Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

293 задачі
КомбінаторикаБієкції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-011

Двійкові смужки з перевертанням трійок

Малий Буль намалював смужку з 8 клітинок, у кожній з яких може бути записано 0 або 1. Спочатку кожна клітинка містить 0. Кожним ходом Буль виконує одну з таких операцій: a. Замінює кожен 0 на 1, а кожен 1 на 0; b. Вибирає три послідовні клітинки і лише в них замінює кожен 0 на 1 і навпаки. Скільки різних комбінацій з 0 і 1 може отримати Буль? (A) 252^{5} (B) 262^{6} (C) 272^{7} (D) 28−22^{8}-2 (E) 282^{8}
10–11 класиБієкції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-007

Заповнення таблиці з сумою 8 у квадратах 2 на 2

Нехай AA — кількість способів заповнити кожну клітинку таблиці 2021×20212021 \times 2021 одним із чисел 11, 22 або 33 так, щоб сума чисел у будь-якому квадраті 2×22 \times 2 таблиці дорівнювала 88. Знайдіть остачу від ділення AA на 100100.
10–11 класиБієкції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-008

Розбиття каменів із забороненими парами

Анаель має 2n2 n каменів з написами 1,2,3,…,2n1,2,3, \ldots, 2 n, а також червону та синю коробки. Вона хоче розкласти всі 2n2 n каменів у ці дві коробки так, щоб камені kk і 2k2 k для кожного k=1,2,…,nk=1,2, \ldots, n опинялися в різних коробках. Скількома способами Анаель може це зробити?
10–11 класиБієкції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2021-009

Кругова розсадка з обмеженнями на відстань

Нехай n≥4n \geq 4 і k,d≥2k, d \geq 2 — натуральні числа, для яких k⋅d≤nk \cdot d \leq n. nn учасників Математичної олімпіади сидять за круглим столом і чекають на Патріка. Коли Патрік з'являється, ситуація йому зовсім не подобається, оскільки правил соціального дистанціювання не дотримано. Тож він вибирає kk з nn учасників, яким дозволено залишитися, а всіх інших випроваджує з кімнати так, щоб між будь-якими двома з kk учасників, що залишилися, було щонайменше d−1d-1 вільних місць. Скількома способами Патрік може це зробити, якщо вважати, що спочатку всі місця були зайняті?
10–11 класиБієкції
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-011

Антиланцюг у тривимірній цілочисельній решітці

На майданчику перебуває кілька лицарів. Кожен лицар має три властивості: швидкість, розум і привабливість. Для кожного лицаря кожна властивість набуває певного цілого значення xx такого, що 1≤x≤n1 \le x \le n. Лицар AA може перемогти лицаря BB, якщо швидкість, розум і привабливість AA всі більші, ніж у BB. Відомо, що жоден із лицарів на майданчику не може перемогти жодного з інших лицарів, і будь-які два лицарі відрізняються принаймні однією властивістю. Знайдіть найбільшу можливу кількість лицарів на майданчику.
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-035

Розфарбування чисел без одноколірної суми-степеня двійки

Розфарбування цілих чисел {1,2,⋯ ,2020}\{1,2, \cdots, 2020\} у синій і червоний кольори називається приємним, якщо не існує двох різних цілих чисел із {1,2,⋯ ,2020}\{1,2, \cdots, 2020\} одного кольору, сума яких є степенем двійки. Скільки існує таких розфарбувань?
8–10 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-013

Комітети з непарною кількістю хлопців

Ліцей має непарну кількість класів, і в кожному класі — непарна кількість учнів. З кожного класу обирають по одному учню до учнівського комітету. Якщо кількість класів, у яких хлопців більше, ніж дівчат, непарна, доведіть, що кількість способів утворити учнівський комітет, який містить непарну кількість хлопців, перевищує кількість способів утворити учнівський комітет, який містить непарну кількість дівчат.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-086

Сума рекурентно означеної послідовності

Нехай nn — натуральне число. Означимо послідовність рівностями a0=1a_{0}=1, a2i+1=aia_{2i+1}=a_{i} і a2i+2=ai+ai+1a_{2i+2}=a_{i}+a_{i+1} для кожного i≥0i \geq 0. Знайдіть із доведенням значення a0+a1+a2+⋯+a2n−1a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2^{n}-1}.
10–11 класиСуми послідовностей2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2020-014

Замощення дошки плитками змінної довжини

Для натурального числа nn розглянемо дошку n×nn \times n та плитки з розмірами 1×1,1×2,…,1×n1 \times 1, 1 \times 2, \ldots, 1 \times n. Скількома способами можна пофарбувати у червоний колір рівно 12n(n+1)\frac{1}{2} n(n+1) клітинок дошки так, щоб усі червоні клітинки можна було покрити nn плитками, якщо всі їх розмістити горизонтально, а також nn плитками, якщо всі їх розмістити вертикально? Два розфарбування, які не є однаковими, але переходять одне в одне поворотом чи віддзеркаленням дошки, вважаються різними.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2020-028

Гра про будівництво дамби на клітинній дошці

Нехай α≥1\alpha \ge 1 — дійсне число. Гефест і Посейдон грають у покрокову гру на нескінченній клітинній дошці з одиничних квадратів. Ще до початку гри Посейдон обирає скінченну кількість клітин, які стануть затопленими. Гефест будує дамбу — підмножину одиничних ребер дошки (їх називають стінами), що утворює зв'язний шлях або замкнений контур без самоперетинів. Гра починається, причому перший хід робить Гефест. На кожному своєму ході Гефест додає до дамби одну чи більше стін — за умови, що після його n-го ходу сумарна довжина дамби не перевищує αn\alpha n. На кожному ході Посейдона затоплюється також кожна клітина, суміжна з уже затопленою клітиною, якщо між ними немає стіни. Гефест перемагає, якщо дамба утворює замкнений контур, всередині якого містяться всі затоплені клітини — отже, повінь зупинено і світ врятовано. За яких α\alpha Гефест може гарантувати перемогу за скінченну кількість ходів, як би Посейдон не обрав початкові клітини для затоплення?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-023

Добуток степенів за модулем простого числа

Нехай p,qp, q — прості числа, а aa — ціле число таке, що p>2p > 2 і a≠1(modq)a \neq 1 \pmod{q}, але ap≡1(modq)a^p \equiv 1 \pmod{q}. Доведіть, що (1+a1)(1+a2)…(1+ap−1)≡1(modq).(1+a^1)(1+a^2)\dots(1+a^{p-1}) \equiv 1 \pmod{q}.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…3 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-029

Перестановки з умовою порядку пар

а) Літери AA, BB і CC можна розмістити в ряд 6 різними способами: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBAA B C,\ A C B,\ B A C,\ B C A,\ C A B,\ C B A Зауважимо, що в 3 з них літера AA стоїть ліворуч від літери BB: ABC, ACB, CABA B C,\ A C B,\ C A B Якщо розмістити літери AA, BB, CC і DD в ряд усіма 24 можливими різними способами, у скількох з них літера AA стоїть ліворуч від літери BB? б) Павук має шкарпетку й черевик для кожної зі своїх восьми ніг. Скількома різними способами павук може взутися, якщо 8 шкарпеток і 8 черевиків попарно різні й кожну шкарпетку треба одягнути перед відповідним черевиком?
8–9 класиПерестановки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-003

Фішки на шахівниці без діагональних сусідів

Нехай mm та nn — додатні цілі числа. Шахівниця розміром 2m×2n2m \times 2n розфарбована у звичайний шаховий спосіб. Знайдіть кількість способів розміщення mnmn фішок на білих клітинках, не більше однієї фішки на клітинку, так, щоб жодні дві фішки не знаходились на діагонально суміжних білих клітинках. Приклад розміщення фішок для m=2m=2 та n=3n=3 показано нижче.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-003

Бієкція натуральних чисел і перестановка чисел 1 до n

Нехай N={1,2,3,…}\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\} — множина всіх натуральних чисел, а ff — бієкція з N\mathbb{N} в N\mathbb{N}. Чи обов’язково існує таке натуральне число nn, що (f(1),f(2),…,f(n))(f(1), f(2), \ldots, f(n)) є перестановкою (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n)?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-027

Розбиття множини за умови на ймовірність

Нехай A=⌈1/H3⌉A=\left\lceil 1 / H_{3}\right\rceil, B=⌈H5/2⌉B=\left\lceil H_{5} / 2\right\rceil. Скількома способами можна розбити множину {1,2,…,A+B}\{1,2, \ldots, A+B\} на дві множини UU і VV розмірів AA і BB відповідно так, щоб ймовірність того, що число, вибране з UU рівномірно випадково, виявиться більшим за число, вибране з VV рівномірно випадково, дорівнювала рівно 12\frac{1}{2}?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-145

Випадкове блукання решіткою і класи остач

Контеса здійснює випадкове блукання цілочисельною решіткою на площині, починаючи з (1,1)(1,1). (У випадковому блуканні решіткою на кожному кроці з однаковою ймовірністю рухаються вгору, вниз, вліво або вправо на 1 одиницю.) Якщо вона потрапить у точку вигляду (6m,6n)(6m, 6n) при m,n∈Zm, n \in \mathbb{Z}, то вона вознесеться до раю, а якщо вона потрапить у точку вигляду (6m+3,6n+3)(6m+3, 6n+3) при m,n∈Zm, n \in \mathbb{Z}, то вона спуститься до пекла. Яка ймовірність того, що вона вознесеться до раю?
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-146

Випадкові відбиття у квадраті

Точка PP лежить у центрі квадрата ABCDABCD. Послідовність точок {Pn}\{P_n\} задано умовою P0=PP_0 = P, а точка Pi+1P_{i+1} за точкою PiP_i отримується відбиттям PiP_i відносно однієї з чотирьох прямих ABAB, BCBC, CDCD, DADA, яку для кожного ii вибирають рівноймовірно випадково й незалежно. Яка ймовірність того, що P8=PP_8 = P?
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-150

Ґраткові блукання у чотиривимірному просторі з обмеженням суми

Фред — чотиривимірна пухнаста вівця — гуляє у чотиривимірному просторі. Він починає з початку координат. Кожної хвилини він переходить зі свого поточного положення (a1,a2,a3,a4)(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) у деяке положення (x1,x2,x3,x4)(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) з цілими координатами, що задовольняють (x1−a1)2+(x2−a2)2+(x3−a3)2+(x4−a4)2=4(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+(x_{3}-a_{3})^{2}+(x_{4}-a_{4})^{2}=4 і ∣(x1+x2+x3+x4)−(a1+a2+a3+a4)∣=2.\left| (x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})-(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}) \right|=2. Скількома способами Фред може дістатися до (10,10,10,10)(10,10,10,10) рівно за 40 хвилин, якщо йому дозволено проходити через цю точку під час своєї прогулянки?
10–11 класиБієкції
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-011

Числа з обмеженої послідовності кнопок

Калькулятор П'єріно має дисплей, на якому спочатку показано число 00, і дві кнопки: кнопку +1+1, яка додає 11 до числа на дисплеї, та кнопку ×3\times 3, яка множить число на дисплеї на 33. Якщо кнопку +1+1 натиснути двічі поспіль, калькулятор вибухає. Якщо дисплей калькулятора вміщує щонайбільше 55 цифр, скільки чисел П'єріно може отримати за допомогою відповідної послідовності натискань кнопок (не підірвавши калькулятор)? (A) 2048 (B) 2187 (C) 4096 (D) 6561 (E) 66666
10–11 класиСистеми числення
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-012

Розфарбування дошки 4 на 4 з умовами на рядки і стовпці

Дано дошку 4×44 \times 4, складену з 1616 квадратиків 1×11 \times 1. Припустімо, що ми хочемо пофарбувати кожен квадратик в один із чотирьох кольорів: червоний, синій, жовтий або зелений. Скількома способами можна пофарбувати всі клітинки, якщо має виконуватися така вимога: Для будь-якого рядка і будь-якого стовпця має виконуватися одна з таких 3 умов: усі чотири квадратики мають бути пофарбовані в той самий колір. використано два кольори, кожен з яких використано для фарбування двох квадратиків. використано всі чотири кольори, кожен з яких використано для фарбування одного квадратика.
10–11 класиПарність і непарність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-039

Задача про підрахунок голосів і послідовності бюлетенів

Два кандидати брали участь у виборах з p+qp+q виборцями. Кандидат AA отримав pp голосів, а кандидат BB отримав qq голосів, причому p>qp>q. Під час підрахунку на табло записують лише по одному голосу за раз. Нехай rr — ймовірність того, що число, що відповідає кандидатові AA на табло, буде завжди більшим за число, що відповідає кандидатові BB, протягом усього підрахунку. а) Знайдіть значення rr, якщо p=3p=3 і q=2q=2. б) Знайдіть значення rr, якщо p=1010p=1010 і q=1009q=1009.
10–11 класиБієкції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-032

Трикутники, утворені прямими в загальному положенні

Нехай n≥3n \geq 3 — натуральне число. Дано nn прямих у загальному положенні (тобто ніякі три прямі не проходять через одну точку і ніякі дві прямі не є паралельними). Скільки трикутників утворюють ці прямі? Зауваження. Наприклад, на рисунку нижче є 4 трикутники.
9–11 класиКомбінації
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-005

Сума розривів підмножин проти суми інтервалів

Множину BB цілих чисел називають інтервалом цілих чисел, якщо існують цілі числа i⩽ji \leqslant j такі, що B={i,i+1,…,j}B=\{i, i+1, \ldots, j\}, і через J\mathcal{J} позначають множину інтервалів цілих чисел. Крім того, якщо A={a1,…,ak}A=\{a_1, \ldots, a_k\} — множина цілих чисел, причому a1<…<aka_1<\ldots<a_k, то покладають f(A)=max⁡1⩽i<k(ai+1−ai) і g(A)=max⁡B⊆A,B∈J∣B∣.f(A)=\max_{1 \leqslant i<k}(a_{i+1}-a_i) \text{ і } g(A)=\max_{B \subseteq A, B \in \mathcal{J}} |B|. Нагадаємо, що позначення ∣B∣|B| означає кількість елементів множини BB. Якщо AA порожня або одноелементна, також покладають f(A)=0f(A)=0. Нарешті, для кожного цілого числа n⩾1n \geqslant 1 визначають F(n)=∑A⊆{1,…,n}f(A) і G(n)=∑A⊆{1,…,n}g(A).F(n)=\sum_{A \subseteq\{1, \ldots, n\}} f(A) \text{ і } G(n)=\sum_{A \subseteq\{1, \ldots, n\}} g(A). Доведіть, що існує натуральне число mm таке, що F(n)>G(n)F(n)>G(n) для кожного цілого числа n⩾mn \geqslant m.
8–10 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-105

Суми з факторіальними обмеженнями на монети

Фермер Джеймс винайшов нову валюту, таку, що для кожного натурального числа n≤6n \leq 6 існує монета номіналом nn вартістю n!n! центів. Крім того, він має рівно nn копій кожної монети номіналом nn. Ціле число kk називається гарним, якщо фермер Джеймс може набрати kk центів, використавши принаймні одну копію кожного типу монет. Скільки натуральних чисел, менших за 2018, є гарними?
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-061

Кубічна конгруенція на скінченній множині

Знайдіть кількість невпорядкованих пар {a,b}\{a, b\}, де a,b∈{0,1,2,…,108}a, b \in\{0,1,2, \ldots, 108\}, таких, що 109109 ділить a3+b3−aba^{3}+b^{3}-a b.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.