоті монети на рік. - Один садовий гном коштує 2 золоті монети на рік. Доведіть, що садові гноми коштують щонайменше стільки ж, скільки й сторожі.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-007

Обведення сторін правильного дев'ятикутника

Джованні малює олівцем правильний 9-кутник і сполучає кожну з його вершин із центром, провівши загалом 18 відрізків і отримавши в такий спосіб дев'ять трикутників. Потім він обводить ручкою деякі з проведених відрізків так, щоб зрештою кожен із дев'яти трикутників мав рівно одну сторону, обведену ручкою. Скількома способами Джованні може вибрати множину відрізків для обведення? (Заувага: дві множини відрізків, які отримуються одна з одної поворотом або симетрією, вважаються різними.) (A) 49 (B) 65 (C) 74 (D) 76 (E) 85
9–11 класиРекурентний підрахунок
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-015

Найбільша кількість квадратних блоків із чорними клітинками

Нехай aa — натуральне число. Доведіть, що таке твердження справджується для всіх достатньо великих цілих nn: З клітинної дошки, що простягається до ±∞\pm\infty в обох напрямках xx- і yy-, виберіть nn одиничних (тобто 1×11 \times 1) квадратиків і пофарбуйте їх у чорний колір. Нехай KK — кількість a×aa \times a квадратних блоків, які містять рівно aa чорних одиничних квадратиків. Тоді найбільше можливе значення, якого може набувати KK, дорівнює a(n+1−a)a(n+1-a). Тут під твердженням «Твердження справджується для достатньо великих nn» ми розуміємо, що існує натуральне число NN, для якого твердження справджується для всіх n≥Nn \ge N.
10–11 класиПідрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.