Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

644 задачі
Теорія чиселМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-130

Послідовність з початковим членом 2014 та її цілі частини

Нехай послідовність (an)(a_n) задано умовами a0=2014a_0 = 2014 і an+1=an2an+1a_{n+1} = \frac{a_n^2}{a_n + 1} при n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що [an]=2014−n\left[a_n\right] = 2014 - n для довільного 0⩽n⩽10080 \leqslant n \leqslant 1008.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-097

Нульова сума зі степенями двійки та сума коефіцієнтів

Задано натуральне число nn і цілі числа a0,a1,…,ana_0, a_1, \ldots, a_n, серед яких є хоча б одне відмінне від 00 і ai⩾−1a_i \geqslant -1 при 0⩽i⩽n0 \leqslant i \leqslant n. Відомо, що a0+2a1+22a2+…+2nan=0a_0 + 2a_1 + 2^2 a_2 + \ldots + 2^n a_n = 0. Доведіть, що a0+a1+…+an>0a_0 + a_1 + \ldots + a_n > 0.
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-142

Точки на прямій та 1001 точка в кінці

На прямій відмітили декілька точок. Далі між кожними двома сусідніми точками знову відмітили по одній точці. Таку процедуру повторили скінченну кількість разів. Урешті відміченими виявилися рівно 10011001 точка. Скільки точок могло бути відміченими із самого початку?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-037

Фішка у центрі квадрата 2015 × 2015 і ходи гравців

У центральній клітині квадрата 2015×20152015 \times 2015 стоїть фішка. Два гравці по черзі переставляють цю фішку в сусідню по стороні клітину. Перший має право зробити хід у напрямі попереднього ходу або повернути ліворуч. Другий має право зробити хід у напрямі попереднього ходу або повернути праворуч. Перший гравець робить перший хід у довільному напрямі. Програє той, хто не може зробити хід. Хто виграє за правильної гри обох?
7–8 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-159

Підмножина чисел від 1 до n із сумою-степенем двійки

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — натуральне число. Розглянемо множину SS таку, що S⊂{1,2,…,n}S \subset \{1, 2, \ldots, n\} і ∣S∣>n2|S| > \frac{n}{2}. Доведіть, що з множини SS можна вибрати два елементи aa і bb (не обов'язково різні) такі, що a+ba + b — степінь двійки.
10–11 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-164

Прості слова довжини 2014 з чотирьох літер

Будемо називати словом скінченну послідовність символів із множини {a,b,c,d}\{a, b, c, d\}. Будемо називати деяке слово закінченим, якщо воно має дві послідовні групи однакових символів. Наприклад, слова bacbabacba та abcdaabcda не є закінченими, а слова baabaa і dcabcabddcabcabd закінчені. Називатимемо простими ті слова, які не є закінченими. Доведіть, що кількість простих слів, довжина яких дорівнює 20142014 символів, більша за 220142^{2014}.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-165

Функції з рекурентним співвідношенням і подільністю значень

Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} такі, що виконуються умови: - f(1)=1f(1) = 1; - f(n+2)+(n2+4n+3)f(n)=(2n+5)f(n+1)f(n+2) + (n^2 + 4n + 3) f(n) = (2n + 5) f(n+1) для довільного n∈Nn \in \mathbb{N}; - f(m)⋮f(n)f(m) \vdots f(n) для довільних натуральних m>nm > n.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-169

Цікава множина і число a1 + an - 3

Назвемо множину A⊂NA \subset N цікавою, якщо для довільних x,y∈Ax, y \in A таких, що x<yx < y, число 2y−x2y - x також належить AA. Нехай a1<a2<…<ana_1 < a_2 < \ldots < a_n (n⩾2)(n \geqslant 2) — натуральні числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює 11. Припустимо, що задана цікава множина AA така, що {0,a1,a2,…,an}⊂A\{0, a_1, a_2, \ldots, a_n\} \subset A. Доведіть, що a1+an−3∈Aa_1 + a_n - 3 \in A.
10–11 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-071

Фішки на дошці 2n на 2n та викреслення

Є квадрат розміром 2n×2n2n \times 2n. Андрій може поставити на цьому полі NN фішок (не більше 11 фішки у клітинку), після чого Олеся викреслює деяких nn рядків та деяких nn стовпчиків. Скільки щонайменше фішок має поставити Андрій, щоб Олеся не змогла за будь-якого вибору викреслити всі фішки на полі?
7–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-188

Найменші гроші для вгадування карти з 56 карт

Є карткова колода з 5656 карт. Богдан і Олександр грають у таку гру. Богдан загадує довільну карту. Після цього Олександр називає на свій вибір деяку множину карт. Якщо карта, яку загадав Богдан, знаходиться серед названих, то Олександр дає Богдану дві гривні, якщо ні, то одну. Олександр називає карткові набори доти, доки не вгадає, яку карту загадав Богдан. Яку найменшу кількість грошей повинен мати Олександр для того, щоб у будь-якому випадку дізнатися, яку карту загадав Богдан?
10–11 класиЧисла Фібоначі
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-170

Числа 1/1, …, 1/2013 і заміна двох чисел

На дошці записано числа 11\dfrac{1}{1}, 12\dfrac{1}{2}, 13\dfrac{1}{3}, …\ldots, 12013\dfrac{1}{2013}. Студент вибирає будь-які два числа із записаних на дошці, наприклад xx і yy, та записує замість них одне число x+y+xyx+y+xy. Так він робить, доки не залишиться одне число. Яким може бути це число?
9 класІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-172

Спільні члени двох послідовностей з однаковою рекурентністю

Дві послідовності натуральних чисел (an)(a_n) і (bn)(b_n) задано таким чином: an+2=3an+1+2an,n∈N,a1=1,a2=2;a_{n+2} = 3a_{n+1} + 2a_n, \quad n \in \mathbb{N}, \quad a_1 = 1, \quad a_2 = 2; bn+2=3bn+1+2bn,n∈N,b1=2,b2=1.b_{n+2} = 3b_{n+1} + 2b_n, \quad n \in \mathbb{N}, \quad b_1 = 2, \quad b_2 = 1. Знайдіть усі натуральні числа, які є спільними членами обох послідовностей.
9 класЛінійні рекурентні послідовності
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-250

Строго зростаючі функції з нерівністю для f(f(n))

Знайдіть усі строго зростаючі функції f ⁣:Z+→Z+f\colon \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+, для яких ∀n∈Z+\forall n \in \mathbb{Z}^+ справджується умова: n+f(f(n))⩽2f(n)n + f(f(n)) \leqslant 2f(n).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-031

Ітерації кількості дільників без квадратів

Для натурального числа nn позначимо через d(n)d(n) кількість натуральних дільників числа, включаючи 11 та nn. Знайдіть усі такі натуральні nn, для яких у множині {n,d(n),d(d(n)),d(d(d(n))),…}\{n, d(n), d(d(n)), d(d(d(n))), \ldots\} немає жодного квадрата натурального числа.
8 класКількість дільників τ(n)
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-032

Рівняння x² + 15y² = 4^p для простого p

Доведіть, що для кожного простого pp рівняння x2+15y2=4px^2+15y^2=4^p має принаймні pp цілих невід'ємних розв'язків (x,y)(x, y).
8 класМетод математичної індукції
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-126

Гра з відніманням і модулями та найменша сума

На дошці записано nn чисел x1, x2, …, xnx_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n. Андрій та Богдан грають у таку гру, яка складається рівно з nn кроків. На кожному кроці Андрій вибирає довільне число та віднімає це число від кожного із записаних на дошці чисел (тобто на дошці записує вже нові числа). Після цього Богдан замість кожного числа на дошці записує модуль цього числа. По завершенні гри (nn кроків) Андрій сплачує Богдану суму всіх записаних чисел у гривнях. Для кожного заданого набору чисел визначте, яку найменшу суму може програти Андрій за умови своєї правильної гри.
6–7 класиКонструкція за індукцією
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-198

Рекурентно задана послідовність та сума її членів

Нехай x0=12013x_0 = \frac{1}{2013} і для кожного k=1,2012‾k = \overline{1, 2012} значення xkx_k визначається рівністю xk=12013−k(x0+x1+…+xk−1)x_k = \frac{1}{2013 - k}(x_0 + x_1 + \ldots + x_{k-1}). Знайдіть значення суми S=x0+x1+…+x2012S = x_0 + x_1 + \ldots + x_{2012}.
9 класСуми послідовностей
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-211

Сума квадратів добутків підмножин без сусідніх чисел

Розглядаємо всі підмножини множини {1,2,…,N}\{1, 2, \ldots, N\}, які не містять послідовних натуральних чисел, та обчислюємо для них добуток усіх елементів. Чому дорівнює сума квадратів цих добутків? Вважаємо за означенням, що порожня множина має добуток елементів, що дорівнює 11.
9 класРекурентний підрахунок
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-215

Рекурентна послідовність і прості члени

Рекурентна послідовність (un)(u_n) задається таким чином: u0=0,u1=1,un=2011un−1−un−2,n⩾2.u_0 = 0,\quad u_1 = 1,\quad u_n = 2011u_{n-1} - u_{n-2},\quad n \geqslant 2. Знайдіть усі значення nn, для яких число unu_n — просте.
9 класЛінійні рекурентні послідовності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-184

Бактерії, поділ надвоє і родоначальники династій

Учені відкрили новий вид бактерій. Кожна бактерія живе рівно одну хвилину, після чого або ділиться надвоє, або зникає. Будемо говорити, що бактерія α\alpha породила бактерію β\beta, якщо існує послідовність бактерій α=γ0, γ1, …, γn=β\alpha=\gamma_0,\ \gamma_1,\ \ldots,\ \gamma_n=\beta така, що γi\gamma_i є результатом поділу γi−1\gamma_{i-1} при n⩾i>0n \geqslant i > 0. Також назвемо бактерію родоначальником династії, якщо вона поділилася надвоє і кожна з отриманих бактерій породила щонайменше kk інших бактерій (kk — деяке фіксоване ціле невід’ємне число). Під час останнього експерименту бактерія α\alpha породила n−1n-1 бактерію. Доведіть, що серед nn бактерій, які довелося спостерігати вченим, є не більше ніж nk+2\dfrac{n}{k+2} родоначальників династій.
10–11 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-185

Гарні числа та суми квадратів

Натуральне число nn назвемо гарним, якщо для кожного натурального aa, яке можна подати у вигляді a=n2∑i=1nxi2a=n^2\sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2, де xix_i — деякі натуральні числа, існують натуральні числа y1y_1, y2y_2, …\ldots, yny_n такі, що жодне з них не ділиться на nn і a=∑i=1nyi2a=\sum\limits_{i=1}^{n} y_i^2. Знайдіть усі гарні числа.
10–11 класиМіркування за модулем
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-088

Сума обернених членів послідовності і оберненого добутку

Послідовність (an)(a_n) визначається такими умовами: a1=2a_1 = 2, an+1=1+a1a2…ana_{n+1} = 1 + a_1 a_2 \ldots a_n, n⩾1n \geqslant 1. Позначимо Sn=1a1+1a2+…+1anS_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}, Pn=1a1a2…anP_n = \frac{1}{a_1 a_2 \ldots a_n}. Знайдіть суму S2009+P2009S_{2009} + P_{2009}.
9 класСуми послідовностей
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-195

Найменша кількість внутрішніх діагоналей 2013-кутника

Діагональ — це відрізок, що сполучає дві вершини многокутника, які не лежать на одній його стороні. Назвемо діагональ многокутника, обмеженого ламаною без самоперетинів, внутрішньою, якщо всі її точки лежать строго всередині многокутника. Яку найменшу кількість внутрішніх діагоналей може мати 20132013-кутник?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-197

Поєднуючий колір на дошці 2013×2013

Кожну клітинку дошки розміром 2013×20132013 \times 2013 пофарбовано в один з nn кольорів (кожен колір не обов’язково використано хоча б один раз). Назвемо колір поєднуючим, якщо лише одну клітинку пофарбовано в цей колір або для довільних клітинок одного кольору існує шлях шахової королеви, який пролягає лише по клітинках цього кольору. Знайдіть найбільше можливе значення nn таке, що у разі довільного розфарбування дошки в nn кольорів буде хоча б один поєднуючий колір. Примітка. Шахова королева може рухатися по горизонталі, по вертикалі або по діагоналі на довільну кількість клітинок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-199

Число 2^n + 2013 і його прості дільники

Доведіть, що існує натуральне nn таке, що число 2n+20132^n + 2013 має не менше ніж 20132013 різних простих дільників.
10–11 класиТеорема Ейлера

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.