Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

399 задач
ГеометріяДотична кола
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-085

Дотичні до кола та рівність двох кутів

Дано коло Γ\Gamma та точку PP зовні нього, прямі PAPA та PBPB — дотичні до кола Γ\Gamma, A,B∈ΓA, B \in \Gamma. Точка KK — довільна точка на відрізку ABAB. Описане коло трикутника PKBPKB удруге перетинає коло Γ\Gamma у точці TT, точка P′P' симетрична точці PP відносно точки AA. Доведіть, що ∠PBT=∠P′KA\angle PBT = \angle P'KA.
9 класЛанцюжок подібних трикутників
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-099

Дотичні до двох кіл з точок спільної хорди

Кола w1w_1 і w2w_2 перетинаються в точках AA і BB, точка MM — середина відрізка ABAB. На прямій ABAB вибрано точки S1S_1 і S2S_2. Нехай прямі S1X1S_1X_1 та S1Y1S_1Y_1 — дотичні, проведені із точки S1S_1 до кола w1w_1; аналогічно прямі S2X2S_2X_2 та S2Y2S_2Y_2 — дотичні, проведені із точки S2S_2 до кола w2w_2. Доведіть, що коли точка MM належить прямій X1X2X_1X_2, то тоді вона належить і прямій Y1Y2Y_1Y_2.
10 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-113

Рівнобедрений трикутник, коло і пряма BE

Дано трикутник ABCABC, у якому AB=ACAB = AC. Коло Γ\Gamma лежить зовні трикутника ABCABC та дотикається до прямої ACAC у точці CC. Точку DD вибрано на колі Γ\Gamma так, що описане коло трикутника ABDABD внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma. Відрізок ADAD перетинає коло Γ\Gamma у точці EE, відмінної від точки DD. Доведіть, що пряма BEBE дотикається до кола Γ\Gamma.
11 класГомотерія і подібність
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2004-003

Бісектриса трикутника та перетин дотичних через B і C

Відрізок ALAL — бісектриса трикутника ABCABC. Дотична до описаного кола трикутника ABLABL, проведена через точку BB, перетинає в точці KK дотичну до описаного кола трикутника ACLACL, проведену через точку CC. Доведіть, що точки AA, LL і KK лежать на одній прямій.
Дотична кола
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2004-019

Трикутник з медіаною, вписаний чотирикутник і спільна дотична

Усередині трикутника ABCABC на його медіані BMBM обрано точку NN. Нехай K=AN∩BCK = AN \cap BC, L=CN∩ABL = CN \cap AB. Відомо, що навколо чотирикутника BKNLBKNL можна описати коло. Доведіть, що пряма ACAC є спільною дотичною до кіл, описаних навколо трикутників ABNABN і CBNCBN.
Теорема Чеви
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2004-024

Гострокутний трикутник, висота та коло з центром на BC

Нехай точка OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC, відрізок BDBD — висота цього трикутника, L=AO∩BDL = AO \cap BD (точки LL і OO можуть збігатися), K=AO∩BCK = AO \cap BC. Пряма, яка проходить через точку LL перпендикулярно до прямої AOAO, перетинає коло ω\omega з центром у точці KK і радіусом R=BKR = BK в точках PP і QQ. Доведіть, що коло ω\omega дотикається до сторін кута PAQPAQ.
Ознаки подібності
Відкрита олімпіада Рішельєвського ліцеюRLMO-2001-020

Дотичні до описаного кола і висота трикутника

Навколо гострокутного трикутника ABCABC описано коло. Дотичні до цього кола, що проведені в точках AA і CC, перетинають дотичну до кола, побудовану в точці BB, у точках MM і NN відповідно. Нехай BDBD — висота трикутника ABCABC. Доведіть, що ∠MDB=∠NDB\angle MDB = \angle NDB.
Дотична кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-003

Опуклий п'ятикутник і перетин прямих KP, LQ, MD

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п'ятикутник, точка MM — середина сторони ABAB. Відомо, що відрізок ABAB дотикається в точці MM до кола, описаного навколо трикутника CMECME, а точка DD лежить на перетині кіл, описаних навколо трикутників AMEAME та BMCBMC. Прямі ADAD та MEME перетинаються в точці KK, а прямі BDBD та MCMC — у точці LL. Точки PP та QQ на прямій CECE такі, що ∠PDC=∠EDQ=∠ADB.\angle PDC = \angle EDQ = \angle ADB. Доведіть, що прямі KPKP, LQLQ та MDMD перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-24-25-005

Вписаний чотирикутник з паралельною хордою і дотик кола

Нехай ABCDABCD — такий вписаний у коло ω\omega чотирикутник, для якого AE=ECAE=EC, де E=AC∩BDE=AC \cap BD. Точка FF вибрана на колі ω\omega таким чином, що AC∥BFAC \parallel BF. Доведіть, що якщо GG — точка, симетрична точці FF відносно вершини AA, то описане коло трикутника ADGADG дотикається до прямої ACAC.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-22-23-004

Спільна дотична двох кіл і перетин прямих на колі

Одну з точок перетину кіл ω1\omega_1 та ω2\omega_2 позначимо літерою AA. Спільна зовнішня дотична до кіл ω1,ω2\omega_1, \omega_2 дотикається до них у точках T1,T2T_1, T_2 відповідно. Нехай B1,B2B_1, B_2 — довільні точки на колах ω1,ω2\omega_1, \omega_2 відповідно, відмінні від точок T1,T2T_1, T_2 і такі, що трикутник AB1B2AB_1B_2 — невироджений. Нехай ω\omega — описане коло трикутника AB1B2AB_1B_2. Промені T1B1,T2B2T_1B_1, T_2B_2 перетинають коло ω\omega вдруге в точках C1,C2C_1, C_2 відповідно. Доведіть, що прямі C1T2,C2T1C_1T_2, C_2T_1 перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-002

Трикутник з кутом 120° і коло, дотичне до AC

У трикутнику ABCABC, у якому ∠A=120∘\angle A = 120^\circ, відмітили центр OO описаного кола. Позначимо через PP та QQ основи перпендикулярів, проведених із вершини BB відповідно на прямі COCO та AOAO. Нехай точка MM — середина відрізка AOAO. Доведіть, що описане коло трикутника MPQMPQ дотикається до прямої ACAC.
10–11 класиІнші точки трикутника
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-004

Симетричні ортоцентру точки та коло через чотири точки

У гострокутному трикутнику ABCABC проведено висоти AHaAH_a, BHbBH_b та CHcCH_c, які перетинаються в ортоцентрі HH. Нехай A1A_1 та C1C_1 — точки, що симетричні ортоцентру HH відносно сторін BCBC та ABAB відповідно. Відрізок A1C1A_1C_1 перетинає відрізки BCBC та ABAB у точках XX та YY відповідно. Пряма BMBM — така дотична до описаного кола трикутника CXC1CXC_1, що точки MM і CC лежать по один бік відносно прямої BHbBH_b. Аналогічно пряма BLBL — така дотична до описаного кола трикутника AYA1AYA_1, що точки LL і AA лежать по один бік відносно прямої BHbBH_b. Доведіть, що точки XX, YY, MM та LL лежать на одному колі.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-19-20-005

Трикутник, коло через A і перетин дотичних

Дано трикутник ABCABC. Деяке коло, що проходить через точку AA, перетинає сторони ABAB та ACAC у точках DD та EE відповідно, а сторону BCBC — у двох точках FF та GG, при цьому точка FF належить відрізку BGBG. Дотична до описаного кола трикутника BDFBDF у точці FF та дотична до описаного кола трикутника CEGCEG у точці GG перетинаються в точці T≠AT \neq A. Доведіть, що AT∥BCAT \parallel BC.
10–11 класиДотична кола
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-014

Зовнівписане коло, коло AEF на BC та середина AD

Нехай ω\omega — зовнівписане коло трикутника ABCABC, що дотикається до сторони BCBC. Нехай DD, EE і FF — точки дотику кола ω\omega до прямих BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF перетинає пряму BCBC у точках PP і QQ. Нехай точка MM — середина відрізка ADAD. Доведіть, що описане коло трикутника MPQMPQ дотикається до кола ω\omega.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-011

Прямокутний трикутник з висотою та півколом на BD

Задано трикутник ABCABC, у якому ∠C=90∘\angle C=90^\circ, точка HH — основа висоти, що проведена з точки CC. Точку DD вибрано всередині трикутника CBHCBH таким чином, що CHCH ділить відрізок ADAD навпіл. Позначимо точку перетину BDBD і CHCH літерою PP. Нехай ω\omega — півколо, що побудоване на BDBD як на діаметрі та перетинає відрізок CBCB у його внутрішній точці. Пряма, що проходить через точку PP, дотикається до ω\omega у точці QQ. Доведіть, що прямі CQCQ і ADAD перетинаються на півколі ω\omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-004

Друга точка перетину кіл трикутників AMP і BMC

Дано коло ω\omega і точки AA, BB, CC на ньому. Зафіксуємо дійсне число λ∈(0,1)\lambda \in (0, 1). Для довільної точки P∉{A,B,C}P \notin \{A, B, C\}, що лежить на колі ω\omega, позначимо на відрізку CPCP таку точку MM, що CM=λ⋅CPCM = \lambda \cdot CP. Нехай QQ — друга точка перетину описаних кіл трикутників AMPAMP і BMCBMC. Доведіть, що всі можливі розташування точки QQ знаходяться на фіксованому колі незалежно від вибору точки PP.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-002

Пряма AI, точки дотику вписаного кола і циклічність

У трикутник ABCABC, у якому AB>ACAB > AC, вписано коло з центром у точці II, яке дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Точка MM — середина сторони BCBC, AHAH — висота трикутника ABCABC. Пряма AIAI перетинає прямі DEDE та DFDF у точках KK і LL відповідно. Доведіть, що точки MM, LL, HH, KK — циклічні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-006

Середини на прямій AB і дотична до описаного кола

Трикутник ABCABC має тупий кут при вершині BB, описане коло навколо нього позначимо через ww. Перпендикуляри до прямих CACA та CBCB, проведені в точці CC, перетинають пряму ABAB у точках PP і QQ відповідно. Позначимо середини відрізків BPBP і PQPQ через RR і SS відповідно. Відомо, що CB=CPCB=CP. Доведіть, що: а) CRCR дотикається до кола ww у точці CC; б) якщо TT — точка дотику іншої дотичної до кола ww, що проведена з точки RR, то CT⊥CSCT\perp CS.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-10-11-006

Точки перетину прямих і пряма SM

Коло ω\omega, вписане в трикутник ABCABC, дотикається до його сторін ABAB, BCBC і CACA в точках KK, LL та MM відповідно. На дузі KLKL кола ω\omega, що не містить точки MM, деяким чином вибрано точку SS. Позначимо через PP, QQ, RR, TT точки перетину прямих ASAS і KMKM, MLML і SCSC, LPLP і KQKQ, AQAQ і PCPC відповідно. Виявилося, що точки RR, SS і MM — колінеарні. Доведіть, що точка TT також лежить на прямій SMSM.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-09-10-011

Трикутник з дотичним колом і точки M та N

Нехай у трикутнику ABCABC AB>ACAB > AC. Коло ωa\omega_a дотикається до відрізка BCBC у точці DD, до продовження відрізка ABAB за точку BB — у точці FF, а до продовження відрізка ACAC за точку CC — у точці EE. Промінь ADAD перетинає вдруге коло ωa\omega_a у точці MM. Позначимо коло, яке описане навколо трикутника CDMCDM, через ω\omega. Це коло перетинає відрізок DFDF у точці NN. Доведіть, що FN>NDFN > ND.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-004

Внутрішній дотик двох кіл і рівність сум відрізків

Кола w1,w2w_1, w_2 дотикаються внутрішнім чином в точці PP. На їх спільній дотичній по різні боки від точки PP обрані точки AA і BB. Нехай CC – точка перетину дотичних, що проведені з точки AA до кола w1w_1, і з точки BB до кола w2w_2, точка DD – точка перетину дотичних, що проведені з точки BB до кола w1w_1, і з точки AA до кола w2w_2. Довести, що CA+CB=DA+DBCA + CB = DA + DB.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-005

Два кола, що перетинаються, і паралельні дотичні

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в двох різних точках AA і BB. Через точку BB проведено пряму, яка вдруге перетинає коло ω1\omega_1 у точці KK, а коло ω2\omega_2 — у точці MM (точки KK і MM відмінні від AA). Нехай пряма ℓ1\ell_1 паралельна прямій AMAM і дотикається до кола ω1\omega_1 у точці QQ, відмінній від точок AA і BB. Пряма AQAQ вдруге перетинає коло ω2\omega_2 в точці RR. а) Доведіть, що пряма ℓ2\ell_2, яка дотикається до кола ω2\omega_2 в точці RR, паралельна прямій AKAK; б) Доведіть, що прямі ℓ1\ell_1, ℓ2\ell_2 і KMKM перетинаються в одній точці.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-002

Прямі через вершини трикутника та точки на променях

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC, і цей центр не належить жодній з медіан AA0AA_0, BB0BB_0, CC0CC_0. На променях OA0OA_0, OB0OB_0 і OC0OC_0 позначили точки A1A_1, B1B_1, C1C_1 відповідно так, що ∠OAA0=∠OA1A\angle OAA_0 = \angle OA_1 A, ∠OBB0=∠OB1B\angle OBB_0 = \angle OB_1 B і ∠OCC0=∠OC1C\angle OCC_0 = \angle OC_1 C. Доведіть, що прямі AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-001

Перпендикулярність прямих RH і CM у трикутнику

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AC>BCAC > BC. Нехай MM — середина сторони ABAB, APAP і BQBQ — висоти трикутника, HH — його ортоцентр. Нехай прямі ABAB і PQPQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що прямі RHRH і CMCM перпендикулярні.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-005

Дотичні до описаного кола і кути з серединами

Дотичні до описаного кола гострокутного трикутника ABCABC, проведені в точках BB і AA, перетинають дотичну, проведену в точці CC, у точках TT і UU відповідно. Прямі ATAT і BCBC перетинаються в точці PP, точка QQ — середина відрізка APAP, прямі BUBU і CACA перетинаються в точці RR, точка SS — середина відрізка BRBR. Доведіть, що ∠ABQ=∠BAS\angle ABQ = \angle BAS. Визначте найбільше можливе значення величини цього кута.
10–11 класиЗастосування тригонометрії

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.