Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 236 задач
КомбінаторикаМетоди комбінаторних обчислень
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-039

Четвірки дільників з обмеженням на добуток

Знайдіть кількість впорядкованих четвірок натуральних чисел (a,b,c,d)(a, b, c, d) таких, що aa, bb, cc і dd — дільники числа 3030 (не обов’язково різні) і abcd>900a b c d > 900.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-055

Перестановки без тричленних арифметичних прогресій

Розглянемо перестановку (a1,a2,a3,a4,a5)(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}) множини {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\}. Назвемо п'ятірку (a1,a2,a3,a4,a5)(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}) бездоганною, якщо для всіх 1≤i<j<k≤51 \leq i<j<k \leq 5 послідовність (ai,aj,ak)(a_{i}, a_{j}, a_{k}) не є арифметичною прогресією (у такому порядку). Знайдіть кількість бездоганних п'ятірок.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-056

Максимум подвійної суми мінімумів

Нехай (a1,…,a20)(a_{1}, \ldots, a_{20}) і (b1,…,b20)(b_{1}, \ldots, b_{20}) — дві послідовності цілих чисел такі, що послідовність (a1,…,a20,b1,…,b20)(a_{1}, \ldots, a_{20}, b_{1}, \ldots, b_{20}) містить кожне з чисел 1,…,401, \ldots, 40 рівно один раз. Яке найбільше можливе значення суми ∑i=120∑j=120min⁡(ai,bj)?\sum_{i=1}^{20} \sum_{j=1}^{20} \min (a_{i}, b_{j}) ?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-060

Очікувана кількість кроків для зафарбовування відрізка

У Наталі є примірник одиничного відрізка [0,1][0,1], пофарбованого в білий колір. Також у неї є чорний маркер, і вона фарбує відрізок у такий спосіб: на кожному кроці вона вибирає значення x∈[0,1]x \in [0,1] рівномірно навмання, і a. Якщо x≤12x \leq \frac{1}{2}, вона зафарбовує проміжок [x,x+12]\left[x, x+\frac{1}{2}\right] своїм маркером. b. Якщо x>12x > \frac{1}{2}, вона зафарбовує проміжки [x,1][x, 1] і [0,x−12]\left[0, x-\frac{1}{2}\right] своїм маркером. Чому дорівнює математичне сподівання кількості кроків, які знадобляться Наталі, щоб зафарбувати весь відрізок у чорний колір?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-069

Стрибки жаби повз випадкових змій

Розглянемо числову пряму, на кожній цілій точці якої розташоване латаття. Жаба стоїть на лататті в точці 00 і хоче дістатися до латаття в точці 20142014. Якщо жаба стоїть у точці nn, вона може безпосередньо стрибнути або в точку n+2n+2, або в точку n+3n+3. Кожен з листків латаття в точках 1,⋯ ,20131, \cdots, 2013 незалежно з імовірністю 1/21 / 2 містить змію. Нехай pp — імовірність того, що жаба зможе деякою послідовністю стрибків дістатися до латаття в точці 20142014, жодного разу не приземлившись на латаття зі змією. Чому дорівнює p1/2014p^{1 / 2014}? Відповідь запишіть десятковим числом. Якщо CC — справжня відповідь на це запитання, а AA — ваша відповідь, то ваш бал за цю задачу становить ⌈max⁡{25(1−20∣C−A∣),0}⌉\lceil\max \{25(1-20|C-A|), 0\}\rceil.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові тести на IMOTST-2014-016

Дружні пари у щільному графі

Нехай nn — парне натуральне число, а GG — граф на nn вершинах з рівно n24\frac{n^2}{4} ребрами, без петель і кратних ребер (кожну невпорядковану пару різних вершин з'єднано 0 або 1 ребром). Невпорядковану пару різних вершин {x,y}\{x, y\} називають дружньою, якщо вони мають спільного сусіда (існує вершина zz, така, що xzxz і yzyz — обидва ребра). Доведіть, що GG має принаймні 2(n/22)2\binom{n/2}{2} невпорядкованих пар вершин, які є дружніми.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2014-034

Шляхи без перетинів у множині точок

Нехай nn — натуральне число, а A={P1,P2,…,Pn}A=\{P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}\} — множина з nn точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Шлях через множину AA складається з n−1n-1 відрізків Pσ(i)Pσ(i+1)P_{\sigma(i)} P_{\sigma(i+1)} для i=1,…,n−1i=1, \ldots, n-1, де σ\sigma — перестановка множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}, така, що жодні два відрізки не перетинаються. Доведіть, що кількість різних шляхів через множину AA є мінімальною тоді й лише тоді, коли точки з AA утворюють опуклий nn-кутник.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-013

Різні підсумкові суми очок за призові місця

Пілот повітряного змія провів цього року вдалий чемпіонат, 16 разів потрапивши на п'єдестал. У кожній гонці переможець здобуває 10 очок, другий — 8, а третій — 5, тоді як, починаючи з четвертого місця, очки не нараховуються. Зі скількома різними підсумковими сумами очок він міг завершити чемпіонат? (A) 153 (B) 80 (C) 78 (D) 75 (E) Жодна з попередніх.
9–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-001

Пари m і n для чорно-білої сітки з умовами

Кожну клітинку сітки з mm рядків та nn стовпців пофарбовано в білий або в чорний колір так, щоб виконувалися такі дві умови: a. кожен рядок містить стільки ж білих клітинок, скільки чорних; b. якщо рядок перетинає стовпець у чорній клітинці, то цей рядок і цей стовпець мають однакову кількість чорних клітинок; так само, якщо рядок перетинає стовпець у білій клітинці, то цей рядок і цей стовпець мають однакову кількість білих клітинок. Знайдіть усі можливі пари (m,n)(m, n), для яких може існувати таке розфарбування.
9–11 класиГеометричні розфарбування
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-007

Триноміальна сума біноміальних коефіцієнтів

Знайдіть значення ∑C17a⋅C17b⋅C17c,\sum C_{17}^a \cdot C_{17}^b \cdot C_{17}^c, де сума береться за всіма трійками (a,b,c)(a, b, c) невід'ємних цілих чисел, що задовольняють a+b+c=5a+b+c=5.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-012

Розфарбування сітки з обмеженнями на сусідство

Для сітки з 55×5555 \times 55 клітинок розглянемо таку операцію: Операція: вибрати прямокутну область, що складається з кількох клітинок сітки, і пофарбувати цю область або в білий, або в чорний колір. Визначте найменшу можливу кількість операцій, необхідну, щоб з початкової конфігурації, в якій усі клітинки пофарбовані в білий колір, отримати конфігурацію, що задовольняє такі умови: клітинка у верхньому лівому куті пофарбована в чорний колір. кожна клітинка, що має спільну сторону з клітинкою, пофарбованою в чорний колір, пофарбована в білий колір. кожна клітинка, що має спільну сторону з клітинкою, пофарбованою в білий колір, пофарбована в чорний колір.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-003

Перестановки, що переживають чотири видалення нерухомих точок

nn учнів з різними іменами стають у коло обличчям до центра кола. Спочатку nn бейджів з іменами учнів роздають їм навмання. Учні повторюють такий процес: [процес] Кожен учень, що має бейдж зі своїм іменем, виходить з кола, а решта учнів передають свої бейджі праворуч. Знайдіть кількість початкових роздач бейджів, за яких після 4 процесів ще залишаться деякі учні.
10–11 класиПерестановки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-005

Суми з мінімумами та верхніми цілими частинами

Нехай nn — натуральне число. Для будь-якого натурального числа jj і додатного дійсного числа rr визначимо fj(r)=min⁡(jr,n)+min⁡(jr,n),іgj(r)=min⁡(⌈jr⌉,n)+min⁡(⌈jr⌉,n),f_{j}(r)=\min (j r, n)+\min \left(\frac{j}{r}, n\right), \quad \text{і} \quad g_{j}(r)=\min (\lceil j r\rceil, n)+\min \left(\left\lceil\frac{j}{r}\right\rceil, n\right), де ⌈x⌉\lceil x\rceil позначає найменше ціле число, не менше за xx. Доведіть, що ∑j=1nfj(r)≤n2+n≤∑j=1ngj(r)\sum_{j=1}^{n} f_{j}(r) \leq n^{2}+n \leq \sum_{j=1}^{n} g_{j}(r)
10–11 класиЦіла та дробова частини числа2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-024

Симетрії магічних квадратів

Назвемо магічним квадратом таблицю 3×33 \times 3, у кожній клітинці якої міститься одне число від 11 до 99 так, що всі ці числа використано й усі суми рядків і суми стовпців рівні. Доведіть, що будь-які два магічні квадрати можна отримати один з одного за допомогою таких перетворень: переставляння двох рядків, переставляння двох стовпців, поворот квадрата, відбиття квадрата відносно його діагоналі.
11 класПарність та непарність
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2013-010

Трикутник зі співвідношенням кутів і 36°

У різносторонньому трикутнику один кут рівно вдвічі більший за інший, а деякий кут цього трикутника дорівнює 36°36°. Знайдіть усі можливі варіанти, якими можуть бути кути цього трикутника.
8–10 класиСума кутів трикутника. Зовнішні к…
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-013

Брехуни і правдомовці по колу з однією помилкою

2014 науковців беруть участь у конгресі, кожен науковець є або математиком, або фізиком. Звісно, фізики завжди брешуть, а математики завжди кажуть правду, крім випадків, коли вони помиляються. Під час заключної вечері всі сидять по колу навколо столу, і кожен стверджує, що сидить між математиком і фізиком. Виявилося, що рівно один неуважний математик помилився. Скільки фізиків на конгресі?
10–11 класиРозбиття на випадки
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-044

Коні з двома нападами на дошці 5 на 5

На дошці 55 на 55 на різних клітинках розмістили kk коней так, що кожен з них може побити рівно 22 інших. Яке найбільше можливе значення kk?
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-047

Розбиття з рівними сумою та добутком

Нехай n⩾5n \geqslant 5 — натуральне число. Доведіть, що множину {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} можна розбити на дві підмножини AA і BB такі, що сума елементів AA дорівнює добутку елементів BB.
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-030

Парність популярних підмножин у двочастковому графі

Розглянемо скінченну множину EE хлопців і дівчат. Підмножина GG хлопців з EE називається популярною, якщо кожна дівчина з EE знає принаймні одного з хлопців з GG. Аналогічно, підмножина FF дівчат називається популярною, якщо кожен хлопець з EE знає принаймні одну з дівчат з FF. Припускаємо, що якщо aa знає bb, то bb знає aa. Доведіть, що кількість популярних підмножин, утворених хлопцями, має ту саму парність, що й кількість популярних підмножин, утворених дівчатами.
9–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-085

Очікувана кількість сторін у випадковій послідовності

Бобер Тім уміє робити три різні типи геометричних фігур: квадрати, правильні шестикутники та правильні восьмикутники. Тім утворює випадкову послідовність F0,F1,F2,F3,…F_{0}, F_{1}, F_{2}, F_{3}, \ldots фігур у такий спосіб: - F0F_{0} — це квадрат. - Для кожного натурального числа ii фігура FiF_{i} випадково обирається серед 2 фігур, відмінних від Fi−1F_{i-1} (кожна обирається з однаковою ймовірністю 12\frac{1}{2}). - На виготовлення квадратів Тім витрачає 4 секунди, на шестикутники — 6, а на восьмикутники — 8. Він виготовляє фігури одну за одною без перерв. Припустимо, що рівно через 17 секунд після початку виготовлення F0F_{0} Тім виготовляє фігуру з nn сторонами. Чому дорівнює математичне сподівання nn?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-086

Мінімум груп, що заповнюють столи та стійку

У кав'ярні є 3 столи та 5 окремих місць біля стійки. Люди заходять групами розміром від 1 до 4 включно, причому групи ніколи не ділять один стіл. Група з понад 1 особи завжди намагатиметься сісти за стіл, але сяде на місця біля стійки, якщо вільних столів немає. Навпаки, група з 1 особи завжди спочатку намагатиметься сісти біля стійки. Одного ранку заходять і сідають MM груп, які загалом налічують NN людей. Потім заходить ще одна особа й виявляє, що всі столи та місця біля стійки зайняті якоюсь особою чи групою. Яке найменше можливе значення M+NM+N?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-087

Очікувана кількість кидків рекурсивного кубика

Ґері грає в таку гру з чесним nn-гранним гральним кубиком, грані якого позначено натуральними числами від 11 до nn включно: якщо n=1n=1, він зупиняється; інакше він кидає кубик і починає спочатку з kk-гранним гральним кубиком, де kk — число, яке випало на його nn-гранному кубику. (Зокрема, якщо випало k=1k=1, він більше не кидає кубик.) Якщо на початку в нього 66-гранний гральний кубик, чому дорівнює математичне сподівання кількості кидків, які він зробить?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-009

Сума очок на двох кубиках не менша за 10

Кинуто два чесні шестигранні гральні кубики. Яка ймовірність того, що їхня сума не менша за 1010?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-134

Умовна ймовірність з несумісними подіями

Якщо Алекс не співає в суботу, то вона співає в неділю з ймовірністю 70%70\%; проте, щоб дати голосу відпочити, вона ніколи не співає в обидва дні. Якщо Алекс співає в неділю з ймовірністю 50%50\%, знайдіть ймовірність того, що вона співає в суботу.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-076

Цифровий годинник з умовою на суму

24-годинний цифровий годинник показує час h:m:sh: m: s, де h,mh, m і ss — цілі числа, для яких 0≤h≤230 \leq h \leq 23, 0≤m≤590 \leq m \leq 59 і 0≤s≤590 \leq s \leq 59. Скільки моментів часу h:m:sh: m: s задовольняють рівність h+m=sh+m=s?
10–11 класиКомбінації

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.