Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

261 задача
КомбінаторикаКонструкція за індукцією
Балтійський шляхBW-2003-010

Рівні відстані між точками площини

Чи можна вибрати 10001000 точок на площині так, щоб принаймні 60006000 відстаней між двома з них були рівними?
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2003-001

Зсуви 101-елементної підмножини без спільних елементів

Нехай AA — така підмножина множини S={1;2;…;1000000}S = \{1; 2; \ldots; 1000000\}, що вона містить рівно 101 елемент. Доведіть, що в множині SS існують такі елементи t1,t2,…,t100t_1, t_2, \ldots, t_{100}, що жодні дві множини вигляду Aj={x+tj:x∈A}A_j = \{x + t_j : x \in A\}, j=1,100‾j = \overline{1,100} не мають спільних елементів.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Балтійський шляхBW-2002-006

Обхід турою з циклічною зміною напрямку

На прямокутній дошці m×nm \times n, m,n⩾2m, n \geqslant 2, поділеній на одиничні клітинки, грають у такий пасьянс. Спочатку туру ставлять на деяку клітинку. Кожним ходом туру можна пересунути на довільну кількість клітинок горизонтально або вертикально, з додатковою умовою, що кожен хід має бути зроблений в напрямку, повернутому на 90∘90^{\circ} за годинниковою стрілкою відносно попереднього (напр., після ходу вліво наступний має бути вгору, далі — вправо тощо). Для яких значень mm і nn можливо, щоб тура відвідала кожну клітинку дошки рівно один раз і повернулася на початкову клітинку? (Вважається, що тура відвідує лише ті клітинки, на яких зупиняється, а не ті, через які перестрибує.)
10–11 класиПарність і непарність
Балтійський шляхBW-1998-012

Пакування різнокольорових предметів з обмеженням кольорів

Нехай nn і kk — натуральні числа. Є nkn k предметів (однакового розміру) і kk коробок, кожна з яких вміщує nn предметів. Кожен предмет пофарбовано в один із kk різних кольорів. Доведіть, що предмети можна розкласти по коробках так, щоб у кожній коробці були предмети не більш ніж двох кольорів.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Балтійський шляхBW-1998-013

Підмножини з різними сумами

Визначте всі натуральні числа nn, для яких існує множина SS з такими властивостями: (i) SS складається з nn натуральних чисел, кожне з яких менше за 2n−12^{n-1}; (ii) для будь-яких двох різних підмножин AA і BB множини SS сума елементів підмножини AA відрізняється від суми елементів підмножини BB.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Балтійський шляхBW-1996-019

Розбиття натуральних чисел без арифметичних прогресій

Чи можна розбити всі натуральні числа на множини AA і BB, що не перетинаються, такі, що (i) жодні три числа з AA не утворюють арифметичну прогресію, (ii) з чисел множини BB не можна утворити жодну нескінченну несталу арифметичну прогресію?
10–11 класиАрифметична прогресія
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1995-004

Трикутники з послідовними цілими сторонами та цілою площею

Доведіть, що існує нескінченно багато попарно нерівних трикутників TT, які задовольняють умови: (i) довжини сторін TT — послідовні цілі числа; (ii) площа TT — ціле число.
10–11 класиПлоща трикутника
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-008

Шлях повернення зі стрибками

Міла стоїть на нескінченній дошці, поділеній на клітинки, і починає рухатися. nn-стрибок — це рух, під час якого Міла пересувається на одну клітинку вліво, вправо, вгору або вниз, а потім на nn клітинок у напрямку, перпендикулярному до попереднього. Нижче наведено приклад, де Міла починає із середньої клітинки зліва і спочатку робить 11-стрибок, потім 22-стрибок, а далі 33-стрибок, 44-стрибок і 55-стрибок. Припустімо, що Міла спочатку робить 11-стрибок, потім 22-стрибок, потім 33-стрибок, 44-стрибок і так далі. Нарешті вона робить mm-стрибок. Для яких натуральних чисел mm Міла може вибрати свої mm стрибків так, щоб повернутися у початкову клітинку?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-044

Обмін фруктами з умовою парності

Маємо a+ba + b мисок, вишикуваних у ряд. Перші aa мисок містять по яблуку, а останні bb мисок містять по груші. Операція полягає в переміщенні яблука з миски ii до миски i+1i+1 і груші з миски jj до миски j−1j-1, де ii і jj — такі цілі числа, що i−ji-j — парне (миска може містити кілька фруктів). Потрібно дійти до кінцевої ситуації, де перші bb мисок містять по груші, а останні aa мисок містять по яблуку. Доведіть, що це можливо тоді й лише тоді, коли abab — парне.
8–10 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-051

Квадрати, що в четвірковій системі містять лише 1 і 2

Доведіть, що існує нескінченно багато цілих чисел nn таких, що запис числа n2n^{2} за основою 4 містить лише 1 і 2.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-071

Сума чисел у груві-таблиці

Дошка називається груві, якщо кожна її клітинка позначена найменшим натуральним числом, яке не зустрічається нижче в тому самому стовпці або ліворуч у тому самому рядку. Обчисліть суму чисел груві-дошки 14×1414 \times 14, нижня ліва клітинка якої дорівнює 11.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-004

Мажоритарне зведення ряду камінців

Нехай 0≤n≤550 \le n \le 5^5 — ціле число. Викладіть у ряд nn чорних камінців і 55−n5^5-n білих камінців та повторіть таку операцію 5 разів: поділіть ряд камінців на групи по 5 камінців зліва направо. Для кожної групи замініть 5 камінців у групі на один камінець того кольору, який трапляється серед них частіше. Знайдіть найменше можливе значення nn, для якого єдиний камінець, що залишиться в кінці, завжди буде чорним незалежно від початкового розташування камінців.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-035

Досяжні пари цілих чисел дозволеними замінами

Мартен написав на дошці пару цілих чисел (1011,1012)(1011,1012). Потім щохвилини, якщо на дошці написано пару (a,b)(a, b), він її витирає і замінює, за власним вибором, однією з пар (b,a)(b, a), (b+1,a−1)(b+1, a-1) або (b−2,a+2)(b-2, a+2), з єдиною умовою писати лише пари, обидва числа яких невід'ємні. Які пари цілих чисел Мартен може написати на дошці після скінченної кількості таких операцій?
8–10 класиІнші інваріанти
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-098

Розрізання квадрата на задану кількість менших квадратів

Нехай n⩾6n \geqslant 6. Доведіть, що кожен квадрат можна розрізати на рівно nn квадратів (не обов'язково однакового розміру).
8–10 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-004

Перетворення послідовності у зростаючу

Нехай n>1n > 1 — натуральне число. Клер пише nn різних додатних дійсних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} у ряд на дошці. За один хід Вільям може стерти число yy і замінити його на тому самому місці або на 1y\frac{1}{y}, або на y+1y+1. Його мета — зробити послідовність ходів так, щоб після завершення числа строго зростали зліва направо. a. Доведіть, що існує додатна стала AA, незалежна від nn, така, що Вільям завжди може досягти своєї мети не більш ніж за Anlog⁡nA n \log n ходів. b. Доведіть, що існує додатна стала BB, незалежна від nn, така, що Клер може вибрати початкові числа так, що Вільям не зможе досягти своєї мети менш ніж за Bnlog⁡nB n \log n ходів.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-012

Мінімальна кількість купок після об'єднання камінців

Нехай nn — натуральне число. Кіміко починає з nn купок камінців, у кожній з яких по одному камінцю. Вона може взяти рівну кількість камінців з двох наявних купок і об'єднати вилучені камінці, щоб створити нову купку. Визначте залежно від nn найменшу кількість непорожніх купок, яка може залишитися в Кіміко наприкінці.
10–11 класиОстача від ділення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-030

Послідовне розливання води по пляшках

Мартин поспіхом розлив nn літрів води у nn пляшок. Тому деякі пляшки виявилися наповненими більше за інші. Тут він згадав, що його завданням було налити рівно один літр води в кожну пляшку, перш ніж закрити її корком. Оскільки він ще не закоркував пляшок, свої помилки ще можна виправити. Для цього він вибирає першу пляшку, за бажанням переливає частину її вмісту в іншу пляшку, а потім закорковує цю першу пляшку. Далі він вибирає другу пляшку (це може бути та, в яку він частково перелив вміст першої пляшки, а може й ні), за бажанням переливає частину її вмісту в іншу пляшку (але не в першу пляшку, яка вже закоркована), а потім її закорковує. Потім він так само діє з третьою пляшкою, і так далі, доки не закоркує всі пляшки. Доведіть, що якщо Мартин вдало вибиратиме пляшки, які він закорковує, і ті, в які він їх частково переливає, то йому вдасться виправити свої помилки. Зауваження: пляшки надто великі, і кожна може вмістити до nn літрів води, тож вони не переповняться.
8–10 класиКонструкція за індукцією
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-014

Коло дільників з простими відношеннями

Кажуть, що два цілі числа a,b∈N⋆a, b \in \mathbb{N}^{\star} пов'язані, якщо існує просте число pp таке, що a=pba = p b або b=pab = p a. Знайти всі цілі числа n⩾1n \geqslant 1, які мають таку властивість: можна записати всі додатні дільники числа nn (1 і nn включно) рівно по одному разу по колу так, щоб кожен дільник був пов'язаний з кожним зі своїх двох сусідів?
10–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-098

Покриття правильного многокутника колами

Нехай P1P2⋯PnP_{1} P_{2} \cdots P_{n} — правильний nn-кутник на площині, а a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n} — невід'ємні цілі числа. Можна накреслити mm кіл так, щоб для кожного 1≤i≤n1 \leq i \leq n рівно aia_{i} кіл містили PiP_{i} у своїй внутрішності. Знайдіть з доведенням найменше можливе значення mm через aia_{i}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-005

Алгоритм обмінів склянок, що розпізнає кількість кульок

Робот «Mag-o-matic» маніпулює 101 склянкою, розташованою в ряд, позиції якого пронумеровано від 1 до 101. У кожній зі склянок може знаходитися, а може й не знаходитися, кулька. Робот Mag-o-matic приймає лише елементарні інструкції виду (a;b,c)(a ; b, c), які він інтерпретує як «розглянь склянку в позиції aa: якщо вона містить кульку, то поміняй місцями склянки, що знаходяться в позиціях bb і cc (разом з їхнім можливим вмістом), інакше перейди до наступної інструкції» (мається на увазі, що a,b,ca, b, c — цілі числа від 1 до 101, причому bb і cc різні між собою, але не обов'язково відмінні від aa). Програма — це скінченна послідовність елементарних інструкцій, заданих на початку, які Mag-o-matic виконує одну за одною. Підмножина S⊆{0,1,2,…,101}S \subseteq\{0,1,2, \ldots, 101\} називається розпізнаваною, якщо існує програма, яка, починаючи з будь-якої початкової конфігурації, дає кінцеву конфігурацію, в якій склянка в позиції 1 містить кульку тоді й лише тоді, коли кількість склянок, що містять кульку, є елементом SS. a. Доведіть, що підмножина множини {0,1,…,101}\{0,1, \ldots, 101\}, яка складається з непарних чисел, є розпізнаваною. b. Визначте всі розпізнавані підмножини множини {0,1,…,101}\{0,1, \ldots, 101\}.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-009

Хроматичне число орієнтованого графа

Нехай nn і kk — цілі числа, такі, що n⩾3n \geqslant 3. Тео організовує вибори делегатів у своєму класі з nn учнів: кожен учень має проголосувати за одного зі своїх однокласників (усі є кандидатами), і ніхто не голосує за себе. Потім Тео розподіляє учнів на групи так, щоб якщо учень перебуває в групі, то учень, за якого він проголосував, у ній не перебував. Для яких значень kk Тео напевно зможе розподілити учнів не більш ніж на kk груп, незалежно від того, як учні проголосують?
8–10 класиСтепені вершин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-008

Зміни знака в послідовності усереднення

Нехай nn — натуральне число. Аліса записує в рядок nn дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} (у такому порядку). Кожного ходу вона вибирає одне число і замінює його на середнє арифметичне його самого та його сусідів (тобто ana_{n} не є сусідом a1a_{1}, і навпаки). Число змінює знак, якщо воно переходить з невід'ємного у від'ємне або навпаки. Залежно від nn визначте найбільшу можливу кількість разів, коли a1a_{1} може змінити знак, за всіх можливих значень a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} та всіх можливих послідовностей ходів Аліси.
10–11 класиНапівінваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2021-026

Розфарбування вершин правильного 100-кутника

Нехай вершини правильного 100-кутника PP пофарбовано або в червоний, або в синій колір так, що кожен колір трапляється принаймні 24 рази. Доведіть, що існує 24 попарно неперетинні чотирикутники Q1,Q2,…,Q24Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{24}, вершини яких є також вершинами PP, такі, що кожен чотирикутник QiQ_{i} має або одну, або три червоні вершини.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-011

Таблиця з умовами про дільники та послідовні рядки

Чи можна в кожну клітинку таблиці 10×1010 \times 10 записати натуральне число так, щоб виконувалися обидві такі умови? - Кожне число (не у верхньому рядку) є власним дільником числа безпосередньо під ним. - Кожен рядок складається з 10 послідовних натуральних чисел (але не обов'язково в порядку зростання).
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-002

Покриття гіперкуба за правилом двох сусідів

Нехай kk та nn — натуральні числа, відмінні від нуля, такі, що k⩽2nk \leqslant 2^{n}. Моргана записала у своєму зошиті множину всіх nn-наборів, складених з 0 та 1: їх є 2n2^{n}. Кажуть, що два nn-набори (x1,…,xn)\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) та (y1,…,yn)\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) є сусідніми, якщо вони мають n−1n-1 спільних членів, тобто якщо існує єдине ціле число ii таке, що xi≠yix_{i} \neq y_{i}. Потім Моргана вибирає kk з цих nn-наборів і підкреслює їх. Далі вона виконує такі операції: під час кожної операції вона вибирає nn-набір, у якого два сусіди підкреслено, і також підкреслює цей nn-набір. Для яких значень kk Моргана може домогтися того, щоб підкреслити множину всіх nn-наборів?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.