Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

201 задача
ГеометріяОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-036

Радіус описаної сфери рівнобедреного тетраедра

Тетраедр ABCDA B C D з об'ємом 11 вписано в описану сферу ω\omega так, що AB=AC=AD=2A B = A C = A D = 2 і BC⋅CD⋅DB=16B C \cdot C D \cdot D B = 16. Знайдіть радіус сфери ω\omega.
10–11 класиОписане коло
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-034

Серединний перпендикуляр і центр описаного кола

Серединним перпендикуляром до відрізка XYX Y називається пряма, перпендикулярна до відрізка, що проходить через його середину. Основна властивість серединного перпендикуляра полягає в тому, що точка лежить на ньому тоді й лише тоді, коли відстань від цієї точки до XX дорівнює відстані від цієї точки до YY. Твердження, сформульоване з використанням «тоді й лише тоді», рівносильне двом імплікаціям. У даному випадку, щоб перевірити сформульоване твердження, нам потрібно, з одного боку, показати, що якщо відстань до XX дорівнює відстані до YY, то точка лежить на серединному перпендикулярі. З іншого боку, нам потрібно показати, що якщо точка лежить на серединному перпендикулярі, то відстані до точок XX і YY рівні. Щоб довести першу частину, розгляньмо точку PP таку, що PX=PYP X=P Y, і нехай MM — середина відрізка XYX Y. Трикутники PMXP M X і PMYP M Y рівні, оскільки мають три відповідні сторони однакової довжини. Отже, ∠PMX=∠PMY\angle P M X=\angle P M Y. Оскільки X,MX, M і YY колінеарні, маємо ∠PMX+∠PMY=180∘\angle P M X+\angle P M Y=180^{\circ}. Отже, ∠PMX=90∘\angle P M X=90^{\circ} і PP лежить на прямій, перпендикулярній до відрізка, що проходить через його середину. a) Доведіть другу частину твердження, тобто доведіть, що якщо PP — точка на серединному перпендикулярі до відрізка XYX Y, то PX=PYP X=P Y. b) Доведіть, що будь-який трикутник ABCA B C має точку OO в тій самій площині таку, що OA=OB=OCO A=O B=O C. Ця точка називається центром описаного кола трикутника, оскільки коло з центром OO і радіусом AOA O проходить через три вершини трикутника ABCA B C. c) Розгляньмо чотирикутник ABCDA B C D. Припустимо, що серединні перпендикуляри до відрізків ABA B, ACA C і ADA D перетинаються в одній точці, тобто всі три проходять через одну й ту саму точку. Доведіть, що існує коло, яке проходить через 4 вершини чотирикутника ABCDA B C D.
8–9 класиТочка перетину серединних перпенд…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-124

Перетин описаних кіл у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=3AB = 3, AC=8AC = 8, BC=7BC = 7, а MM і NN — середини сторін AB‾\overline{AB} та AC‾\overline{AC} відповідно. Точку TT вибрано на стороні BCBC так, що AT=TCAT = TC. Описані кола трикутників BATBAT, MANMAN перетинаються в точці DD. Обчисліть довжину відрізка DCDC.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-126

Площа трикутника за дотичними вписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II, вписаним колом γ\gamma та описаним колом Γ\Gamma. Нехай M,N,PM, N, P — середини сторін BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA}, AB‾\overline{AB}, а E,FE, F — точки дотику кола γ\gamma зі сторонами CA‾\overline{CA} та AB‾\overline{AB} відповідно. Нехай UU, VV — перетини прямої EFEF з прямими MNMN та MPMP відповідно, а XX — середина дуги BAC^\widehat{BAC} кола Γ\Gamma. Відомо, що AB=5AB=5, AC=8AC=8 та ∠A=60∘\angle A=60^\circ, обчисліть площу трикутника XUVXUV.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-127

Рівновіддалена точка решітки за модулем простого числа

Нехай S={(x,y)∣x,y∈Z,0≤x,y≤2016}S=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z}, 0 \leq x, y \leq 2016\}. Для точок A=(x1,y1)A=(x_1, y_1), B=(x2,y2)B=(x_2, y_2) з SS визначимо d2017(A,B)=(x1−x2)2+(y1−y2)2(mod2017)d_{2017}(A, B) = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \pmod{2017} Точки A=(5,5)A=(5,5), B=(2,6)B=(2,6), C=(7,11)C=(7,11) лежать в SS. Існує також точка O∈SO \in S, яка задовольняє d2017(O,A)=d2017(O,B)=d2017(O,C)d_{2017}(O, A) = d_{2017}(O, B) = d_{2017}(O, C) Знайдіть d2017(O,A)d_{2017}(O, A).
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-103

Коло, дотичне до трьох кіл у квадратній сітці

Розглянемо сітку 3×33 \times 3 з квадратів. У квадрат у лівому нижньому куті, середній квадрат верхнього рядка та крайній правий квадрат середнього рядка вписано по одному колу, а коло OO з радіусом rr проведено так, що OO зовні дотикається до кожного з трьох вписаних кіл. Якщо довжина сторони кожного квадрата дорівнює 11, обчисліть rr.
10–11 класиОписане коло
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-008

Чотирикутник 24, 20, 15, 7, 25 і діагональ AC

Нехай ABCDABCD — чотирикутник такий, що AB=24AB=24, BC=20BC=20, CD=15CD=15, DA=7DA=7, BD=25BD=25. Яка довжина відрізка ACAC? (A) 18 (B) 14214\sqrt{2} (C) 20 (D) 21 (E) 24
9–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-074

Прямокутний трикутник з рівними медіаною та катетом

Нехай ABCABC — трикутник, у якому ∠B=90∘\angle B = 90^{\circ}. Відомо, що існує точка DD на гіпотенузі ACAC така, що AD=DCAD = DC і BD=BCBD = BC. Обчисліть значення відношення ABBC\frac{AB}{BC}.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-123

Перетин у описаному колі трикутника

Трикутник ABCA B C має сторони AB=14A B=14, BC=13B C=13 і CA=15C A=15. Він вписаний у коло Γ\Gamma з центром OO. Нехай MM — середина сторони ABA B, нехай B′B^{\prime} — точка на колі Γ\Gamma, діаметрально протилежна BB, а XX — точка перетину прямих AOA O і MB′M B^{\prime}. Знайдіть довжину AXA X.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-062

Трикутник, у якого лінія центрів паралельна стороні

Нехай ABCABC — трикутник із центром описаного кола OO, центром вписаного кола II, ∠B=45∘\angle B = 45^{\circ} і OI∥BCOI \parallel BC. Знайдіть cos⁡∠C\cos \angle C.
10–11 класиОписане коло
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-010

Точка E на діагоналі квадрата ABCD і квадрат AO1EO2

На діагоналі [BD][BD] квадрата ABCDABCD вибрано точку EE. Нехай O1O_{1} і O2O_{2} — центри описаних кіл трикутників ABEABE і ADEADE відповідно. Доведіть, що чотирикутник AO1EO2AO_{1}EO_{2} — квадрат.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-011

Квадрат, вписаний в одиничне коло

Квадрат вписано в коло радіуса 11. Знайдіть периметр квадрата.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-041

Радіуси описаних кіл у рівнобічній трапеції

Рівнобічна трапеція ABCDABCD з основами ABAB і CDCD, у якої AB=13AB = 13, CD=17CD = 17, а висота дорівнює 33. Нехай EE — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD. Кола Ω\Omega і ω\omega описані навколо трикутників ABEABE і CDECDE. Обчисліть суму радіусів кіл Ω\Omega і ω\omega.
10–11 класиОписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2013-020

Центри вписаних кіл і перпендикулярність

В уписаному шестикутнику ABCDEFA B C D E F виконується AB⊥BDA B \perp B D та ∣BC∣=∣EF∣|B C|=|E F|. Позначимо через PP точку перетину прямих BCB C і ADA D, а через QQ — точку перетину прямих EFE F і ADA D. Припустимо, що PP і QQ лежать з того боку від DD, де не лежить AA. Нехай SS — середина відрізка ADA D. Нехай KK і LL — центри вписаних кіл відповідно трикутників △BPS\triangle B P S і EQSE Q S. Доведіть, що ∠KDL=90∘\angle K D L=90^{\circ}.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-030

O на дузі B'C' та L на стороні BC

Сторони ABAB і ACAC трикутника ABCABC дотикаються до кола cc відповідно в точках B′B' і C′C'. Центр LL кола cc лежить на стороні BCBC. Центр описаного кола OO трикутника ABCABC лежить на меншій дузі B′C′B'C' кола cc. Доведіть, що описане коло трикутника ABCABC і коло cc перетинаються у двох точках.
11 класЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-009

Трикутник з рівними частинами кута

Нехай у △ABC\triangle ABC де AB<ACAB < AC, з вершини AA проведено висоту ADAD, бісектрису AEAE і медіану AFAF, причому точки D,E,FD, E, F лежать на BC‾\overline{BC}. Якщо ∡BAD=2∡DAE=2∡EAF=∡FAC\measuredangle BAD = 2 \measuredangle DAE = 2 \measuredangle EAF = \measuredangle FAC, знайдіть усі можливі значення ∡ACB\measuredangle ACB.
10–11 класиТочка перетину висот
Відбіркові тести на IMOTST-2012-002

Нерухома точка на описаному колі

У гострокутному трикутнику ABCABC виконуються нерівності ∠A<∠B\angle A < \angle B і ∠A<∠C\angle A < \angle C. Нехай PP — змінна точка на стороні BCBC. Точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно так, що BP=PDBP = PD і CP=PECP = PE. Доведіть, що коли PP рухається вздовж сторони BCBC, описане коло трикутника ADEADE проходить через нерухому точку, відмінну від AA.
10–11 класиОписане коло2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-016

Відстань до точки, рівновіддаленої від вершин трикутника

Аліса, Берто і Карло мають закопати скарб і вирішують закопати його в точці, рівновіддаленій від усіх трьох. Відомо, що вони знаходяться у вершинах прямокутного трикутника з кутом 30∘30^{\circ} і периметром 6 м6~\text{м}. Якою буде відстань скарбу від кожного з них? (A) 1 м1~\text{м} (B) 32 м\frac{3}{2}~\text{м} (C) 2 м2~\text{м} (D) 3−3 м3-\sqrt{3}~\text{м} (E) 3 м3~\text{м}.
10–11 класиОписане коло
Естонська математична олімпіадаESTMO-2011-010

Медіана і добутки радіусів описаних кіл на висоти

Нехай CMCM — медіана трикутника ABCABC. Доведіть, що добуток радіуса описаного кола трикутника ACMACM і висоти, проведеної з MM у трикутнику ACMACM, дорівнює добутку радіуса описаного кола трикутника BCMBCM і висоти, проведеної з MM у трикутнику BCMBCM.
11 класОписане коло3 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2011-002

Інцентр і центр описаного кола на діагоналі паралелограма

Розглянемо паралелограм ABCDABCD. а) Доведіть, що якщо інцентр трикутника ABCABC лежить на діагоналі BDBD, то паралелограм ABCDABCD є ромбом. б) Чи є паралелограм ABCDABCD ромбом щоразу, коли центр описаного кола трикутника ABCABC лежить на діагоналі BDBD?
8–10 класиТочка перетину бісектрис
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-030

Відстань від основи висоти до середини сторони

Трикутник ABCA B C задано на площині. Нехай ADA D — бісектриса кута ∠BAC\angle B A C; нехай BEB E — висота з BB на ADA D, а FF — середина сторони ABA B. Відомо, що AB=28A B=28, BC=33B C=33, CA=37C A=37. Знайдіть довжину відрізка EFE F.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-031

Сектори кола від діаметрів, паралельних сторонам трикутника

Трикутник зі сторонами 5,7,85,7,8 вписано в коло CC. Діаметри кола CC, паралельні сторонам завдовжки 55 і 88, ділять коло CC на чотири сектори. Чому дорівнює площа кожного з двох менших?
10–11 класиПлоща кола і його частин
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-014

Тріангуляція опуклого многокутника з покривними описаними колами

Нехай n≥3n \geq 3 і нехай PP — опуклий nn-кутник. Доведіть, що PP за допомогою n−3n-3 діагоналей, які не перетинаються, можна розбити на трикутники так, щоб описане коло кожного з цих трикутників містило весь PP. Коли існує рівно одне таке розбиття?
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-130

Геометричне місце центрів кіл з умовою дотику

Коло BB має радіус 676 \sqrt{7}. Коло AA з центром у точці CC має радіус 7\sqrt{7} і міститься всередині кола BB. Нехай LL — геометричне місце центрів CC таких, що існує точка DD на межі кола BB з такою властивістю: якщо дотичні з DD до кола AA перетинають коло BB знову в точках XX і YY, то пряма XYX Y також дотикається до кола AA. Знайдіть площу, обмежену межею LL.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-119

Відстань від центра описаного кола до точки на стороні

Нехай ABCABC — трикутник з ∠A=45∘\angle A = 45^{\circ}. Нехай PP — точка на стороні BCBC, причому PB=3PB = 3 і PC=5PC = 5. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Знайдіть довжину відрізка OPOP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.