Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

198 задач
Теорія чиселЛінійні діофантові рівняння
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2014-013

Різні підсумкові суми очок за призові місця

Пілот повітряного змія провів цього року вдалий чемпіонат, 16 разів потрапивши на п'єдестал. У кожній гонці переможець здобуває 10 очок, другий — 8, а третій — 5, тоді як, починаючи з четвертого місця, очки не нараховуються. Зі скількома різними підсумковими сумами очок він міг завершити чемпіонат? (A) 153 (B) 80 (C) 78 (D) 75 (E) Жодна з попередніх.
9–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-051

Перетворення трійки взаємно простих чисел

Починаючи з трійки цілих чисел (x,y,z)(x, y, z), операція полягає в додаванні до одного з цих трьох чисел кратного одного з двох інших (це кратне може бути додатним або від'ємним). Доведіть, що якщо a,b,ca, b, c — цілі числа, взаємно прості в сукупності, то від трійки (a,b,c)(a, b, c) можна перейти до трійки (1,0,0)(1,0,0) не більш ніж за п'ять операцій.
9–11 класиКитайська теорема про остачі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-101

Мінімальна сума в лінійному діофантовому рівнянні

Для цілого числа n≥0n \geq 0 нехай f(n)f(n) — найменше можливе значення ∣x+y∣|x+y|, де xx і yy — цілі числа такі, що 3x−2y=n3x - 2y = n. Обчисліть f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2013)f(0) + f(1) + f(2) + \cdots + f(2013).
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Відбіркові тести на IMOTST-2013-009

Допустимі множини цілих чисел

Множина AA цілих чисел називається допустимою, якщо вона має таку властивість: Для x,y∈Ax, y \in A (x=yx = y дозволено) виконується x2+kxy+y2∈Ax^{2} + k x y + y^{2} \in A для кожного цілого числа kk. Знайдіть усі пари m,nm, n відмінних від нуля цілих чисел, для яких єдина допустима множина, що містить як mm, так і nn, — це множина Z\mathbb{Z} усіх цілих чисел.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-014

Нумерація клітинок таблиці за рядками та стовпцями

Нехай дано дві прямокутні таблиці 20×1320 \times 13, що складаються з 260260 маленьких клітинок. У кожну клітинку обох таблиць вписуємо числа 1,2,…,2601, 2, \ldots, 260 таким чином: Для першої таблиці спочатку вписуємо числа 1,2,…,131, 2, \ldots, 13 у клітинки верхнього рядка зліва направо. Далі вписуємо числа 14,15,…,2614, 15, \ldots, 26 у клітинки другого рядка зліва направо. Продовжуємо так, доки не впишемо числа 248,249,…,260248, 249, \ldots, 260 у клітинки нижнього рядка зліва направо. Для другої таблиці спочатку вписуємо числа 1,2,…,201, 2, \ldots, 20 у клітинки крайнього правого стовпця зверху вниз. Далі вписуємо числа 21,22,…,4021, 22, \ldots, 40 у клітинки другого справа стовпця зверху вниз. Продовжуємо так, доки не впишемо числа 241,242,…,260241, 242, \ldots, 260 у клітинки крайнього лівого стовпця зверху вниз. Перелічіть усі натуральні числа, які за описаних вище способів розподілу чисел потрапляють у клітинки, розташовані в однакових місцях обох таблиць.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-035

Спадні цілочисельні послідовності стрибків

Марія підстрибує вгору сходами зі 100 сходинок. У кожному стрибку вона долає цілу кількість сходинок. Кожен її наступний стрибок коротший за попередній. Проте додатна різниця між довжинами послідовних стрибків зменшується. Нехай PP — кількість різних способів, якими вона може вистрибати вгору сходами. Знайдіть нижню та верхню межі LL і UU для PP. Якщо 0<L≤P≤U0<L \leq P \leq U, ваш результат дорівнюватиме ⌊23U/L⌋\left\lfloor\frac{23}{\sqrt{U / L}}\right\rfloor. Інакше ваш результат дорівнюватиме 0.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Відбіркові тести на IMOTST-2012-041

Рекурентна послідовність із цілою частиною середнього та взаємно простими зсувами

Нехай x0,x1,…,xn0−1x_0, x_1, \dots, x_{n_0-1} — цілі числа, а d1,d2,…,dkd_1, d_2, \dots, d_k — натуральні числа, причому n0=d1>d2>⋯>dkn_0 = d_1 > d_2 > \dots > d_k і НСД(d1,d2,…,dk)=1\text{НСД}(d_1, d_2, \dots, d_k) = 1. Для кожного цілого n≥n0n \ge n_0 визначимо xn=⌊xn−d1+xn−d2+⋯+xn−dkk⌋.x_n = \left\lfloor \frac{x_{n-d_1} + x_{n-d_2} + \dots + x_{n-d_k}}{k} \right\rfloor. Доведіть, що послідовність {xn}\{x_n\} зрештою стає сталою.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2012-003

Цілі числа зі зникаючою зваженою сумою

Визначте, які цілі числа n>1n > 1 мають властивість, що існує нескінченна послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots ненульових цілих чисел така, що рівність ak+2a2k+⋯+nank=0a_k + 2a_{2k} + \dots + n a_{nk} = 0 виконується для кожного натурального числа kk.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-001

Розбиття трапеції на рівновеликі трапеції

Дано трапецію з основами завдовжки 11 і 44 відповідно. Розділимо її на дві трапеції розрізом, паралельним основам, завдовжки 33. Тепер хочемо розділити дві нові трапеції, знову розрізами, паралельними основам, на mm і nn трапецій відповідно так, щоб усі m+nm+n утворених трапецій мали однакову площу. Визначити найменше можливе значення m+nm+n і довжини розрізів, які треба виконати для досягнення цього найменшого значення.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-004

Мінімальна кількість апельсинів після фокусів

Припустімо, що фокусник може будь-яку кількість разів виконувати кожен із таких 3 видів фокусів: Фокус A: перетворює 1 апельсин і 1 виноградину на 2 яблука. Фокус B: перетворює 1 виноградину і 1 яблуко на 3 апельсини. Фокус C: перетворює 1 яблуко і 1 апельсин на 4 виноградини. Спочатку було по 2011 яблук, виноградин і апельсинів, фокусник виконав певну кількість фокусів і отримав ситуацію, в якій є 2011 яблук, 2011 виноградин і більше ніж 2011 апельсинів. Яка найменша можлива кількість апельсинів у цій ситуації?
7–9 класиЛінійні діофантові рівняння
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-001

Солітерне перетворення на вершинах п'ятикутника

Кожній вершині правильного п'ятикутника приписано ціле число так, що сума п'яти чисел дорівнює 20112011. Хід пасьянсу полягає у відніманні цілого числа mm від чисел у двох сусідніх вершинах і додаванні 2m2m до протилежної вершини, яка не є сусідньою з жодною з перших двох вершин. (Величина mm і вибрані вершини можуть змінюватися від ходу до ходу.) Кажуть, що гру виграно у певній вершині, якщо після деякої кількості ходів ця вершина має число 20112011, а інші чотири вершини мають число 00. Доведіть, що для будь-якого вибору початкових цілих чисел існує рівно одна вершина, в якій гру можна виграти.
10–11 класиОстача від ділення
Відбіркові тести на IMOTST-2010-002

НСД значень зсунутого многочлена

Нехай P(x)P(x) — многочлен із цілими коефіцієнтами такий, що P(0)=0P(0) = 0 і НСД(P(0),P(1),P(2),… )=1.\text{НСД}(P(0), P(1), P(2), \dots) = 1. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що НСД(P(n)−P(0),P(n+1)−P(1),P(n+2)−P(2),… )=n.\text{НСД}(P(n) - P(0), P(n+1) - P(1), P(n+2) - P(2), \dots) = n.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-078

Відношення шестицифрового числа до циклічної перестановки

Нехай NN — шестицифрове число з десятковим записом a‾ b‾ c‾ d‾ e‾ f‾\underline{a}\ \underline{b}\ \underline{c}\ \underline{d}\ \underline{e}\ \underline{f}. Якщо NN становить 6/76/7 числа з десятковим записом d‾ e‾ f‾ a‾ b‾ c‾\underline{d}\ \underline{e}\ \underline{f}\ \underline{a}\ \underline{b}\ \underline{c}, знайдіть NN.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2009-013

Ймовірність повернення до нуля очок після 10 роздач

Альберто, Барбара і Карло грають у карти. У кожній роздачі переможець отримує 2 очки, а інші двоє гравців втрачають по одному очку кожен. Спочатку всі мають по 0 очок. Яка ймовірність того, що після 10 роздач усі знову матимуть по нуль очок? (A) 0 (B) 15\frac{1}{5} (C) 13\frac{1}{3} (D) (106)310\frac{\left(\begin{array}{c}10 \\ 6\end{array}\right)}{3^{10}} (E) 1−(23)101-\left(\frac{2}{3}\right)^{10}.
9–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2009-004

Розбиття куба на n менших кубів

Доведіть, що існує натуральне число n0n_0 з такою властивістю: для кожного цілого числа n≥n0n \ge n_0 можна розбити куб на nn менших кубів.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2008-006

Посадка цибулин тюльпанів і розподіл учнів за класами

У деякій середній школі групі учнів запропонували посадити цибулини тюльпанів. Кожен учень-учасник має посадити принаймні одну цибулину. При цьому учні одного класу саджатимуть однакову кількість цибулин. Кількість цибулин, що мають бути посаджені, менша за 100 і має 6 можливих значень, причому найменше і наступне найменше з цих чисел — 52 і 64. Якими можуть бути кількості учнів 7-го, 8-го і 9-го класів серед учасників?
7–9 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-037

Найменше додатне значення лінійної комбінації

Нехай цілі числа aa і bb задовольняють рівняння 17a+6b=1317 a + 6 b = 13. Яке найменше можливе додатне значення a−ba - b?
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-011

Лічба каміння по 11 і 9 та значення n

Гарвардський студент Кевін (відомий усім) Камінці по 1111 лічив. Та при тім nn разів, мов на зло, По 99 лічить пішло — І вийшло у нього 20072007. Скільки існує значень nn, за яких цей жартівливий вірш правдивий?
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Італійська математична олімпіадаITAMO-2007-007

Середній бал після ще одного іспиту

Студент університету склав певну кількість іспитів із середнім балом 23. Після того як він склав ще один іспит, його середній бал знизився до 22,25. Відомо, що оцінка за кожен іспит — це ціле число від 18 до 30 включно. Яку оцінку отримав студент на останньому іспиті? (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21 (E) 22.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-063

Замощення великих прямокутників смужками

Доведіть, що для парного bb існує таке MM, що для кожного n>Mn > M прямокутник 2b×n2b \times n є (1,b)(1, b)-замощуваним.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-064

Замощення великих прямокутників витягнутими плитками

Для натурального bb назвемо (1,b)(1, b)-плиткою фігуру з двох одиничних клітинок клітчастої площини, центри яких зміщені одна відносно одної на 11 в одному напрямі сітки і на bb — в іншому (клітинки не обов'язково сусідні; наприклад, (1,2)(1,2)-плитка — це дві клітинки, розташовані на відстані ходу коня). Доведіть, що для парного bb існує таке MM, що для будь-яких m,n>Mm, n > M з парним mnm n прямокутник m×nm \times n можна замостити (1,b)(1, b)-плитками (тобто розбити на (1,b)(1, b)-плитки).
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-051

Клітинки дошки з фіксованою сумою

Є клітинна дошка 10×1010 \times 10. У кожну клітинку записують число так: у верхньому рядку зліва направо пишуть 1,2,3,…,101,2,3, \ldots, 10, потім у другому рядку — 11,12,…,2011,12, \ldots, 20 і так далі, завершивши числом 100100 у правій нижній клітинці. Потім у кожну клітинку записують друге число: у першому стовпці (згори вниз) пишуть 1,2,…,101,2, \ldots, 10, потім у другому стовпці — 11,12,…,2011,12, \ldots, 20 і так далі. Коли цей процес завершено, скільки клітинок матимуть властивість, що сума двох записаних у них чисел дорівнює 101101?
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-025

Цілі числа у вигляді симетричного дробу

Скільки з цілих чисел 1,2,…,20041, 2, \ldots, 2004 можна подати у вигляді mn+1m+n\frac{mn+1}{m+n} для натуральних чисел mm і nn?
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2003-001

Стрілки годинника з кутом в один градус

Розглянемо стандартний дванадцятигодинний годинник, у якого годинна та хвилинна стрілки рухаються неперервно. Нехай mm — натуральне число, причому 1≤m≤7201 \leq m \leq 720. Рівно через mm хвилин після 12:00 кут між годинною та хвилинною стрілками дорівнює рівно 1∘1^{\circ}. Знайдіть усі можливі значення mm.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2002-042

Послідовність Фібоначчі із заданим членом

Знайдіть кількість послідовностей a1,a2,…,a10a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10} з натуральних чисел таких, що an+2=an+1+ana_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} для n=1,2,…,8n=1,2, \ldots, 8 і a10=2002a_{10}=2002.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.