Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

294 задачі
КомбінаторикаСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-23-24-005

Гра з вибором коефіцієнтів многочлена на дійсний корінь

Зафіксуйте натуральне число dd. Петрик і Василь грають у таку гру, використовуючи поліном виду P(x)=a0+a1x+…+a2d−1x2d−1+x2d.P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_{2d-1}x^{2d-1}+x^{2d}. Петрик робить хід першим, вони по черзі вибирають додатне число як значення одного з коефіцієнтів a0,a1,…,a2d−1a_0, a_1, \ldots, a_{2d-1}. Після того як вибрано значення певного коефіцієнта, його вже не можна вибирати далі в ході гри. Гра триває 2d2d раунди, поки Василь не визначить останній коефіцієнт. Петрик виграє, якщо P(x)=0P(x)=0 для деякого дійсного числа xx, в іншому разі перемагає Василь. З’ясуйте, чи має хтось із гравців виграшну стратегію, за умови, що кожен хоче перемогти.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-15-16-009

Гра з вибором чисел без сусідніх

Задано натуральне число nn. Двоє гравців А та Б грають у гру за такими правилами: - гравці за чергою вибирають деяке натуральне число k⩽nk \leqslant n; - не можна вибирати число, яке було вибрано раніше; - гравець не може вибрати число, якщо він уже вибрав сусіднє число; - гра закінчується внічию, якщо було використано всі числа; у протилежному разі програє той гравець, який не може зробити наступний хід. Гравець А ходить першим. Визначте результат гри, якщо обидва гравці грають за оптимальною стратегією.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-003

Велика сім'я підмножин та їхній спільний перетин

Нехай SS – це деяка множина, що складається з nn елементів, FF – це сукупність підмножин SS, що складається з 2n−12^{n-1} таких підмножин, що кожні три такі підмножини мають непорожній перетин. а) Показати, що перетин усіх підмножин з FF непорожній. б) Якщо замінити кількість множин з 2n−12^{n-1} на 2n−1−12^{n-1}-1 чи зміниться попередня відповідь?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-003

Гра з многочленом xy-1 і натуральні розв'язки рівняння

Мар'ям і Артур грають у гру на дошці: вони роблять ходи по черзі, починає Артур. Спочатку на дошці записано многочлен xy−1xy - 1. На кожному ході гравець замінює поточний многочлен P(x,y)P(x, y) на один із таких: - x⋅P(x,y)x \cdot P(x, y); - y⋅P(x,y)y \cdot P(x, y); - P(x,y)+aP(x, y) + a, де aa — довільне ціле число з проміжку (−∞,2025](-\infty, 2025]. Гра завершується після того, як кожен із гравців зробить по 20252025 ходів. Позначимо через Q(x,y)Q(x, y) многочлен, який залишився на дошці після завершення гри. Мар'ям виграє, якщо рівняння Q(x,y)=0Q(x, y) = 0 має скінченну й непарну кількість розв'язків у натуральних числах (x,y)(x, y). Доведіть, що Мар'ям завжди може виграти, незалежно від дій Артура.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-009

Виграшна стратегія у грі зі стиранням чисел

Нехай NN — натуральне число. Джефф і Сері грають у гру, в якій спочатку записують на дошці числа 1,2,…,N1, 2, \ldots, N. Потім вони ходять по черзі, починає Джефф. Кожен хід полягає у виборі пари цілих чисел (k,n)(k, n), де k⩾0k \geqslant 0 і nn — одне з чисел на дошці, а потім стирання кожного числа ss на дошці такого, що 2k∣n−s2^{k} \mid n-s. Гра триває, доки дошка не стане порожньою. Гравець, який стирає останнє число на дошці, програє. Визначте всі значення NN, для яких Джефф може гарантувати собі перемогу, як би не грала Сері.
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2022-005

Непарність кількості розбиттів дошки n × 2k на доміно

Для всіх натуральних nn та kk через f(n,2k)f(n, 2k) позначимо кількість способів розбити дошку розміром n×2kn \times 2k клітинки на nknk кісточок доміно розміром 2×12 \times 1 клітинку (наприклад, f(2,2)=2f(2, 2) = 2 та f(3,2)=3f(3, 2) = 3). Знайдіть усі такі натуральні nn, що для кожного натурального kk число f(n,2k)f(n, 2k) є непарним.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2022-003

Гра з розбиттям чисел та умовою за модулем n

Антон і Брітта грають у гру з множиною M={1,2,3,…,n−1}M=\{1,2,3, \ldots, n-1\}, де n≥5n \geq 5 — непарне ціле число. На кожному кроці Антон вилучає число з множини MM і додає його до своєї множини AA, а Брітта вилучає число з множини MM і додає його до своєї множини BB (спочатку AA і BB порожні). Коли MM стає порожньою, Антон вибирає два різні числа x1,x2x_{1}, x_{2} з множини AA і показує їх Брітті. Потім Брітта вибирає два різні числа y1,y2y_{1}, y_{2} з множини BB. Брітта виграє, якщо (x1x2(x1−y1)(x2−y2))n−12≡1 mod n\left(x_{1} x_{2}\left(x_{1}-y_{1}\right)\left(x_{2}-y_{2}\right)\right)^{\frac{n-1}{2}} \equiv 1 \quad \bmod n інакше виграє Антон. Знайдіть усі nn, для яких Брітта має виграшну стратегію.
10–11 класиМала теорема Ферма
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-032

Гра з добутками за модулем простого числа

Річард і Каарел по черзі вибирають числа з множини {1,…,p−1}\{1, \dots, p-1\}, де p>3p > 3 — просте число. Першим вибирає Річард. Жодне число, яке вже було вибране одним із гравців, не може бути вибране повторно жодним із гравців. Кожне число, вибране Річардом, множиться на те число, яке Каарел вибирає безпосередньо після нього. Каарел виграє гру, якщо в деякий момент гри сума всіх отриманих добутків ділиться на pp. Річард виграє, якщо цього не станеться, тобто гравці використають усі числа раніше, ніж будь-яка із сум поділиться на pp. Чи може хтось із гравців гарантувати собі перемогу незалежно від ходів суперника і якщо так, то хто саме?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-023

Гра зі стиранням подвоєнь

На дошці написано числа 1,2,3,…,5001, 2, 3, \ldots, 500. У грі два гравці AA і BB ходять по черзі, причому починає AA. Кожним ходом вони мають витерти два числа nn і 2n2n на дошці. Якщо гравець не може зробити хід, то він програє. Визначте, хто має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-026

Стратегія гри з вибором підмножин

Нехай SS — скінченна множина з n≥2n \ge 2 елементів. Два гравці, AA і BB, по черзі вибирають непорожні власні підмножини множини SS, причому (1) заборонено вибирати множину, яка містить множину, вибрану раніше будь-яким із гравців, (2) заборонено вибирати множину, яка міститься в будь-якій раніше вибраній множині, (3) заборонено вибирати множину, об'єднання якої з будь-якою раніше вибраною множиною дорівнює SS. AA починає. Гравець, який першим не зможе більше вибрати множину, програє. Який гравець має виграшну стратегію?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-033

Гра зі з'єднанням вершин сніжинок

Дві жінки, Інґер та Еллен, грають у таку гру. На великому аркуші паперу є 20192019 шестипроменевих сніжинок ∗*, розміщених у загальному положенні (і таких, що не дотикаються). Кожен із шести променів сніжинки має крайній кінець, що називається вершиною. Хід полягає в проведенні кривої, що з'єднує дві вершини, які можуть належати одній і тій самій сніжинці. Крива не може перетинати сама себе і не може дотикатися до жодної з раніше проведених кривих. Також вона не може дотикатися до жодної зі сніжинок (крім двох вершин, які є її кінцями). Кожну вершину можна використати лише один раз. Інґер робить перший хід, а далі гравці ходять по черзі. Гравець, який першим не може зробити хід, програв гру. Який гравець має виграшну стратегію?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-027

Гра на шестикутній решітці з ромбічним візерунком

Ольга і Саша грають у гру на нескінченній шестикутній решітці. Вони ходять по черзі, ставлячи фішку на вільний шестикутник за власним вибором, гру починає Ольга. Починаючи з 2018-го ходу, починає діяти нове правило. Тепер фішку можна ставити лише на ті вільні шестикутники, що мають принаймні двох зайнятих сусідів. Гравець програє, якщо він не може зробити хід або якщо він заповнив фішками візерунок у формі ромбоїда, зображений нижче (повернутий будь-яким можливим способом). Визначте, який із гравців, якщо такий є, має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2018-004

Гарантована кількість червоних камінців у грі на сітці

На координатній площині відмічено всі точки (x,y)(x, y) з натуральними координатами xx і yy, що не перевищують 20. Спочатку кожна із 400 відмічених точок не зайнята. Аліна і Богдан грають у таку гру: вони по черзі кладуть камінці у відмічені, ще не зайняті точки, Аліна розпочинає першою. Своїм ходом Аліна має покласти новий червоний камінець у відмічену незайняту точку таким чином, щоб відстань між довільними двома точками із червоними камінцями не дорівнювала 5\sqrt{5}. Богдан своїм ходом кладе синій камінець у довільну відмічену незайняту точку (точка із синім камінцем може знаходитися на будь-якій відстані від довільної іншої зайнятої точки). Гра припиняється, коли один із гравців не може покласти камінець. Знайдіть найбільше значення KK, при якому Аліна гарантовано зможе покласти принаймні KK червоних камінців, незважаючи на ходи Богдана.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист IMOIMOSL-2018-005

Максимальне розміщення коней, які не атакують один одного

Квіні та Горст грають у гру на шаховій дошці 20×2020 \times 20. На початку дошка порожня. У кожному турі Горст ставить чорного коня на вільну клітинку так, щоб його новий кінь не атакував жодного з попередніх коней. Потім Квіні ставить білого ферзя на вільну клітинку. Гра завершується, коли хтось із гравців не може зробити хід. Знайдіть найбільше додатне KK таке, що незалежно від стратегії Квіні Горст може поставити на дошку щонайменше KK коней.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-003

Гра з орієнтуванням відрізків решітки та цикл

Анна та Боб грають у гру на нескінченній клітчастій решітці (сторона клітинки дорівнює 1), виконуючи ходи по черзі. Анна ходить першою. Хід полягає в тому, щоб орієнтувати один з одиничних відрізків решітки, який не був орієнтований раніше. Якщо в певний момент деякі орієнтовані відрізки утворюють орієнтований цикл, то виграє Боб. Чи дійсно стратегія Боба гарантує йому перемогу?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-013

Гра з десятковими цифрами за модулем простого числа

Нехай p⩾2p \geqslant 2 — просте число. Едуардо та Фернандо грають у таку гру, роблячи ходи по черзі: кожним ходом гравець, чия черга ходити, обирає індекс ii з множини {0,1,…,p−1}\{0,1, \ldots, p-1\}, який ще не обирали ні він, ні інший гравець, а потім обирає елемент aia_{i} з множини {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Едуардо ходить першим. Гра закінчується після того, як усі індекси i∈{0,1,…,p−1}i \in\{0,1, \ldots, p-1\} буде обрано. Тоді обчислюють таке число: M=a0+10⋅a1+⋯+10p−1⋅ap−1=∑j=0p−1aj⋅10jM=a_{0}+10 \cdot a_{1}+\cdots+10^{p-1} \cdot a_{p-1}=\sum_{j=0}^{p-1} a_{j} \cdot 10^{j} Метою Едуардо є зробити число MM кратним pp, а метою Фернандо — завадити цьому. Доведіть, що Едуардо має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-027

Гра без діагоналей на дошці

Двоє гравців грають у гру на дошці N×NN \times N. Гравці по черзі позначають клітинку так, щоб на дошці ніколи не було діагоналі, яка містить дві позначені клітинки. Для яких N>0N > 0 перший гравець має виграшну стратегію?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-028

Гра з кульками у двох мисках

Альберт і Бетті грають у таку гру. На столі стоять дві миски: червона миска і синя миска. На початку гри в червоній мисці лежить 100100 синіх кульок, а в синій мисці — 100100 червоних кульок. Кожним ходом гравець має зробити один із таких ходів: a) Взяти з однієї миски дві кульки різних кольорів і викинути їх. b) Взяти із синьої миски дві червоні кульки й перекласти їх у червону миску. c) Взяти з червоної миски дві сині кульки й перекласти їх у синю миску. Вони ходять по черзі, починає Альберт. Гравець, який першим забере останню червону кульку із синьої миски або останню синю кульку з червоної миски, перемагає. Визначте, хто має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист IMOIMOSL-2014-008

Гра на парність із наборами цифр

Колода складається з 1024 карток. На кожній картці написано множину різних десяткових цифр так, що жодні дві з цих множин не збігаються (отже, одна з карток порожня). Двоє гравців по черзі беруть картки з колоди, по одній картці за хід. Після того як колода стане порожньою, кожен гравець перевіряє, чи може він викинути одну зі своїх карток так, щоб кожна з десяти цифр траплялася на парній кількості його решти карток. Якщо один гравець може це зробити, а інший — ні, то перемагає той, хто може; інакше оголошується нічия. Визначте всі можливі перші ходи першого гравця, після яких він має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-036

Числа Белла за модулем простого числа

Нехай BnB_n — кількість способів розбиття nn-елементної множини на непорожні частини. Наприклад, B3=5B_3 = 5, оскільки маємо такі розбиття 3-елементної множини {a,b,c}\{a, b, c\}: {a,b,c};{a},{b,c};{a,c},{b};{a,b},{c};{a},{b},{c}.\{a, b, c\}; \quad \{a\}, \{b, c\}; \quad \{a, c\}, \{b\}; \quad \{a, b\}, \{c\}; \quad \{a\}, \{b\}, \{c\}. Доведіть, що для кожного натурального числа mm і простого числа pp Bpm≡m+1(modp).B_{p^m} \equiv m + 1 \pmod{p}.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-036

Гра з уникненням 4-членної арифметичної прогресії

Двоє гравців, Мейкер і Брейкер, грають у таку гру: Мейкер починає, і гравці по черзі вибирають різні числа з множини {0,1,…,10}\{0, 1, \dots, 10\}. Мейкер виграє, якщо деякі з вибраних ним чисел утворюють строго зростаючу арифметичну прогресію довжини чотири, Брейкер виграє, якщо їй вдається цьому запобігти. Хто з гравців має виграшну стратегію?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Балтійський шляхBW-2008-010

Підмножина без суми 169 містить повний квадрат

Розглянемо підмножину AA з 84 елементів множини {1,2,…,169}\{1,2, \ldots, 169\} таку, що жодні два її елементи в сумі не дають 169. Доведіть, що AA містить повний квадрат.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2007-003

Гра з розкладанням на множники та стиранням однакових чисел

На дошці написано число 10200710^{2007}. Анна і Беріт грають у гру, у якій гравець у свій хід виконує одну з двох операцій: (i) Замінити число xx на дошці двома цілими числами aa і bb, більшими за 11, такими, що x=abx = ab; (ii) Витерти одне або обидва з двох однакових чисел на дошці. Гравчиня, яка не може зробити свій хід, програє гру. Хто має виграшну стратегію?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Балтійський шляхBW-2006-006

Максимальна множина чисел зі спільними цифрами

Визначте найбільший можливий розмір множини натуральних чисел з такими властивостями: (1) Числа складаються з цифр множини {1,2,3,4,5,6}\{1,2,3,4,5,6\}. (2) Жодна цифра не трапляється більше одного разу в одному числі. (3) Цифри в кожному числі йдуть у порядку зростання. (4) Будь-які два числа мають принаймні одну спільну цифру (можливо, на різних позиціях). (5) Немає цифри, яка входить до всіх чисел.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2005-003

Сильна позиція дівчини у колі

За круглим (великим!) столом сидять 2005 молодих людей. З них щонайбільше 668 — хлопці. Кажемо, що дівчина GG перебуває в сильній позиції, якщо, рахуючи від GG в будь-який бік на будь-яку довжину, кількість дівчат завжди строго більша за кількість хлопців. (Сама GG враховується в підрахунку.) Доведіть, що за будь-якого розміщення завжди знайдеться дівчина в сильній позиції.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.