Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

217 задач
АлгебраНерівність Коші-Буняковського
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-048

Нерівність із сумою попарних добутків

Нехай xx, yy і zz — додатні дійсні числа такі, що xy+yz+zx=3x y + y z + z x = 3. Доведіть, що x+3y+z+y+3z+x+z+3x+y+3⩾27(x+y+z)2(x+y+z)3\frac{x+3}{y+z} + \frac{y+3}{z+x} + \frac{z+3}{x+y} + 3 \geqslant 27 \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})^{2}}{(x+y+z)^{3}}
8–10 класиНерівність Коші-Буняковського2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-023

Позначені клітинки, що утворюють прямокутник

Щонайменше n(n+12)n\left(\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right) клітинок дошки n×nn \times n позначено. Доведіть, що існують чотири позначені клітинки, які утворюють вершини прямокутника.
8–10 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-061

Нерівність з умовою на суму попарних добутків

Нехай xx, yy, zz — додатні дійсні числа, такі, що xy+yz+zx=1x y + y z + z x = 1. Доведіть, що 2(x2+y2+z2)+43(1x2+1+1y2+1+1z2+1)⩾52\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+\frac{4}{3}\left(\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}\right) \geqslant 5
8–10 класиНерівність Коші2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-090

Нерівність із циклічною сумою квадратів

Нехай n⩾3n \geqslant 3 і нехай x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} — дійсні числа. Доведіть, що 2(x1+⋯+xn)2⩽n(x12+⋯+xn2+x1x2+x2x3+⋯+xn−1xn+xnx1)2\left(x_{1}+\cdots+x_{n}\right)^{2} \leqslant n\left(x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}+x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\cdots+x_{n-1} x_{n}+x_{n} x_{1}\right)
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2023-021

Нерівність для суми обернених квадратів і кубів

Нехай n≥m≥1n \ge m \ge 1 — натуральні числа. Доведіть, що ∑k=mn(1k2+1k3)≥m⋅(∑k=mn1k2)2.\sum_{k=m}^{n} \left( \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^3} \right) \ge m \cdot \left( \sum_{k=m}^{n} \frac{1}{k^2} \right)^2 .
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-003

Циклічна нерівність зі зсувами

Нехай n≥3n \ge 3 — ціле число, а a1,…,ana_1, \dots, a_n і b1,…,bnb_1, \dots, b_n — дійсні числа. Доведіть таку нерівність. ∑i=1nai(bi−bi+3)≤3n8∑i=1n[(ai−ai+1)2+(bi−bi+1)2](an+1=a1 і bn+1=b1 для i=1,2,3)\sum_{i=1}^{n} a_i (b_i - b_{i+3}) \le \frac{3n}{8} \sum_{i=1}^{n} \left[ (a_i - a_{i+1})^2 + (b_i - b_{i+1})^2 \right] \\ (a_{n+1} = a_1 \text{ і } b_{n+1} = b_1 \text{ для } i = 1, 2, 3)
10–11 класиНерівність Коші3 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-038

Найменше і найбільше значення виразу за умови суми квадратів

Нехай xx, yy і zz — три дійсні числа такі, що x2+y2+z2=1x^{2}+y^{2}+z^{2}=1. Знайдіть найменше та найбільше можливі значення дійсного числа xy+yz−zxx y+y z-z x.
8–10 класиНерівність Коші-Буняковського
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-102

Максимальна сума після операцій над векторами

На дошці записано такі шість векторів: (1,0,0),(−1,0,0),(0,1,0),(0,−1,0),(0,0,1),(0,0,−1)(1,0,0), \quad(-1,0,0), \quad(0,1,0), \quad(0,-1,0), \quad(0,0,1), \quad(0,0,-1) Для двох векторів vv і ww на дошці хід полягає в тому, щоб стерти vv і ww та замінити їх на 12(v+w)\frac{1}{\sqrt{2}}(v+w) і 12(v−w)\frac{1}{\sqrt{2}}(v-w). Після деякої кількості ходів сума шести векторів на дошці дорівнює uu. Знайдіть з доведенням максимально можливу довжину вектора uu.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2022-031

Максимальна сума площ ґраткових чотирикутників

Для фіксованого натурального числа kk нехай KK — множина всіх точок ґратки (x,y)(x, y) на площині, обидві координати xx і yy яких є невід’ємними цілими числами, меншими за 2k2k. Отже, ∣K∣=4k2|K| = 4k^{2}. Нехай множина VV складається з k2k^{2} невироджених чотирикутників з такими властивостями: i) Вершини всіх цих чотирикутників є елементами множини KK. ii) Кожна точка з KK є вершиною рівно одного з чотирикутників множини VV. Визначте найбільше можливе значення, якого може набувати сума площ усіх k2k^{2} чотирикутників з VV.
10–11 класиПлоща чотирикутника
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-010

Рівняння з коренями і раціональним доданком

Знайдіть усі дійсні числа xx такі, що −1<x≤2-1 < x \leq 2 і 2−x+2+2x=x4+1x2+1+x+3x+1.\sqrt{2 - x} + \sqrt{2 + 2x} = \sqrt{\frac{x^{4} + 1}{x^{2} + 1}} + \frac{x + 3}{x + 1}.
10–11 класиНерівність Коші
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-006

Нерівності з перестановкою, що дають рівність

Нехай aa, bb, cc та dd — чотири дійсні числа. Припустимо, що існує перестановка (x,y,z,t)(x, y, z, t) чисел a,b,ca, b, c та dd така, що x⩽2a−b,y⩽2b−c,z⩽2c−d і t⩽2d−a.x \leqslant 2 a-b, \quad y \leqslant 2 b-c, \quad z \leqslant 2 c-d \text{ і } t \leqslant 2 d-a. Доведіть, що a=b=c=da = b = c = d.
8–10 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-050

Сума квадратів, що ділить квадрат суми мінус один

Знайдіть найменше ціле n⩾2n \geqslant 2, для якого існують додатні цілі числа a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n} такі, що a12+…+an2∣(a1+…+an)2−1a_{1}^{2}+\ldots+a_{n}^{2} \mid \left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right)^{2}-1
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-023

Максимальна координата за умови нульової суми

Нехай n⩾2n \geqslant 2 і нехай x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} — дійсні числа такі, що x1+x2+⋯+xn=0x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0 та x12+x22+⋯+xn2=1x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=1. Доведіть, що існує ii таке, що xi⩾1n(n−1)x_{i} \geqslant \frac{1}{\sqrt{n(n-1)}}.
9–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-037

Максимум суми квадратних коренів

Знайти найбільше значення x+2y+2+3z+6\sqrt{x}+\sqrt{2 y+2}+\sqrt{3 z+6}, коли x,y,zx, y, z — додатні дійсні числа, що задовольняють x+y+z=3x+y+z=3.
9–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-065

Мінімум квадратичного виразу

Для всіх дійсних чисел xx і yy знайдіть найменше можливе значення (xy)2+(x+7)2+(2y+7)2(x y)^{2}+(x+7)^{2}+(2 y+7)^{2}
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2018-022

Оцінка кількості чорних клітинок на дошці

Нехай для натурального числа nn дано дошку n×nn \times n. Пофарбуємо kk клітинок у чорний колір так, щоб для будь-яких трьох стовпців існував щонайбільше один рядок, у якому всі клітинки на перетині з цими трьома стовпцями пофарбовано в чорний колір. Доведіть, що виконується: 2kn≤8n−7+1\frac{2 k}{n} \leq \sqrt{8 n-7}+1
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2018-026

Нерівність з добутками квадратних тричленів і різниць

Нехай aa, bb, cc, dd — дійсні числа. Доведіть: (a2−a+1)(b2−b+1)(c2−c+1)(d2−d+1)≥916(a−b)(b−c)(c−d)(d−a)\left(a^{2}-a+1\right)\left(b^{2}-b+1\right)\left(c^{2}-c+1\right)\left(d^{2}-d+1\right) \geq \frac{9}{16}(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-056

Розбіжність зваженого ряду з коренем

Знайдіть найбільше дійсне число kk таке, що існує послідовність додатних дійсних чисел {ai}\{a_{i}\}, для якої ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} збігається, але ∑n=1∞annk\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{k}} розбігається.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-013

Максимальне натуральне число в симетричній нерівності

Знайдіть найбільше натуральне число nn, таке, що для всіх дійсних чисел a,b,c,da, b, c, d виконується: (n+2)a2+b2+(n+1)a2+c2+(n+1)a2+d2≥n(a+b+c+d)(n+2) \sqrt{a^{2}+b^{2}}+(n+1) \sqrt{a^{2}+c^{2}}+(n+1) \sqrt{a^{2}+d^{2}} \geq n(a+b+c+d)
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2014-001

Нерівність із симетричними сумами та кубами

Нехай xx, yy, zz — додатні дійсні числа, які задовольняють x+y+z=1x + y + z = 1. Доведіть, що (1+xy+yz+zx)(1+3x3+3y3+3z3)9(x+y)(y+z)(z+x)≥(x1+x3+9x24+y1+y3+9y24+z1+z3+9z24)2\frac{(1 + xy + yz + zx)(1 + 3x^3 + 3y^3 + 3z^3)}{9(x + y)(y + z)(z + x)} \ge \left( \frac{x\sqrt{1+x}}{\sqrt[4]{3+9x^2}} + \frac{y\sqrt{1+y}}{\sqrt[4]{3+9y^2}} + \frac{z\sqrt{1+z}}{\sqrt[4]{3+9z^2}} \right)^2
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-001

Найменший добуток зсунутих квадратів дійсних коренів

Нехай aa, bb, cc, dd — дійсні числа, для яких b−d≥5b - d \ge 5 і всі корені x1x_1, x2x_2, x3x_3, x4x_4 многочлена P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d є дійсними. Знайдіть найменше значення, яке може набувати добуток (x12+1)(x22+1)(x32+1)(x42+1)(x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)(x_3^2 + 1)(x_4^2 + 1).
10–11 класиТеорема Вієта2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-046

Екстремум суми квадратних коренів за квадратичної умови

Визначити найбільше можливе значення та найменше можливе значення виразу 4−a2+4−b2+4−c2\sqrt{4-a^{2}}+\sqrt{4-b^{2}}+\sqrt{4-c^{2}} коли a,b,ca, b, c — невід'ємні дійсні числа, що задовольняють a2+b2+c2=6a^{2}+b^{2}+c^{2}=6.
9–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2013-001

Максимізація триколірних трикутників у клубі

У соціальному клубі 2k+12k + 1 членів, кожен з яких вільно володіє тими самими kk мовами. Будь-яка пара членів завжди розмовляє між собою лише однією мовою. Припустимо, що не існує трьох членів, які між собою користуються лише однією мовою. Нехай AA — кількість підмножин із трьох членів, у яких три різні пари розмовляють різними мовами. Знайдіть найбільше можливе значення AA.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2013-046

Нерівність для зважених сум

Нехай x1,…,xnx_1, \dots, x_n — невід'ємні дійсні числа, не всі з яких дорівнюють нулю. (i) Доведіть, що 1≤(x1+x22+x33+⋯+xnn)⋅(x1+2x2+3x3+⋯+nxn)(x1+x2+x3+⋯+xn)2≤(n+1)24n.1 \le \frac{\left(x_1 + \frac{x_2}{2} + \frac{x_3}{3} + \dots + \frac{x_n}{n}\right) \cdot \left(x_1 + 2x_2 + 3x_3 + \dots + nx_n\right)}{\left(x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n\right)^2} \le \frac{(n+1)^2}{4n}. (ii) Покажіть, що для кожного n≥1n \ge 1 обидві нерівності можуть виконуватись як рівності.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-006

Максимум суми попарних добутків

Нехай n≥2n \ge 2 — натуральне число. Визначимо множину TT так: T={(i,j):1≤i<j≤n і i∣j}.T = \{ (i, j) : 1 \le i < j \le n \text{ і } i \mid j \}. Для невід’ємних дійсних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n, які задовольняють умову x1+x2+⋯+xn=1x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1, знайдіть найбільше значення (як функцію від nn) виразу ∑(i,j)∈Txixj.\sum_{(i,j) \in T} x_i x_j.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.