Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 140 задач
ГеометріяВизначні точки та лінії трикутника
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-064

Трикутник з фіксованим кутом і точки на лінії дотику

На площині задано точки A≠BA \neq B. Точка CC рухається по площині таким чином, що ∠ACB=α\angle ACB = \alpha, де α\alpha — фіксований кут з проміжку (0∘,180∘)(0^\circ, 180^\circ). Вписане у △ABC\triangle ABC коло має центр у точці II та дотикається до сторін ABAB, BCBC, CACA в точках DD, EE, FF відповідно. Прямі AIAI та BIBI перетинають пряму EFEF у точках MM та NN відповідно. Покажіть, що: а) відрізок MNMN має постійну довжину; б) усі кола, описані навколо трикутника DMNDMN, мають спільну точку.
10 класВписане коло
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-076

Точка в трикутнику і центри описаних кіл її частин

Точка PP належить трикутнику ABCABC. Центри кіл, описаних навколо трикутників PBCPBC, PACPAC, PABPAB, позначимо через OAO_A, OBO_B, OCO_C відповідно. Позначимо через OPO_P центр кола, описаного навколо трикутника OAOBOCO_AO_BO_C. Доведіть, що точка PP задовольняє умову OP=PO_P = P тоді й тільки тоді, коли PP — ортоцентр △ABC\triangle ABC.
8 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-084

Серединні перпендикуляри, проекції на сторону та описані кола

Дано гострокутний трикутник ABCABC. На серединних перпендикулярах до його сторін ABAB і BCBC відмітили відповідно точки PP і QQ, а MM і NN — їх проекції на сторону ACAC (рис. 2). З'ясувалося, що 2MN=AC2MN = AC. Доведіть, що коло, описане навколо трикутника PBQPBQ, проходить через центр кола, описаного навколо трикутника ABCABC.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-093

Точка всередині трикутника та центри вписаних кіл

Точка PP належить трикутнику ABCABC. Центри кіл, вписаних у трикутники PBCPBC, PACPAC, PABPAB, позначимо через IAI_A, IBI_B, ICI_C відповідно. Позначимо через IPI_P центр кола, вписаного в трикутник IAIBICI_A I_B I_C. Доведіть, що для точки PP, яка задовольняє умову IP=PI_P = P, виконуються рівності: AP−BP=AC−BC,BP−CP=BA−CA,CP−AP=CB−AB.AP - BP = AC - BC, \quad BP - CP = BA - CA, \quad CP - AP = CB - AB.
10 класСиметрія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-096

Точка дотику вписаного кола трикутника KMB

На сторонах ABAB і BCBC трикутника ABCABC обрали точки KK і MM відповідно так, що AK=KM=MCAK = KM = MC. Нехай NN — точка перетину прямих AMAM і CKCK, PP — основа перпендикуляра, опущеного з точки NN на пряму KMKM, а QQ — така точка відрізка KMKM, що MQ=KPMQ = KP. Доведіть, що коло, вписане в трикутник KMBKMB, дотикається до сторони KMKM у точці QQ.
10 класВписане коло
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-002

Ортоцентр трикутника і коло через основи перпендикулярів

В гострокутному трикутнику ABCABC, MM – точка на ACAC відрізку і NN – точка на продовженні відрізка ACAC така, що MN=ACMN = AC. Нехай D,ED, E – основи перпендикулярів опущених з точок M,NM, N на прямі BC,ABBC, AB відповідно. Доведіть, що ортоцентр трикутника ABCABC лежить на колі, описаному навколо трикутника BEDBED.
8 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-006

Центр O, точки D, S, T у трикутнику ABC

Нехай OO – центр описаного навколо ΔABC\Delta ABC кола, прямі AOAO та BCBC перетинаються в точці DD. На прямій BOBO вибирається така точка SS, що AB∥DSAB \parallel DS. Прямі ASAS та BCBC перетинаються в точці TT. Довести, що якщо точки O,D,S,TO, D, S, T належать одному колу, то ΔABC\Delta ABC рівнобедрений.
8 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-031

Вписаний чотирикутник, перпендикуляри і точки на одній прямій

Нехай чотирикутник ABCDABCD вписаний в коло з центром OO, з тупими кутами ∠B\angle B і ∠C\angle C. Нехай EE – точка перетину прямих ABAB і CDCD. PP та RR – основи перпендикулярів, опущених з точки EE на BCBC та ADAD відповідно. Нехай QQ – точка перетину прямих EPEP і ADAD, а SS – точка перетину прямих ERER і BCBC. Позначимо через KK – середина відрізку QSQS. Доведіть, що точки E,K,OE, K, O лежать на одній прямій.
10 класОписане коло
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-013

Півколо з діаметром AB і рівність відрізків

Задано півколо з діаметром ABAB та центром у точці SS. На цьому півколі відмічено точки CC та DD (точка DD лежить на дузі BCBC) таким чином, що ∠CSD=90∘\angle CSD = 90^\circ. Нехай EE – точка перетину прямих ACAC та BDBD, FF – точка перетину прямих ADAD та BCBC. Доведіть, що EF=ABEF = AB.
8 класЦентральні і вписані кути
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-043

Точки дотику вписаного кола та умова GI ⊥ AB

Вписане коло трикутника ABC(AC≠BC)ABC(AC \ne BC) дотикається до сторін AB,BCAB, BC та CACA в точках P,QP, Q та RR відповідно. Позначимо через GG точку перетину медіан та через II центр вписаного кола трикутника ABCABC. Виявилося, що GI⊥ABGI \perp AB. Доведіть, що: а) точки R,GR, G та QQ лежать на одній прямій б) CR=ABCR = AB
11 класОписане коло
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-019

Бісектриса трикутника і центри вписаного та описаного кіл

У трикутнику ABCABC проведена бісектриса AKAK. Центр кола, вписаного в трикутник AKCAKC, збігається з центром кола, описаного навколо трикутника ABCABC. Визначити кути трикутника ABCABC.
9 класТочка перетину бісектрис
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-024

Симетричні ортоцентру точки та рівність кутів

Точка A1A_1 симетрична ортоцентру HH гострокутного ΔABC\Delta ABC відносно сторони BCBC, аналогічним чином будуються точки B1,C1B_1, C_1 відповідно. Відомо, що ∠C1AB1=∠CA1B\angle C_1AB_1 = \angle CA_1B, ∠C1BA1=∠CB1A\angle C_1BA_1 = \angle CB_1A та ∠A1CB1=∠AC1B\angle A_1CB_1 = \angle AC_1B. Довести, що ΔABC\Delta ABC рівносторонній.
10 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-044

Перпендикулярні хорди кола і точка перетину висот

У колі проведена хорда ABAB, на якій обрана точка PP таким чином, що AP=2PBAP = 2PB. Хорда DEDE перпендикулярна хорді ABAB і проходить через точку PP. Довести, що середина відрізок APAP є точкою перетину висот трикутника AEDAED.
8 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-050

Перпендикуляри через вершини трикутника і ортоцентри

Задано трикутник A1A2A3A_1A_2A_3 і точка XX, що не належить жодній з прямих, які містять сторони трикутника. Нехай lil_i – пряма, яка проходить через точку AiA_i перпендикулярно до прямої XAiXA_i, i=1,2,3i = 1,2,3. Нехай точки B1=l2∩l3B_1 = l_2 \cap l_3, B2=l3∩l1B_2 = l_3 \cap l_1, B3=l1∩l2B_3 = l_1 \cap l_2, а H1H_1, H2H_2, H3H_3 – точки перетину висот трикутників ΔB1A2A3\Delta B_1A_2A_3, ΔB2A3A1\Delta B_2A_3A_1, ΔB3A1A2\Delta B_3A_1A_2 відповідно. Довести, що трикутники ΔA1A2A3\Delta A_1A_2A_3 та ΔH1H2H3\Delta H_1H_2H_3 рівні.
9 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-074

Бісектриси трикутника з кутом 120° і рівність кутів

В трикутнику ABCABC ∠ABC=120∘\angle ABC = 120^\circ. Бісектриса цього кута перетинає сторону ACAC в точці MM, а бісектриса кута, суміжного з кутом ∠BCA\angle BCA, перетинає пряму ABAB у точці PP. Відрізок MPMP перетинає сторону BCBC у точці KK. Доведіть, що ∠AKM=∠KPC\angle AKM = \angle KPC.
8 класБісектриса кута
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-032

Геометричне місце точки P за центрами описаних кіл

Нехай ABCABC – гострокутний трикутник, для деякої внутрішньої точки трикутника PP позначимо через Oa,Ob,OcO_a, O_b, O_c центри описаних кіл трикутників PBC,PCA,PABPBC, PCA, PAB відповідно а) Знайти геометричне місце таких точок PP, для яких справджується рівність: OaObAB=ObOcBC=OcOaCA\dfrac{O_aO_b}{AB} = \dfrac{O_bO_c}{BC} = \dfrac{O_cO_a}{CA}. б) Для кожної точки PP, що належить ГМТ з пункту а), довести, що прямі AOa,BOb,COcAO_a, BO_b, CO_c перетинаються в одній точці.
10 класТочка перетину висот
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-006

Точки дотику вписаних кіл до діагоналей паралелограма

Задано паралелограм ABCDABCD, у якого AB>BCAB > BC. Позначимо через KK і MM точки дотику до діагоналі ACAC кіл, вписаних у трикутники ACDACD і ABCABC відповідно, а через LL і NN – точки дотику до діагоналі BDBD кіл, вписаних у трикутники BCDBCD та відповідно ABDABD. Доведіть, що KLMNKLMN – прямокутник.
8 класВписане коло
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-024

Пряма KL і відрізок AJ у трикутнику

У ΔABC\Delta ABC, у якого AB<BCAB < BC на стороні ACAC вибрана така точка DD, що AB=BDAB = BD. Вписане в ΔABC\Delta ABC коло дотикається сторін ABAB і ACAC в точках KK і LL відповідно. JJ – інцентр ΔBCD\Delta BCD. Довести, що пряма KLKL ділить навпіл відрізок AJAJ.
9 класВписане коло
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-008

Кути трикутника BKL з медіаною і трапецією

На площині розташовані два трикутники ABCABC і BKLBKL таким чином, що відрізок AKAK ділиться на три рівні частини точкою перетину медіан ΔABC\Delta ABC та точкою перетину бісектрис ΔBKL\Delta BKL (AKAK – медіана ΔABC\Delta ABC, KAKA – бісектриса ΔBKL\Delta BKL) і чотирикутник KALCKALC – трапеція. Знайти кути трикутника ΔBKL\Delta BKL.
8 класТочка перетину медіан
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-023

Тетраедр з паралельними площинами ABC та A1B1C1

В тетраедрі SABCSABC на висоті SHSH обрано таку точку OO, що виконується рівність: ∠AOS+α=∠BOS+β=∠COS+γ=180∘\angle AOS + \alpha = \angle BOS + \beta = \angle COS + \gamma = 180^\circ, де α,β,γ\alpha, \beta, \gamma – двогранні кути при ребрах BC,AC,ABBC, AC, AB відповідно, при цьому точка HH лежить всередині основи ABCABC. Нехай A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 точки перетину прямих та площин: A1=AO∩SBCA_1 = AO \cap SBC, B1=BO∩SACB_1 = BO \cap SAC, C1=CO∩SBAC_1 = CO \cap SBA. Довести, що якщо площини ABCABC та A1B1C1A_1B_1C_1 паралельні, то SA=SB=SCSA = SB = SC.
11 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-036

Точки дотику вписаного кола і спільна точка перпендикулярів

Коло, вписане в трикутник ABCABC дотикається до сторін BC,CABC, CA і ABAB в точках A1,B1A_1, B_1 і C1C_1 відповідно. Через середину відрізка A1B1A_1B_1 проведено пряму, перпендикулярну до ABAB, через середину B1C1B_1C_1 – пряму, перпендикулярну до BCBC, і через середину C1A1C_1A_1 – пряму, перпендикулярно до CACA. Доведіть, що ці прямі перетинаються в одній точці.
9 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-042

Радіус описаного кола трикутника ALK

На продовженні сторони BCBC паралелограма ABCDABCD за точку CC вибрано таку точку KK, що трикутник ΔCDK\Delta CDK є рівнобедреним з основою CKCK, а на продовженні сторони DCDC за точку CC вибрано таку точку LL, що рівнобедреним з основою CLCL є трикутник ΔCBL\Delta CBL. Бісектриси кутів ∠LBC\angle LBC та ∠CDK\angle CDK перетинаються в точці QQ. Знайдіть радіус описаного навколо трикутника ALKALK кола, якщо ∠BQD=α\angle BQD = \alpha і KL=aKL = a.
10 класОписане коло
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-055

Перетин прямих через основи висот і середини відрізків

У гострокутному трикутнику ABCABC точки A0,B0,C0A_0, B_0, C_0 – основи висот. Усередині трикутника відмічені такі точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1, що ∠A1BC=∠A1AB\angle A_1BC = \angle A_1AB, ∠A1CB=∠A1AC\angle A_1CB = \angle A_1AC, ∠B1CA=∠B1BC\angle B_1CA = \angle B_1BC, ∠B1AC=∠B1BA\angle B_1AC = \angle B_1BA, ∠C1BA=∠C1CB\angle C_1BA = \angle C_1CB, ∠C1AB=∠C1CA\angle C_1AB = \angle C_1CA. Точки A2,B2A_2, B_2 та C2C_2 – середини відрізків AA1,BB1AA_1, BB_1 та CC1CC_1 відповідно. Доведіть, що прямі A0A2,B0B2A_0A_2, B_0B_2 та C0C2C_0C_2 перетинаються в одній точці.
11 класКоло Ейлера (коло 9 точок)
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-06-07-012

Побудова трикутника за точками перетину бісектриси з колами

На прямій послідовно задані 4 точки – A,P,Q,WA,P,Q,W, які є точками перетину бісектриси ALAL трикутника ABCABC з описаним та вписаним колом. Знаючи лише ці точки, побудувати трикутник ABCABC.
9 класТеорема про тризуб
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-06-07-017

Геометричне місце вершин за точками на бісектрисі

На площині задано точки P,QP,Q, які є точками перетину бісектриси ALAL деякого трикутника ABCABC з вписаним колом, а також точка WW – перетин бісектриси ALAL з описаним колом, що відмінна від вершини AA. а) Знайти геометричне місце можливого розташування вершини AA трикутника ABCABC. б) Знайти геометричне місце можливого розташування вершини BB трикутника ABCABC.
10 класТеорема про тризуб

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.