Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 236 задач
КомбінаторикаМетоди комбінаторних обчислень
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-126

24 точки в просторі та 2013 площин

Чи можна в просторі відмітити 2424 точки, жодні три з яких не лежать на одній прямій, і провести рівно 20132013 різних площин так, щоб кожна містила не менше трьох відмічених точок і будь-яка трійка відмічених точок належала хоча б одній із цих площин?
10 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-11-12-024

Кількість чисел n з однаковим значенням функції

Функція f:N→Nf:\mathbb{N}\to\mathbb{N} задовольняє такі умови: 1) f(1)=1f(1)=1; 2) f(2n)=f(n)f(2n)=f(n), якщо nn парне; 3) f(2n)=2f(n)f(2n)=2f(n), якщо nn непарне; 4) f(2n+1)=2f(n)+1f(2n+1)=2f(n)+1, якщо nn парне; 5) f(2n+1)=f(n)f(2n+1)=f(n), якщо nn непарне. Знайдіть кількість натуральних чисел n⩽2047n \leqslant 2047, для яких виконується умова f(n)=f(2011).f(n)=f(2011).
10 класСистеми числення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-028

Суми рядків, стовпців і діагоналей таблиці 4×4

У кожній клітинці квадратної таблиці 4×44 \times 4 міститься число 00 або число 11. Поряд із таблицею записали 1010 чисел: суми значень у кожному з 44 рядків, суми значень у кожному з 44 стовпців і суми чисел на кожній із 22 великих діагоналей (які містять по чотири клітинки). Доведіть, що серед одержаних десяти чисел є принаймні три однакових.
11 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-054

Нерівність з максимумом двох виразів

Розв'яжіть нерівність max⁡{2−2x,4}>x\max\{2-2x, 4\}>x, де max⁡{a,b}\max\{a, b\} дорівнює більшому з двох чисел aa, bb.
8 класРозбиття на випадки
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-062

Білі, сірі та чорні числа і відношення сум

По колу розташовані білі, сірі та чорні числа. Кожне біле число дорівнює півсумі двох сусідніх з ним чисел, кожне сіре число дорівнює сумі двох сусідніх з ним чисел, а кожне чорне — подвоєній сумі двох сусідніх з ним чисел. Відомо, що сума всіх сірих чисел GG та сума всіх чорних чисел BB не дорівнюють нулю. Знайдіть відношення GB\frac{G}{B}.
8 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-074

Футбольний турнір восьми команд і останні тури

Учитель фізкультури планує провести футбольний турнір між 88 шкільними командами у 77 турів. Протягом одного туру кожна команда грає рівно з однією іншою командою. За турнір кожна пара команд має зіграти між собою рівно один раз. а) Якщо вчитель провів 66 турів так, що жодна пара команд не зустрічалася двічі, чи обов'язково він зможе провести останній тур, не порушивши цієї умови? б) Якщо вчитель провів 55 турів так, що жодна пара команд не зустрічалася двічі, чи обов'язково він зможе провести ще два тури, не порушивши цієї умови?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-039

Дев'ять одиниць у рядок і вираз зі значенням 2012

Дано дев'ять одиниць, записаних в рядок. Між ними можна вставляти знаки «+» та «−» (не більше одного знака між двома цифрами). Чи можна таким чином отримати числовий вираз, рівний 20122012, якщо: а) усього використано рівно чотири знаки «+» та «−» (наприклад, як у виразі 111+1+11−1+11;111+1+11-1+11; б) усього використано рівно три знаки «+» та «−» (наприклад, як у виразі 111+1+11+111?111+1+11+111?
7 класПарність та непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-068

Числа 1–8 у вершинах восьмикутника та суми трійок сусідів

Чи можна записати цілі числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 у вершинах правильного восьмикутника (по одному біля кожної вершини) так, щоб сума чисел біля будь-яких трьох послідовних вершин восьмикутника була більшою: а) за 1313; б) за 1111; в) за 1212?
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-126

Множина точок на координатній площині з модулем

Зобразіть на координатній площині XOYXOY множину всіх точок M (x; y)M\ (x;\,y), координати яких задовольняють рівність ∣y−x∣=2−x−y|y-x| = 2-x-y.
8 класРозбиття на випадки
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-145

Кількість вдалих послідовностей довжини 2n

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — задане натуральне число. Послідовність із 2n2n чисел a1a_1, a2a_2, …\ldots, a2na_{2n} будемо називати вдалою, якщо виконуються такі три умови: 1) усі числа a1a_1, a2a_2, …\ldots, ana_n є попарно різними елементами множини {1;2;…;n}\{1; 2; \ldots; n\}; 2) ak=an+ka_k = a_{n+k} для всіх k=1,n‾k = \overline{1, n}; 3) існують такі i1<i2<…<ini_1 < i_2 < \ldots < i_n із множини {1;2;…;2n}\{1; 2; \ldots; 2n\}, що aik=ka_{i_k} = k для всіх k=1,n‾k = \overline{1, n}. Наприклад, для n=5n = 5 послідовність 1,3,4,2,5,1,3,4,2,51, 3, 4, 2, 5, 1, 3, 4, 2, 5 є вдалою, а послідовність 2,1,3,5,4,2,1,3,5,42, 1, 3, 5, 4, 2, 1, 3, 5, 4 — ні. Для кожного n⩾3n \geqslant 3 знайдіть кількість вдалих послідовностей.
10 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-001

Квадрати перемог і поразок у круговому турнірі

У тенісному турнірі в одне коло (кожний гравець грає з кожним рівно по одному разу) грали nn тенісистів. Позначимо через wiw_i та lil_i відповідно кількість перемог та поразок ii-го учасника (нічиїх у тенісі не буває). Доведіть, що виконується рівність w12+w22+…+wn2=l12+l22+…+ln2.w_1^2 + w_2^2 + \ldots + w_n^2 = l_1^2 + l_2^2 + \ldots + l_n^2.
8 класЛінійні заміни (зведення до нуля,…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-003

Спадні шістки натуральних чисел із сумами пар 22

Скільки існує різних упорядкованих шісток натуральних чисел (a,b,c,d,e,f)(a, b, c, d, e, f), для яких справджуються такі умови: a>b>c>d>e>fa > b > c > d > e > f та a+f=b+e=c+d=22a + f = b + e = c + d = 22?
8 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-015

Фарбування n-кутника в n кольорів з триколірними трикутниками

Знайдіть усі натуральні nn, для яких усі сторони та діагоналі опуклого nn-кутника можна пофарбувати в один із заданих nn кольорів (відрізок фарбують повністю одним кольором) таким чином, що справджується умова: для кожної трійки різних кольорів існує трикутник з вершинами серед вершин многокутника такий, що його сторони пофарбовано в ці кольори.
9 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-033

Найменша кількість натискань для вимкнення 2011 ламп

Є ряд ламп, що пронумеровані числами 1,2,…,20111, 2, \ldots, 2011. Кожна лампа має свій окремий перемикач, який після натискання переводить відповідну лампу зі стану ВКЛ у стан ВИКЛ та навпаки. Перемикачі можна натискати лише в такий спосіб: 1. Перемикач № 11 можна натискати будь-коли. 2. Перемикач з номером k∈{2,3,…,2011}k \in \{2, 3, \ldots, 2011\} можна натискати тільки за умови, що лампа з номером k−1k - 1 перебуває в стані ВКЛ, а лампи з номерами 1,2,…,k−21, 2, \ldots, k - 2 (якщо такі існують) — у стані ВИКЛ. Спершу всі лампи перебувають у стані ВКЛ. Доведіть, що найменша кількість натискань на перемикачі, які потрібно зробити, щоб перевести всі лампи у стан ВИКЛ, дорівнює 22012−13\dfrac{2^{2012} - 1}{3}.
11 класЛінійні рекурентні послідовності
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-011

Трикутники з вершинами в заданих точках без точок всередині

На площині задано n⩾3n \geqslant 3 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Доведіть, що існує принаймні n(n−2)3\dfrac{n(n-2)}{3} трикутники, вершини яких вибрані серед заданих точок, такі, що всередині трикутників не міститься жодної іншої точки з цієї множини.
8 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-028

Рівність кількості танцювальних пар у двох містах

Нехай nn — натуральне число. У місті XX живуть nn дівчат і nn хлопців, та кожна дівчина знає кожного з хлопців. У місті YY живуть nn дівчат g1,g2,…,gng_1, g_2, \ldots, g_n та 2n−12n - 1 хлопців b1,b2,…,b2n−1b_1, b_2, \ldots, b_{2n - 1}. Для кожного i=1,n‾i = \overline{1, n} дівчина gig_i знає тільки хлопців b1,b2,…,b2i−1b_1, b_2, \ldots, b_{2i - 1} (з іншими не знайома). Нехай існує деяке натуральне rr таке, що 1⩽r⩽n1 \leqslant r \leqslant n. У кожному місті rr дівчат та rr хлопців утворили на вечірці пари для танців, причому кожна дівчина танцює зі знайомим хлопцем. Позначимо через X(r)X(r) кількість варіантів, якими ми можемо утворити rr пар, що танцюють у місті XX, а через Y(r)Y(r) — аналогічну величину в місті YY. Доведіть, що для кожного r=1,n‾r = \overline{1, n} справджується рівність X(r)=Y(r)X(r) = Y(r).
10 класРекурентний підрахунок
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-023

Два трикутники з синусами та косинусами кутів

Трикутники ABCABC та A1B1C1A_1B_1C_1 такі, що sin⁡A1=cos⁡A\sin A_1 = \cos A, sin⁡B1=cos⁡B\sin B_1 = \cos B, sin⁡C1=cos⁡C\sin C_1 = \cos C. Знайдіть градусну міру найбільшого з кутів AA, BB, CC, A1A_1, B1B_1, C1C_1.
10 класТригонометричні рівняння
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-088

Пари цілих чисел з добутком модулів 2011

Знайдіть усі пари цілих чисел (x,y)(x, y), що задовольняють рівність ∣x+∣x+∣x∣∣∣⋅∣∣∣−y∣−y∣−y∣=2011.\left|x + \left|x + \left|x\right|\right|\right| \cdot \left|\left|\left|-y\right| - y\right| - y\right| = 2011.
8 класРозбиття на випадки
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-096

Парність сторін многокутників розбиття 100-кутника

В опуклому 100100-кутнику відмітили всі його вершини, а також декілька точок усередині цього многокутника. Жодні три з відмічених точок не лежать на одній прямій. Відмічені точки сполучили між собою таким чином, що многокутник виявився повністю розбитим на 20112011 опуклих многокутників. Доведіть, що принаймні один із цих многокутників має парну кількість сторін.
9 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-09-10-006

Сині та жовті точки на прямій з сумами відстаней

На прямій відмічено nn синіх та nn жовтих точок. Як треба розташувати ці точки, щоб сума попарних відстаней між однокольоровими точками була більшою від суми відстаней між різнокольоровими точками?
8 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-09-10-027

Найбільша кількість команд хокейного турніру в одне коло

Хокейний турнір, у якому брали участь більше ніж 55 команд, проводився в одне коло, тобто кожна команда зіграла з іншою один раз. Виявилося, що всі команди набрали різну кількість очок. Команда, що стала останньою, виграла не менше 25%25\% своїх матчів, а команда, що посіла друге місце, — не більше 40%40\% своїх матчів. Яка найбільша кількість команд могла брати участь у цьому турнірі? (У хокеї за перемогу дають 22 очки, за нічию — 11 очко, за поразку — 00 очок.)
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-09-10-022

Два автомати з перестановками та числа на місцях

Два автомати виконують перестановки чисел. Якщо в деякий автомат увести числа a1a_1, a2a_2,..., a2010a_{2010} (у вказаному порядку), то автомат видає ті ж самі числа, що розташовані в деякому (власному для кожного автомата) порядку. Цей порядок залежить лише від номерів чисел, що поступають на вхід, і не залежить від величин самих чисел. У першому випадку спочатку в перший автомат була введена послідовність чисел 1,2,…,20101, 2, \ldots, 2010. Одержаний на виході результат був уведений у другий автомат. У другому випадку в другий автомат увели послідовність чисел 2010,2009,…,12010, 2009, \ldots, 1, а одержаний на виході результат був уведений у перший автомат. Доведіть, що кількість чисел, що залишились на своїх місцях унаслідок таких послідовних перетворень у двох автоматах, однакова для обох спроб.
9 класБієкції
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-09-10-023

Розсадження десяти перекладачів по парах зі спільною мовою

Десять перекладачів запрошені на конгрес, де використовуються п'ять різних мов, при цьому кожний перекладач володіє двома мовами та в усіх десяти перекладачів вони різні. Скількома способами їх можна розсадити по двоє у п'яти кімнатах таким чином, щоб у кожній кімнаті перекладачі мали спільну мову для спілкування між собою? Варіанти заповнення однакові, якщо всі пари однакові (сама кімната ролі не відіграє).
9 класРозбиття на випадки
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-001

Найшвидша дорога із села П у село Ф

Уздовж шляху, який має форму кола довжиною 100100 км, за рухом годинникової стрілки розташовані села: Фінішне (Ф), на відстані 3535 км від нього — Пішохідне (П), далі від нього на відстані 2525 км — Велосипедне (В). Андрійку потрібно дістатись якнайшвидше із села П у село Ф. Як це йому зробити, якщо він може рухатися лише пішки зі швидкістю 55 км/год або дістатися села В і далі вже їхати на велосипеді зі швидкістю 2525 км/год? Яким маршрутом йому потрібно рухатись і який час він на це витратить?
6 класРозбиття на випадки
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-004

Кількість варіантів трьох оцінок із середнім балом 10

За півріччя Андрій написав три тематичні контрольні роботи з математики, у результаті чого його середній бал став дорівнювати 1010. Скількома варіантами оцінок цього можна було досягти (варіанти однакових оцінок, записаних у різному порядку, наприклад 11,10,911, 10, 9 і 9,10,119, 10, 11 вважають однаковими)?
6 класМетод оцінок, що веде до малого п…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.