Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

201 задача
ГеометріяРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2019-022

Дотична і перпендикуляр у гострокутному трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник такий, що AB<ACAB < AC. Нехай EE і FF — основи висот, проведених з BB і CC відповідно, а MM — середина сторони BCBC. Дотична до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA перетинає пряму BCBC у точці PP. Пряма, що проходить через AA паралельно прямій BCBC, перетинає пряму EFEF у точці QQ. Доведіть, що пряма PQPQ перпендикулярна до прямої AMAM.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2019-045

Центр вписаного кола рівновіддалений від точок дотику вписаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник із центром вписаного кола II. Точки KK і LL обрано на відрізку BCBC так, що вписані кола △ABK\triangle ABK і △ABL\triangle ABL дотикаються у точці PP, а вписані кола △ACK\triangle ACK і △ACL\triangle ACL дотикаються у точці QQ. Доведіть, що IP=IQIP = IQ.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-007

Коло на діаметрі AK і середина сторони BC

Нехай II — інцентр, а Ω\Omega — вписане коло трикутника ABCABC, а MM — середина сторони BCBC. Нехай KK — точка перетину прямої, що проходить через AA і перпендикулярна до прямої BCBC, та прямої, що проходить через MM і перпендикулярна до прямої AIAI. Доведіть, що коло, діаметром якого є відрізок AKAK, дотикається до кола Ω\Omega.
10–11 класиЗовнівписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-016

Рівність радіусів описаних кіл при перетині двох кіл

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, що перетинаються в точках MM і NN. Нехай AA і BB — точки дотику цих двох кіл з їхньою спільною зовнішньою дотичною, найближчою до MM. Нехай CC і DD — точки, симетричні точкам AA і BB відповідно відносно точки MM, а EE і FF — точки перетину (відмінні від MM) описаного кола трикутника MCDMCD з колами Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників MEFMEF і NEFNEF мають однаковий радіус.
9–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-127

Дотичні до описаного кола та перетин з AB

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB=6AB = 6, BC=5BC = 5, AC=7AC = 7. Дотичні до описаного кола трикутника ABCABC в точках BB і CC перетинаються в точці XX. Нехай ZZ — точка на описаному колі трикутника ABCABC. Нехай YY — основа перпендикуляра, опущеного з XX на пряму CZCZ. Нехай KK — перетин описаного кола трикутника BCYBCY з прямою ABAB. Відомо, що YY лежить усередині відрізка CZCZ і YZ=3 CYYZ = 3 \, CY. Обчисліть довжину відрізка AKAK.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-004

Прямі, що перетинаються в трикутнику з кутовими умовами

Нехай DD — точка всередині гострокутного трикутника ABCA B C, така, що ∠BAD=∠DBC\angle B A D = \angle D B C і ∠DAC=∠BCD\angle D A C = \angle B C D. Нехай PP — точка на описаному колі трикутника ADBA D B. Припустимо, що PP лежить поза трикутником ABCA B C. Пряма через PP перетинає промінь BAB A в точці XX і промінь CAC A в точці YY, так що ∠XPB=∠PDB\angle X P B = \angle P D B. Доведіть, що прямі BYB Y і CXC X перетинаються на прямій ADA D.
10–11 класиТеорема Чеви
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-036

Висоти трикутника і колінеарність точок A, T, O

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Висоти BEBE і CFCF перетинаються в ортоцентрі HH, а точкою OO позначено центр описаного кола. Точку PP вибрано так, що ∠APH=∠OPE=90∘\angle APH = \angle OPE = 90^{\circ}, а точку QQ вибрано так, що ∠AQH=∠OQF=90∘\angle AQH = \angle OQF = 90^{\circ}. Прямі EPEP і FQFQ перетинаються в точці TT. Доведіть, що точки A,T,OA, T, O лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Французька математична олімпіадаFRMO-2016-008

Перпендикулярність з інцентром і діаметром описаного кола

Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Нехай DD — точка, діаметрально протилежна AA на описаному колі. Припустимо, що точка EE променя [BA)[BA) і точка FF променя [CA)[CA) задовольняють умову BE=CF=AB+BC+CA2.BE = CF = \frac{AB + BC + CA}{2}. Доведіть, що (EF)⊥(DI)(EF) \perp (DI).
9–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-125

Точки перетину хорд кіл

На площині проведено дев’ять попарно нерівних кіл так, що будь-які два кола перетинаються двічі. Для кожної пари кіл проведено пряму через ці дві точки, загалом (92)=36\binom{9}{2}=36 прямих. Припустимо, що всі 36 проведених прямих різні. Яка найбільша можлива кількість точок, які лежать принаймні на двох із проведених прямих?
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-130

Трикутник із центрами напіввписаних кіл

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці DD. Нехай HH і Γ\Gamma позначають ортоцентр і описане коло △ABC\triangle ABC. BB-напіввписане коло з центром у точці OBO_{B} дотикається до прямих BABA і BCBC та внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma. CC-напіввписане коло з центром у точці OCO_{C} визначено аналогічно. Припустімо, що DH‾⊥OBOC‾\overline{DH} \perp \overline{O_{B}O_{C}}, AB=3AB=\sqrt{3} і AC=2AC=2. Знайдіть довжину сторони BCBC.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2016-020

Геометричне місце перетину при дотичній побудові

Задано кола Γ1\Gamma_{1} з центром AA і Γ2\Gamma_{2} з центром BB, причому AA лежить на колі Γ2\Gamma_{2}. На колі Γ2\Gamma_{2} лежить далі змінна точка PP, що не лежить на прямій ABA B. Пряма через PP, яка дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в SS, перетинає Γ2\Gamma_{2} ще раз у QQ, причому PP і QQ лежать з одного боку від прямої ABA B. Інша пряма через QQ дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в TT. Нехай далі MM — основа перпендикуляра з PP на пряму ABA B. Нехай NN — точка перетину прямих AQA Q і MTM T. Доведіть, що NN лежить на прямій, яка не залежить від положення PP на колі Γ2\Gamma_{2}.
10–11 класиРадикальна вісь
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-007

Ортоцентри та довжини діагоналей у чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, діагоналі якого не перпендикулярні, а прямі (AB)(AB) і (CD)(CD) не паралельні. Позначимо через OO точку перетину діагоналей [AC][AC] і [BD][BD]. Нехай H1H_1 і H2H_2 — ортоцентри відповідно трикутників AOBAOB і CODCOD. Позначимо через MM і NN середини відповідно сторін [AB][AB] і [CD][CD]. Доведіть, що прямі (H1H2)(H_1 H_2) і (MN)(MN) паралельні тоді й лише тоді, коли AC=BDAC = BD.
9–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-027

Перпендикулярність AX і OH для точки X на EF

Нехай ABCABC — трикутник, а D,E,FD, E, F — основи висот з A,B,CA, B, C відповідно. Нехай також HH — ортоцентр трикутника ABCABC, OO — центр його описаного кола, а XX — точка прямої (EF)(EF), для якої XA=XDXA = XD. Доведіть, що прямі (AX)(AX) і (OH)(OH) перпендикулярні.
9–11 класиРадикальна вісь
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-010

Центр кола через чотири точки і пряма перетину кіл

Два кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} з центрами O1O_{1} і O2O_{2} перетинаються в точках PP і QQ. Пряма, що проходить через O1O_{1}, перетинає Γ2\Gamma_{2} в точках AA і BB, а пряма, що проходить через O2O_{2}, перетинає Γ1\Gamma_{1} в точках CC і DD. Доведіть, що якщо існує коло, яке проходить через A,B,CA, B, C і DD, то центр цього кола лежить на прямій (PQ)(PQ).
8–10 класиРадикальна вісь
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2015-006

Коло через дві точки, дотичне до заданого кола

Нехай дано коло kk і дві точки AA і BB поза колом. Укажіть, як за допомогою циркуля та лінійки можна побудувати коло ℓ\ell так, щоб AA і BB лежали на колі ℓ\ell і кола kk та ℓ\ell дотикалися.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-031

Рівність відстаней від точки перетину кіл до основ висот

Нехай ABCABC — трикутник з гострими кутами, такий, що AB≠ACAB \neq AC. Позначимо через DD основу бісектриси кута BAC^\widehat{BAC}. Точка EE (відп. FF) позначає основу висоти, проведеної з BB (відп. з CC). Описане коло трикутника DBFDBF перетинає описане коло трикутника DCEDCE у точці MM, відмінній від DD. Доведіть, що ME=MFME = MF.
9–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-125

Ортогональні кола із заданим дотиком

Два кола називають ортогональними, якщо вони перетинаються у двох точках, а їхні дотичні в будь-якій точці перетину перпендикулярні. Два кола ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} з радіусами 1010 і 1313 відповідно зовнішньо дотикаються в точці PP. Інше коло ω3\omega_{3} з радіусом 222 \sqrt{2} проходить через PP і є ортогональним до обох кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}. Четверте коло ω4\omega_{4}, ортогональне до кола ω3\omega_{3}, зовнішньо дотикається до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}. Обчисліть радіус кола ω4\omega_{4}.
10–11 класиРадикальна вісь
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-038

Рівність відрізків AB і CD у трьох колах

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що перетинаються у двох точках XX і YY. Коло ω\omega дотикається зсередини до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} у точках PP і QQ відповідно. Відрізок [X,Y][X, Y] перетинає ω\omega у точках MM і NN. Промені [P,M)[P, M) і [P,N)[P, N) перетинають ω1\omega_{1} у точках AA і DD; промені [Q,M)[Q, M) і [Q,N)[Q, N) перетинають ω2\omega_{2} у точках BB і CC. Доведіть, що AB=CDA B=C D.
9–11 класиГомотерія і подібність
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-034

Прямі через вершини до других перетинів дотичних кіл

Позначимо через II центр вписаного кола γ\gamma трикутника ABCABC і через OO центр його описаного кола. Нехай ωA\omega_{A} — коло, яке проходить через BB і CC і дотикається до кола γ\gamma. Кола ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} визначаються аналогічно. Позначимо через A′A' другу спільну точку кіл ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C}. Точки B′B' і C′C' визначаються аналогічно. Доведіть, що прямі (AA′),(BB′)\left(AA'\right), \left(BB'\right) і (CC′)\left(CC'\right) перетинаються в одній точці KK, яка лежить на одній прямій з OO і II.
9–11 класиРадикальна вісь
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-001

Точки на одному колі у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник. Нехай KK — точка перетину діагоналей. Нехай MM і NN — середини відрізків [A,C][A, C] і [B,D][B, D] відповідно. Описані кола трикутників ADMADM і BCMBCM перетинаються в точці LL. Доведіть, що точки K,L,M,NK, L, M, N лежать на одному колі.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-099

Колінеарність із перетину внутрішньо дотичних кіл

Нехай точки AA і BB лежать на колі ω\omega з центром OO. Припустімо, що ωA\omega_{A} і ωB\omega_{B} — кола, які не містять OO та внутрішньо дотикаються до кола ω\omega в точках AA і BB відповідно. Нехай ωA\omega_{A} і ωB\omega_{B} перетинаються в точках CC і DD так, що DD лежить усередині трикутника ABCA B C. Припустімо, що пряма BCB C перетинає ω\omega знову в точці EE, а пряма EAE A перетинає ωA\omega_{A} в точці FF. Якщо FC⊥CDF C \perp C D, доведіть, що точки O,CO, C і DD лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-005

Перетин кіл з діаметрами сторін чотирикутника

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, такий, що прямі (AD)(AD) і (BC)(BC) не паралельні. Припустимо, що кола з діаметрами [AB][AB] і [CD][CD] перетинаються у двох точках EE і FF, розташованих усередині чотирикутника ABCDABCD. Нехай ΓE\Gamma_{E} — коло, яке проходить через ортогональні проєкції точки EE на прямі (AB)(AB), (BC)(BC) і (CD)(CD), а ΓF\Gamma_{F} — коло, яке проходить через ортогональні проєкції точки FF на прямі (CD)(CD), (DA)(DA) і (AB)(AB). Доведіть, що середина відрізка [EF][EF] належить прямій, яка проходить через дві точки перетину кіл ΓE\Gamma_{E} і ΓF\Gamma_{F}.
9–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2012-009

Бісектриса кута в рівнобедреному трикутнику

Нехай Γ\Gamma — описане коло рівнобедреного при CC трикутника ABCA B C. У внутрішності сторони BC‾\overline{B C} лежить точка MM. Нехай NN — точка на промені AMA M, для якої MM лежить між AA і NN і яка задовольняє ∣AN∣=∣AC∣|A N|=|A C|. Описане коло трикутника CMNC M N перетинає Γ\Gamma у двох різних точках CC і PP. Прямі ABA B і CPC P перетинаються в точці QQ. Доведіть, що ∡BMQ=∡QMN\measuredangle B M Q=\measuredangle Q M N.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Відбіркові тести на IMOTST-2012-037

Перпендикулярність через середини сторін і ортоцентр

Гострокутний трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Нехай HH і OO — його ортоцентр і центр описаного кола відповідно. Нехай MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC відповідно. Промені MHMH і NHNH перетинають ω\omega у точках PP і QQ відповідно. Прямі MNMN і PQPQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що OA⊥RAOA \perp RA.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2012-025

Перпендикулярність у вписаному чотирикутнику

У вписаному чотирикутнику ABCDABCD діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Нехай EE і FF — основи перпендикулярів, опущених з точки PP на прямі ABAB і CDCD відповідно. Відрізки BFBF і CECE перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі PQPQ і EFEF перпендикулярні.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.