Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

250 задач
ГеометріяВписане коло
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-016

Дотичні до вписаних кіл перетинаються на стороні трикутника

DD — точка всередині трикутника ABCABC. Коло S1S_1, вписане в трикутник ABDABD, дотикається до кола S2S_2, вписаного в трикутник CBDCBD. Доведіть, що точка перетину зовнішніх спільних дотичних до кіл S1S_1 і S2S_2 лежить на прямій ACAC.
10–11 класиВписане коло
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-006

Описані чотирикутники з паралельними сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник з непаралельними сторонами BCBC і ADAD. Припустимо, що існує точка EE на стороні BCBC така, що чотирикутники ABEDABED і AECDAECD є описаними. Доведіть, що існує точка FF на стороні ADAD така, що чотирикутники ABCFABCF і BCDFBCDF є описаними, тоді й лише тоді, коли сторона ABAB паралельна стороні CDCD.
10–11 класиВписане коло
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-006

Інцентр у рівносторонньому вписаному трикутнику

Вершини XX, YY, ZZ рівностороннього трикутника XYZXYZ лежать відповідно на сторонах BCBC, CACA, ABAB гострокутного трикутника ABCABC. Доведіть, що інцентр трикутника ABCABC лежить усередині трикутника XYZXYZ. Вершини XX, YY, ZZ рівностороннього трикутника XYZXYZ лежать відповідно на сторонах BCBC, CACA, ABAB трикутника ABCABC. Доведіть, що якщо інцентр трикутника ABCABC лежить поза трикутником XYZXYZ, то один із кутів трикутника ABCABC більший за 120∘120^{\circ}.
10–11 класиВписане коло3 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-006

Ортоцентр трикутника інцентрів

Нехай ABCDABCD — описаний чотирикутник. Нехай gg — пряма через AA, яка перетинає відрізок BCBC в точці MM, а пряму CDCD — в точці NN. Позначимо через I1,I2I_{1}, I_{2} та I3I_{3} інцентри трикутників △ABM\triangle ABM, △MNC\triangle MNC і △NDA\triangle NDA відповідно. Доведіть, що ортоцентр трикутника △I1I2I3\triangle I_{1} I_{2} I_{3} лежить на прямій gg.
10–11 класиВписане коло2 розв’язки
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2005-001

Спільна точка прямих для шестикутника в рівносторонньому трикутнику

На сторонах рівностороннього трикутника ABCABC відмічено шість точок: A1,A2A_1, A_2 на BCBC, B1,B2B_1, B_2 на CACA і C1,C2C_1, C_2 на ABAB. Ці точки є вершинами опуклого шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1 A_2 B_1 B_2 C_1 C_2, сторони якого мають однакову довжину. Доведіть, що прямі A1B2A_1 B_2, B1C2B_1 C_2 та C1A2C_1 A_2 перетинаються в одній точці.
10–11 класиВекторний метод
Балтійський шляхBW-1994-012

Спільна точка прямих O1S1, O2S2 і O3S3

Вписане коло трикутника A1A2A3A_{1} A_{2} A_{3} дотикається до сторін A2A3A_{2} A_{3}, A3A1A_{3} A_{1} і A1A2A_{1} A_{2} у точках S1S_{1}, S2S_{2}, S3S_{3} відповідно. Нехай O1O_{1}, O2O_{2}, O3O_{3} — центри вписаних кіл трикутників A1S2S3A_{1} S_{2} S_{3}, A2S3S1A_{2} S_{3} S_{1} і A3S1S2A_{3} S_{1} S_{2} відповідно. Доведіть, що прямі O1S1O_{1} S_{1}, O2S2O_{2} S_{2} і O3S3O_{3} S_{3} перетинаються в одній точці.
10–11 класиВписане коло
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1992-003

Мінімальний периметр трикутника із заданим вписаним колом

Доведіть, що серед усіх трикутників з радіусом вписаного кола 11 рівносторонній має найменший периметр.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-004

Біцентричний чотирикутник з радіусами вписаних кіл

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник із вписаним колом радіуса 66. Нехай продовження сторін ABAB і DCDC за точки BB і CC відповідно перетинаються в точці PP, а продовження сторін ADAD і BCBC за точки DD і CC відповідно перетинаються в точці QQ. Радіуси вписаних кіл трикутників PBCPBC і QCDQCD дорівнюють 55 і 33 відповідно. Знайдіть BCCD\frac{BC}{CD}.
10–11 класиВписане коло
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-033

Висоти з цілим радіусом вписаного кола

Скільки існує впорядкованих трійок (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, де a≤b≤c≤9a \le b \le c \le 9, таких, що існує невироджений трикутник △ABC\triangle ABC з цілим радіусом вписаного кола, для якого a,ba, b і cc — довжини висот з AA на BC‾\overline{BC}, з BB на AC‾\overline{AC} і з CC на AB‾\overline{AB} відповідно? (Нагадаємо, що радіус вписаного кола трикутника — це радіус найбільшого можливого кола, яке можна вписати в трикутник.) (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-045

Колінеарність у трикутнику з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник, а Ω\Omega — його описане коло. Позначимо через A′A' точку, діаметрально протилежну точці AA на колі Ω\Omega. Нехай II — центр кола, вписаного в трикутник ABCABC, а EE і FF — точки дотику вписаного кола зі сторонами ACAC і ABAB відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF вдруге перетинає коло Ω\Omega в точці XX. Доведіть, що точки A′A', II і XX лежать на одній прямій.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2024-005

Коло з діаметром BP через інцентр трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник. Нехай PP — точка на відрізку BCBC, така, що коло з діаметром BPBP проходить через інцентр △ABC\triangle ABC. Доведіть, що ∣BP∣∣PC∣=cs−c,\frac{|BP|}{|PC|} = \frac{c}{s-c}, де cc — довжина відрізка ABAB, а ss — півпериметр △ABC\triangle ABC.
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2024-015

Площа смуги біля периметра чотирикутника

Опуклий чотирикутник ABCDABCD такий, що AB=14AB = 14, BC=24BC = 24, CD=26CD = 26 і DA=16DA = 16. Його площа дорівнює 360360. Знайдіть площу області площини всередині чотирикутника, утвореної точками, віддаленими не більше ніж на 33 від його периметра. (A) 100100 (B) 120120 (C) 120+9π120 + 9\pi (D) 156156 (E) 200200
10–11 класиВписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-067

Перпендикулярність з інцентром і симетрією бісектрис

Нехай ABCABC — трикутник, а II — центр вписаного кола. Позначимо через DD і EE основи бісектрис, проведених з BB і CC. Нехай XX — перетин симетричних образів прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) відносно (CE)(CE) і (BD)(BD). Доведіть, що прямі (XI)(XI) і (BC)(BC) перпендикулярні.
8–10 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-102

Хорди вписаного кола і сума сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC в точці DD і перетинає серединний перпендикуляр до відрізка BCBC у двох різних точках XX і YY. Прямі AXAX і AYAY перетинають пряму BCBC у точках PP і QQ відповідно. Доведіть, що якщо DP⋅DQ=(AC−AB)2DP \cdot DQ = (AC - AB)^2, то AB+AC=3BCAB + AC = 3 BC.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-039

Коло, дотичне до відрізків у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 1515. Нехай AbA_b і BaB_a — точки на стороні ABAB, AcA_c і CaC_a — точки на стороні ACAC, а BcB_c і CbC_b — точки на стороні BCBC такі, що △AAbAc\triangle AA_bA_c, △BBcBa\triangle BB_cB_a і △CCaCb\triangle CC_aC_b — рівносторонні трикутники зі сторонами 33, 44 і 55 відповідно. Обчисліть радіус кола, дотичного до відрізків AbAc‾\overline{A_bA_c}, BaBc‾\overline{B_aB_c} і CaCb‾\overline{C_aC_b}.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-031

Перетин відрізків і рівні периметри у рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 11. Точки A1A_1 і A2A_2 вибрані на стороні BCBC, точки B1B_1 і B2B_2 вибрані на стороні CACA, а точки C1C_1 і C2C_2 вибрані на стороні ABAB так, що BA1<BA2BA_1 < BA_2, CB1<CB2CB_1 < CB_2 і AC1<AC2AC_1 < AC_2. Припустимо, що три відрізки B1C2B_1C_2, C1A2C_1A_2 і A1B2A_1B_2 перетинаються в одній точці, а периметри трикутників AB2C1AB_2C_1, BC2A1BC_2A_1 і CA2B1CA_2B_1 рівні між собою. Знайдіть усі можливі значення цього спільного периметра.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-088

Хорда, дотична до вписаного кола в трикутнику

Нехай трикутник ABCA B C — гострокутний з описаним колом Γ\Gamma. Нехай XX і YY — середини менших дуг AB^\widehat{A B} і AC^\widehat{A C} кола Γ\Gamma відповідно. Якщо пряма XYX Y дотикається до вписаного кола трикутника ABCA B C і радіус кола Γ\Gamma дорівнює RR, знайдіть із доведенням довжину відрізка XYX Y через RR.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-094

Рівні хорди на сторонах трикутника

На площині задано трикутник XYZX Y Z та коло ω\omega радіуса 22, таке, що ω\omega перетинає відрізок XY‾\overline{X Y} у точках A,BA, B, відрізок YZ‾\overline{Y Z} у точках C,DC, D та відрізок ZX‾\overline{Z X} у точках E,FE, F. Припустімо, що XB>XAX B > X A, YD>YCY D > Y C і ZF>ZEZ F > Z E. Крім того, XA=1X A = 1, YC=2Y C = 2, ZE=3Z E = 3 і AB=CD=EFA B = C D = E F. Обчисліть довжину відрізка ABA B.
10–11 класиВписане коло
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2022-003

Дотичні до вписаного кола і рівність відрізків

Трикутник ABCABC з прямим кутом при BB має інцентр II. Точки DD, EE і FF — це точки, в яких вписане коло трикутника дотикається до сторін BCBC, ACAC і ABAB відповідно. Прямі CICI і EFEF перетинаються в точці PP. Прямі DPDP і ABAB перетинаються в точці QQ. Доведіть, що AQ=BFAQ = BF.
10–11 класиВписане коло
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-006

Перпендикулярність інцентрів на стороні трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, а PP — внутрішня точка сторони BCBC. Нехай I1I_{1} та I2I_{2} — інцентри трикутників APBAPB і APCAPC відповідно. Нехай XX — найближча до AA точка на прямій APAP така, що відрізок XI1XI_{1} перпендикулярний до відрізка XI2XI_{2}. Доведіть, що відстань AXAX не залежить від вибору PP.
10–11 класиВписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2021-021

Паралельна пряма, дотична до вписаного кола

Дано трикутник ABCA B C з властивістю, що ∣AB∣+∣AC∣=3∣BC∣|A B|+|A C|=3|B C|. Нехай TT — точка на відрізку ACA C така, що ∣AC∣=4∣AT∣|A C|=4|A T|. Нехай KK і LL — внутрішні точки відрізків ABA B і ACA C відповідно такі, що, по-перше, KL∥BCK L \| B C і, по-друге, KLK L дотикається до вписаного кола трикутника △ABC\triangle A B C. Нехай SS — точка перетину відрізків BTB T і KLK L. Знайдіть відношення ∣SL∣∣KL∣\frac{|S L|}{|K L|}.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-128

Дотик вписаних кіл у прямокутнику

Нехай ABCDABCD — прямокутник, а EE — точка на відрізку ADAD. Відомо, що чотирикутник BCDEBCDE має вписане коло ω1\omega_{1}, яке дотикається до відрізка BEBE в точці TT. Якщо вписане коло ω2\omega_{2} трикутника ABEABE також дотикається до відрізка BEBE в точці TT, то знайдіть відношення радіуса кола ω1\omega_{1} до радіуса кола ω2\omega_{2}.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-130

Площа описаного кола продовженого трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=5AB = 5, BC=6BC = 6, CA=7CA = 7. Нехай DD — точка на промені ABAB за точкою BB така, що BD=7BD = 7, EE — точка на промені BCBC за точкою CC така, що CE=5CE = 5, а FF — точка на промені CACA за точкою AA така, що AF=6AF = 6. Обчисліть площу круга, обмеженого описаним колом трикутника DEFDEF.
10–11 класиВписане коло2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-059

Трикутник з інцентром і перетином описаного кола

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, вписаний в одиничне коло з центром OO. Нехай II — інцентр △ABC\triangle ABC, а DD — перетин сторони BCBC і бісектриси ∠BAC\angle BAC. Припустімо, що описане коло △ADO\triangle ADO перетинає BCBC знову в точці EE такій, що EE лежить на прямій IOIO. Якщо cos⁡A=1213\cos A=\frac{12}{13}, знайдіть площу △ABC\triangle ABC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-012

Описаний чотирикутник з прямими кутами

Чотирикутник ABCDABCD має прямі кути при вершинах AA і DD. Коло радіуса 1010 міститься всередині чотирикутника й дотикається до всіх чотирьох сторін. Довжина сторони BCBC дорівнює 2424. Середину сторони ADAD позначено EE, а середину сторони BCBC позначено FF. Чому дорівнює довжина відрізка EFEF? A) 432\frac{43}{2} B) 13211\frac{13}{2}\sqrt{11} C) 33511\frac{33}{5}\sqrt{11} D) 2222 E) 452\frac{45}{2}
10–11 класиВписане коло

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.