Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 236 задач
КомбінаторикаМетоди комбінаторних обчислень
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-012

Комбінації буріто за обмежених ресурсів

Спенсер готує буріто, кожне з яких складається з одного коржа та однієї начинки. Начинки йому вистачить щонайбільше на чотири буріто з яловичиною та три буріто з куркою. Однак у нього є лише п'ять коржів для буріто; у скількох порядках він може приготувати рівно п'ять буріто?
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-004

Незліченний перетин відкритих множин

Підмножина U⊂RU \subset \mathbb{R} називається відкритою, якщо для будь-якого x∈Ux \in U існують дійсні числа a,ba, b такі, що x∈(a,b)⊂Ux \in (a, b) \subset U. Припустімо, що S⊂RS \subset \mathbb{R} має властивість, що будь-яка відкрита множина, яка перетинає (0,1)(0,1), також перетинає SS. Нехай TT — зліченна сукупність відкритих множин, що містять SS. Доведіть, що перетин усіх множин із TT не є зліченною підмножиною R\mathbb{R}. (Множина Γ\Gamma називається зліченною, якщо існує бієктивна функція f:Γ→Zf: \Gamma \rightarrow \mathbb{Z}.)
10–11 класиКонструкція за індукцією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-107

Випадкове блукання по вершинах шестикутника

На периметрі правильного шестикутника перебувають 2 бігуни, спочатку в сусідніх вершинах. Щосекунди кожен з бігунів незалежно переміщується або на одну вершину вліво з ймовірністю 12\frac{1}{2}, або на одну вершину вправо, також з ймовірністю 12\frac{1}{2}. Знайдіть ймовірність того, що після 2013-секундного забігу (під час якого кожен з бігунів змінює вершину 2013 разів) бігуни знову опиняться в сусідніх вершинах.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-093

Операції з рядками та стовпцями за модулем

Тадеушу дано таблицю 2013×20132013 \times 2013 з цілими числами від 11 до 20132013 включно. Йому дозволено дві операції: - Вибрати рядок і відняти 11 від кожного елемента. - Вибрати стовпець і додати 11 до кожного елемента. Він хоче отримати таблицю, в якій усі числа діляться на 20132013. Для скількох початкових таблиць це можливо?
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-020

Оптимальна стратегія у грі з кольоровими коробками

У грі є три нерозрізнювані коробки; одна коробка містить дві червоні кульки, одна містить дві сині кульки, а остання містить по одній кульці кожного кольору. Щоб зіграти, Радж спочатку передбачає, чи витягне він дві кульки однакового кольору, чи дві різних кольорів. Потім він вибирає коробку, навмання витягає кульку, дивиться на колір і повертає кульку в ту саму коробку. Нарешті, він повторює це; однак коробки між витягуваннями не перетасовують, тож він може вирішити, чи хоче він знову тягнути з тієї самої коробки. Радж виграє, якщо його передбачення правильне; якщо він грає оптимально, яка ймовірність того, що він виграє?
10–11 класиКласичні ігри
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-081

Суми різних степенів трійки

Скільки серед перших 10001000 натуральних чисел можна записати як суму скінченної кількості різних чисел із послідовності 30,31,32,…3^{0}, 3^{1}, 3^{2}, \ldots?
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-139

Єдиний брехун серед звинувачень мушкетерів

Відомо, що рівно один із трьох (розрізнюваних) мушкетерів украв трюфелі. Кожен мушкетер робить одне твердження, у якому він або стверджує, що один із трьох винен, або стверджує, що один із трьох невинний. Два або більше мушкетерів можуть зробити однакове твердження. Вислухавши їхні заяви та знаючи, що рівно один мушкетер збрехав, інспектор може встановити, хто вкрав трюфелі. Скільки існує впорядкованих трійок тверджень, які могли бути зроблені?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-140

Сума четвертих степенів кількості нерухомих точок

Нехай σ\sigma — перестановка множини {1,2,…,2013}\{1,2, \ldots, 2013\}, а f(σ)f(\sigma) — кількість нерухомих точок перестановки σ\sigma, тобто кількість таких k∈{1,2,…,2013}k \in \{1,2, \ldots, 2013\}, що σ(k)=k\sigma(k) = k. Якщо SS — множина всіх можливих перестановок σ\sigma, обчисліть ∑σ∈Sf(σ)4\sum_{\sigma \in S} f(\sigma)^4 (Тут перестановка σ\sigma — це бієктивне відображення з {1,2,…,2013}\{1,2, \ldots, 2013\} в {1,2,…,2013}\{1,2, \ldots, 2013\}.)
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-141

Очікуваний максимум симетричного випадкового блукання

Розенкранц і Гільденстерн починають кожен із \ 2013$ і підкидають чесну монету. Коли випадає аверс, Розенкранц платить Гільденстерну \ 1$, а коли випадає реверс, Гільденстерн платить Розенкранцу \ 1$. Нехай f(n)f(n) — кількість доларів, на яку Розенкранц випереджає свою початкову суму після nn підкидань. Обчисліть математичне сподівання величини max⁡{f(0),f(1),f(2),…,f(2013)}\max \{f(0), f(1), f(2), \ldots, f(2013)\}.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-034

Очікувана кількість ігор у матчі зі зміщенням

Тім і Аллен грають матч з тенусу. У матчі з тенусу двоє гравців грають серію ігор, у кожній з яких перемагає один із двох гравців. Матч закінчується, коли один із гравців виграв рівно на дві гри більше, ніж інший; у цей момент гравець, що виграв більше ігор, виграє матч. В іграх з непарними номерами Тім перемагає з імовірністю 3/43/4, а в іграх з парними номерами Аллен перемагає з імовірністю 3/43/4. Чому дорівнює очікувана кількість ігор у матчі?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-051

Підмножини без суми 10

Знайдіть кількість підмножин SS множини {1,2,…,6}\{1,2, \ldots, 6\}, що задовольняють такі умови: - SS непорожня. - Жодна підмножина множини SS не має властивості, що сума її елементів дорівнює 1010.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-061

Пари неперетинних множин з єдиним перетином

Нехай A1,A2,…,AmA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m} — скінченні множини розміру 20122012, а B1,B2,…,BmB_{1}, B_{2}, \ldots, B_{m} — скінченні множини розміру 20132013 такі, що Ai∩Bj=∅A_{i} \cap B_{j} = \emptyset тоді й лише тоді, коли i=ji = j. Знайдіть найбільше можливе значення mm.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-067

Випадкові блукання суміжних блоків камінців

Для парного натурального числа nn Кевін має стрічку довжини 4n4n з позначками −2n,−2n+1,…,2n−1,2n-2n, -2n+1, \ldots, 2n-1, 2n. Далі він навмання вибирає nn точок із множини −n,−n+1,−n+2,…,n−1,n-n, -n+1, -n+2, \ldots, n-1, n і кладе по камінцю на кожну з цих точок. Камінець називаємо «застряглим», якщо він стоїть на 2n2n або −2n-2n, або всі точки праворуч від нього, або всі точки ліворуч від нього містять камінці. Потім щохвилини Кевін зсуває незастряглі камінці в такий спосіб: - Він навмання рівномірно вибирає незастряглий камінець і підкидає чесну монету. - Якщо випав герб, він пересуває цей камінець і кожен камінець із найбільшої суцільної множини, що містить цей камінець, на одну точку ліворуч. Якщо випала решка, він замість цього пересуває кожен камінець із цієї множини на одну точку праворуч. - Він повторює, доки всі камінці не застрягнуть. Нехай pkp_{k} — ймовірність того, що наприкінці процесу рівно kk камінців опиняться у правій половині. Обчисліть pn−1−pn−2+pn−3−…+p3−p2+p1pn−1+pn−2+pn−3+…+p3+p2+p1\frac{p_{n-1}-p_{n-2}+p_{n-3}-\ldots+p_{3}-p_{2}+p_{1}}{p_{n-1}+p_{n-2}+p_{n-3}+\ldots+p_{3}+p_{2}+p_{1}} через nn.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-072

Впорядковані розбиття числа 2013 на прості числа

Нехай PP — кількість способів розбити 20132013 на впорядкований кортеж простих чисел. Чому дорівнює log⁡2(P)\log_{2}(P)? Якщо ваша відповідь дорівнює AA, а правильна відповідь дорівнює CC, то ваша оцінка за цю задачу становитиме ⌊1252(min⁡(CA,AC)−35)⌋\left\lfloor\frac{125}{2}\left(\min \left(\frac{C}{A}, \frac{A}{C}\right)-\frac{3}{5}\right)\right\rfloor або нуль, залежно від того, яке з цих значень більше.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2013-005

Біноміальна сума, що є квадратом цілого числа

Доведіть, що ∑n=020134026!(n!(2013−n)!)2\sum_{n=0}^{2013} \frac{4026!}{(n!(2013-n)!)^{2}} є квадратом цілого числа.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2013-008

Замкнений шлях у прямокутнику на решітці

Нехай m,n⩾4m, n \geqslant 4 — два цілі числа. Розглянемо m×nm \times n-решітчастий прямокутник, утворений із m+1m+1 горизонтальних і n+1n+1 вертикальних відрізків. Точки перетину цих відрізків називаються вершинами. Нехай PP — замкнений шлях без самоперетинів, який проходить через кожну з (m−1)(n−1)(m-1)(n-1) внутрішніх вершин, але через жодну із зовнішніх вершин. Позначимо через AA кількість внутрішніх вершин, через які PP проходить прямолінійно, через BB — кількість квадратів решітки, у яких PP використовує рівно дві сторони, які до того ж лежать одна навпроти одної, а через CC — кількість квадратів решітки, у яких PP не використовує жодної сторони. Доведіть, що A=B−C+m+n−1A=B-C+m+n-1. (На рисунку показано ситуацію з m=4,n=5,A=4,B=1m=4, n=5, A=4, B=1 і C=5C=5.)
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2013-015

Неперетинні пари з різними обмеженими сумами

Нехай nn — натуральне число. Далі розглядаємо пари елементів множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}, які між собою не мають спільних елементів. Знайдіть із доведенням найбільшу можливу кількість таких пар, для яких суми їхніх елементів попарно різні й не більші за nn. (Наприклад, (1;9),(2;7)(1 ; 9),(2 ; 7) і (3;5)(3 ; 5) для n=10n=10 — три можливі пари.)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-036

Два хлопці і дві дівчини з першим спілкуванням в один місяць

Клас складається із 77 хлопців і 1313 дівчат. Протягом перших трьох місяців навчального року кожен хлопець поспілкувався з кожною дівчиною принаймні один раз. Доведіть, що існують двоє хлопців і двоє дівчат такі, що обидва хлопці вперше поспілкувалися з обома дівчатами в одному й тому самому місяці.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-022

Таблиці нулів і одиниць з упорядкованими нулями

У таблиці з nn рядками та 2n2n стовпцями, де nn — фіксоване натуральне число, у кожну клітинку записуємо або нуль, або одиницю так, щоб кожен рядок містив nn нулів і nn одиниць. Для 1≤k≤n1 \le k \le n і 1≤i≤n1 \le i \le n означимо ak,ia_{k,i} так, що ii-й нуль у kk-му рядку стоїть у ak,ia_{k,i}-му стовпці. Нехай F\mathcal{F} — множина таких таблиць, для яких a1,i≥a2,i≥⋯≥an,ia_{1,i} \ge a_{2,i} \ge \dots \ge a_{n,i} для кожного ii з 1≤i≤n1 \le i \le n. Для C∈FC \in \mathcal{F} зіставимо іншу таблицю f(C)f(C) розміру n×2nn \times 2n так: для kk-го рядка таблиці f(C)f(C) запишемо nn одиниць у стовпцях an,k−k+1,an−1,k−k+2,…,a1,k−k+na_{n,k} - k + 1, a_{n-1,k} - k + 2, \dots, a_{1,k} - k + n (а в інші клітинки цього рядка запишемо нулі). a. Доведіть, що f(C)∈Ff(C) \in \mathcal{F}. b. Доведіть, що f(f(f(f(f(f(C))))))=Cf(f(f(f(f(f(C)))))) = C для будь-якого C∈FC \in \mathcal{F}.
10–11 класиБієкції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-007

Розподіл тортів з умовою мажорування

Є по 2424 шматки тортів двох різних видів AA і BB. Усі торти розподілять між трьома людьми XX, YY, ZZ. Дозволяється такий спосіб розподілу, за якого хтось може не отримати жодного шматка торта певного виду. Скільки існує різних способів розподілити торти так, щоб жодна пара людей не опинилася в такій ситуації? Один з пари отримує aa шматків AA і bb шматків BB, а інший з пари отримує a′a' шматків AA і b′b' шматків BB, де виконуються всі умови a≤a′a \le a', b≤b′b \le b' і a+b<a′+b′a+b < a'+b'.
10–11 класиКомбінації
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-010

Орієнтовані решіткові квадрати в кубі

Нехай nn — натуральне число. Під точкою решітки в xyzxyz-просторі розуміємо точку (k,l,m)(k, l, m), де k,l,mk, l, m — цілі числа. Відрізок, що сполучає дві точки решітки, які містяться в області 0≤x,y,z≤n0 \le x, y, z \le n і відстань між якими дорівнює 1, називається решітковим відрізком. Кожному решітковому відрізку можна надати напрям (наприклад, для решіткового відрізка з кінцями AA і BB надати один і лише один із напрямів A→BA \rightarrow B або A←BA \leftarrow B). Квадрат назвемо решітковим квадратом, якщо всі чотири його сторони є решітковими відрізками. Будемо казати, що два решіткові квадрати конгруентні, якщо поворотом і паралельним перенесенням один із квадратів можна накласти на інший квадрат з додатковою вимогою, щоб напрями всіх чотирьох сторін збігалися. Скільки існує способів надання напрямів решітковим відрізкам, які забезпечують, що всі решіткові квадрати конгруентні?
10–11 класиПарність і непарність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-001

Магічний квадрат з непарних чисел

Магічний квадрат — це квадратна таблиця, в якій сума чисел у будь-якому рядку або стовпці є сталою. Наприклад, | 1 | 5 | 9 | |:--- |:--- |:--- | | 8 | 3 | 4 | | 6 | 7 | 2 | є магічним квадратом, який використовує числа від 1 до 9. Як читач може перевірити, сума в будь-якому рядку або стовпці завжди дорівнює 15. a) Квадрат нижче є частиною магічного квадрата, який використовує непарні числа від 1 до 17. З'ясуйте, яким має бути число XX. | | 1 | | |:---: |:---: |:---: | | 5 | | 13 | | XX | | 3 | b) Магічний квадрат називається гіпермагічним, коли сума в будь-якому рядку, стовпці або діагоналі є сталою. Запишіть числа від 1 до 9 у квадрат нижче так, щоб він став гіпермагічним.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-013

Підрахунок незвичайних шляхів у діаграмі

Розглянемо діаграму, зображену нижче: Аугушту любить рахувати шляхи, що починаються в деякій точці, приходять у точку AA і ніколи не проходять через одну й ту саму вершину двічі. Для цього він зображує шлях послідовністю точок, які відвідує шлях. Наприклад, пунктирний шлях на рисунку нижче зображується послідовністю DCBAD C B A. Аугушту називає шлях незвичайним, якщо послідовність, що зображує цей шлях, упорядкована у зворотному алфавітному порядку. Іншими словами, шлях є незвичайним, якщо він ніколи не йде вліво, чи то вгору, чи то вниз. Наприклад, шлях DCBAD C B A є незвичайним. А шлях DBCAD B C A не є незвичайним, оскільки літера CC з'являється перед літерою BB. a) Скільки існує незвичайних шляхів, що починаються в DD і закінчуються в AA? b) Покажіть, що кількість незвичайних шляхів, які починаються в EE, дорівнює сумі кількості незвичайних шляхів, які починаються в DD, і кількості незвичайних шляхів, які починаються в CC. c) Аугушту обчислив кількість незвичайних шляхів, що виходять з KK і приходять в AA. Чому дорівнює це число?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-019

Замощення дошки 2×n доміно

Малий Абель отримав у подарунок дошку 2×n2 \times n і nn фішок розміром 2×12 \times 1. Наприклад, на рисунку нижче показано випадок, коли n=10n=10, тобто коли Абель має дошку 2×102 \times 10 і 10 фішок розміром 2×12 \times 1. Він бавиться, заповнюючи дошку за допомогою nn фішок. Наприклад, при n=10n=10 Абель міг би заповнити її способами, проілюстрованими нижче: Зауважте, однак, що існує багато інших способів, якими Абель може заповнити свою дошку. a) Обчисліть загальну кількість способів, якими Абель може заповнити свою дошку у випадках, коли n=1,n=2n=1, n=2 і n=3n=3, тобто у випадку, коли дошки мають розміри 2×1,2×22 \times 1,2 \times 2 і 2×32 \times 3. b) Нехай ana_{n} — кількість способів, якими Абель може заповнити дошку 2×n2 \times n, використавши nn фішок 2×12 \times 1. Покажіть, що a10=a9+a8a_{10}=a_{9}+a_{8}. c) Обчисліть загальну кількість способів, якими Абель може заповнити свою дошку, коли n=10n=10.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2013-002

Обходи кола із забороненими ходами

Для натурального числа n≥3n \ge 3 позначимо nn рівновіддалених точок навколо кола. Позначимо одну з них AA і поставимо фішку в AA. Фішку можна рухати вперед за годинниковою стрілкою або до наступної точки, або через одну. Отже, загалом є 2n2n різних ходів; по два з кожної точки. Нехай ana_n позначає кількість способів пройти навколо кола рівно двічі, починаючи і закінчуючи в AA, не повторюючи жодного ходу. Доведіть, що an−1+an=2na_{n-1} + a_n = 2^n для всіх n≥4n \ge 4.
10–11 класиРекурентний підрахунок4 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.