Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-047

Колінеарність у трикутнику з дотичною і колом

Нехай ABCABC — трикутник такий, що AB<ACAB < AC, HH — його ортоцентр, Γ\Gamma — його описане коло, dd — дотична до кола Γ\Gamma в AA. Коло з центром BB, яке проходить через AA, перетинає dd в точці DD і (AC)(AC) в точці EE. Доведіть, що точки DD, EE, HH лежать на одній прямій.
9–11 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-039

Вписаний чотирикутник у правильному вісімнадцятикутнику

Нехай OO — центр правильного 18-кутника з вершинами A1,…,A18A_{1}, \ldots, A_{18}. Нехай BB — точка на відрізку [OA1][OA_{1}] така, що BA2O^=20∘\widehat{BA_{2} O}=20^{\circ}, а CC — точка на відрізку [OA2][OA_{2}] така, що CA1O^=10∘\widehat{CA_{1} O}=10^{\circ}. Доведіть, що точки BCA2A3BCA_{2} A_{3} лежать на одному колі.
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-033

Геометричне місце точок перетину дотичних у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник. Для заданої точки PP прямої (BC)(BC) позначимо через E(P)E(P) і F(P)F(P) другі точки перетину прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) з колом з діаметром [AP][AP]. Нехай T(P)T(P) — точка перетину дотичних до цього кола в точках E(P)E(P) і F(P)F(P). Доведіть, що коли точка PP рухається по прямій (BC)(BC), геометричне місце точок T(P)T(P) є прямою.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-034

Рівність кутів через перетини кіл

Нехай ABCABC — трикутник, OO — центр його описаного кола. Нехай PP — точка на прямій (AO)(AO), а D,E,FD, E, F — ортогональні проєкції PP на прямі (AB)(AB), (BC)(BC) і (CA)(CA). Нехай XX і YY — точки перетину описаних кіл трикутників DEFDEF і BCPBCP. Доведіть, що BAX^=YAC^\widehat{BAX} = \widehat{YAC}
9–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-052

Перетин діагоналей у вписаному чотирикутнику

Нехай AA, BB, CC, DD — чотири точки на колі, взяті у вказаному порядку, причому AB=3AB = 3, BC=5BC = 5, CD=6CD = 6 і DA=4DA = 4. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Обчисліть APCP\frac{AP}{CP}.
10–11 класиКоло і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-002

Периметр трикутника з перетинів хорд кола

Нехай A,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, F — 6 точок на колі в зазначеному порядку. Нехай XX — точка перетину хорд ADAD і BEBE, YY — точка перетину хорд ADAD і CFCF, а ZZ — точка перетину хорд CFCF і BEBE. XX лежить на відрізках BZBZ і AYAY, а YY лежить на відрізку CZCZ. Відомо, що AX=3AX = 3, BX=2BX = 2, CY=4CY = 4, DY=10DY = 10, EZ=16EZ = 16 і FZ=12FZ = 12. Знайдіть периметр трикутника XYZXYZ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-058

Трапеція з дотичним колом та дугою

Горизонтальні паралельні відрізки AB=10AB = 10 і CD=15CD = 15 — основи трапеції ABCDABCD. Коло γ\gamma радіуса 66 має центр усередині трапеції і дотикається до сторін ABAB, BCBC і DADA. Якщо сторона CDCD відтинає від кола γ\gamma дугу величиною 120∘120^{\circ}, знайдіть площу трапеції ABCDABCD.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-054

Відношення діаметра до радіуса описаного кола

Нехай SS — множина з 2017 різних точок на площині. Нехай RR — радіус найменшого кола, яке містить усі точки з SS усередині або на межі. Також нехай DD — найбільша відстань між двома точками з SS. Нехай a,ba, b — дійсні числа, для яких a≤DR≤ba \leq \frac{D}{R} \leq b для всіх можливих множин SS, причому aa — найбільше можливе, а bb — найменше можливе. Знайдіть пару (a,b)(a, b).
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-050

Рівнокутний шестикутник з колом, що перетинає сторони

Рівнокутний шестикутник має довжини сторін 1,1,a,1,1,a1, 1, a, 1, 1, a у такому порядку. Відомо, що існує коло, яке перетинає шестикутник у 12 різних точках, причому M<a<NM < a < N для деяких дійсних чисел MM і NN. Знайдіть найменше можливе значення відношення NM\frac{N}{M}.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-056

Радіуси описаних кіл у чотирикутнику з вписаним колом

Нехай ABCDABCD — чотирикутник з вписаним колом ω\omega, а PP — точка перетину його діагоналей ACAC і BDBD. Нехай R1,R2,R3,R4R_{1}, R_{2}, R_{3}, R_{4} — радіуси описаних кіл трикутників APBAPB, BPCBPC, CPDCPD, DPADPA відповідно. Якщо R1=31R_{1}=31, R2=24R_{2}=24 і R3=12R_{3}=12, знайдіть R4R_{4}.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-036

Висоти трикутника і колінеарність точок A, T, O

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Висоти BEBE і CFCF перетинаються в ортоцентрі HH, а точкою OO позначено центр описаного кола. Точку PP вибрано так, що ∠APH=∠OPE=90∘\angle APH = \angle OPE = 90^{\circ}, а точку QQ вибрано так, що ∠AQH=∠OQF=90∘\angle AQH = \angle OQF = 90^{\circ}. Прямі EPEP і FQFQ перетинаються в точці TT. Доведіть, що точки A,T,OA, T, O лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-058

Радіус описаного кола: дотичні кола та відношення

Нехай ω\omega і Γ\Gamma — кола, причому ω\omega внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma у точці PP. Нехай ABAB — хорда кола Γ\Gamma, яка дотикається до кола ω\omega у точці QQ. Нехай R≠PR \neq P — друга точка перетину прямої PQPQ з колом Γ\Gamma. Якщо радіус кола Γ\Gamma дорівнює 1717, радіус кола ω\omega дорівнює 77 і AQBQ=3\frac{AQ}{BQ} = 3, знайдіть радіус описаного кола трикутника AQRAQR.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-041

Нерухома точка при проєкції інцентра

Нехай LBCL B C — нерухомий трикутник, у якого LB=LCL B = L C, і нехай AA — змінна точка на дузі LBL B його описаного кола. Нехай II — інцентр трикутника △ABC\triangle A B C, а AK‾\overline{A K} — висота, проведена з вершини AA. Описане коло трикутника △IKL\triangle I K L перетинає прямі KAK A і BCB C ще раз у точках U≠KU \neq K і V≠KV \neq K відповідно. Нарешті, нехай TT — проєкція точки II на пряму UVU V. Доведіть, що пряма, проведена через TT і середину відрізка IK‾\overline{I K}, проходить через деяку нерухому точку незалежно від положення точки AA.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-010

Трикутник 13, 14, 15 і границя мінімумів степеневих сум

Нехай ABCABC — трикутник на площині, причому AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, AC=15AC = 15. Нехай MnM_n позначає найменше можливе значення величини (APn+BPn+CPn)1n\left(AP^n + BP^n + CP^n\right)^{\frac{1}{n}} серед усіх точок PP площини. Знайдіть lim⁡n→∞Mn\lim_{n \rightarrow \infty} M_n.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-018

Найбільший радіус вписаного кола чотирикутника

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, довжини сторін якого AB=2AB=2, BC=3BC=3, CD=5CD=5 і DA=4DA=4. Яке найбільше можливе значення радіуса кола, вписаного в чотирикутник ABCDABCD?
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-027

Довжина хорди в описаному колі трикутника

Трикутник ABCABC має довжини сторін AB=15AB = 15, BC=18BC = 18, CA=20CA = 20. Сторони CACA і CBCB продовжено до точок DD і EE відповідно так, що DA=AB=BEDA = AB = BE. Пряма ABAB перетинає описане коло трикутника CDECDE у точках PP і QQ. Знайдіть довжину відрізка PQPQ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-029

Вписаний чотирикутник із пропорційними сторонами

Точки AA, BB, CC, DD лежать на колі в такому порядку, що ABBC=DACD\frac{A B}{B C}=\frac{D A}{C D}. Якщо AC=3A C=3 і BD=BC=4B D=B C=4, знайдіть довжину відрізка ADA D.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-036

Радіус описаної сфери рівнобедреного тетраедра

Тетраедр ABCDA B C D з об'ємом 11 вписано в описану сферу ω\omega так, що AB=AC=AD=2A B = A C = A D = 2 і BC⋅CD⋅DB=16B C \cdot C D \cdot D B = 16. Знайдіть радіус сфери ω\omega.
10–11 класиОписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2017-004

Колінеарність у колі з дотичними

Дано коло ω\omega з діаметром AKA K. Точка MM лежить усередині кола, не на прямій AKA K. Пряма AMA M перетинає ω\omega ще раз у QQ. Дотична до кола ω\omega у QQ перетинає пряму, що проходить через MM перпендикулярно до AKA K, у PP. Точка LL лежить на колі ω\omega так, що пряма PLP L є дотичною, причому L≠QL \neq Q. Доведіть, що K,LK, L і MM лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2017-010

Чотирикутник ABCD з бісектрисою BD і прямою, паралельною до AC

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Діагональ BDBD є бісектрисою кута ∡CBA\measuredangle CBA. Описане коло трикутника ABCABC перетинає відрізки CD‾\overline{CD} та DA‾\overline{DA} у внутрішніх точках PP та QQ відповідно. Пряма, що проходить через точку DD паралельно прямій ACAC, перетинає прямі BABA та BCBC у точках RR та SS відповідно. Доведіть, що чотири точки P,Q,RP, Q, R та SS лежать на одному колі.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2017-014

Дотик вписаного кола і перетин описаних кіл

Вписане коло нерівнобедреного трикутника △ABC\triangle ABC має центр II і дотикається до сторін BCBC та CACA відповідно в точках DD і EE. Нехай HH — ортоцентр трикутника △ABI\triangle ABI, KK — точка перетину прямих AIAI і BHBH, а LL — точка перетину прямих BIBI і AHAH. Доведіть, що описані кола трикутників △DKH\triangle DKH і △ELH\triangle ELH перетинаються на вписаному колі трикутника △ABC\triangle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2017-027

Образ інцентра при симетрії на описаному колі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC≠BCAB = AC \ne BC, а II — його інцентр. Пряма BIBI перетинає ACAC у точці DD, а пряма, що проходить через DD перпендикулярно до ACAC, перетинає AIAI у точці EE. Доведіть, що образ точки II при симетрії відносно ACAC лежить на описаному колі трикутника BDEBDE.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2017-022

Дотик зовнівписаного кола до описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник. Зовнівписане коло ω\omega, протилежне вершині AA, дотикається до відрізка BC‾\overline{BC}, а також до променів ACAC і ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF перетинає пряму BCBC у точках PP і QQ. Нарешті, нехай MM — середина відрізка AD‾\overline{AD}. Доведіть, що коло ω\omega і описане коло трикутника MPQMPQ дотикаються.
10–11 класиІнверсія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-024

Паралельні прямі у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник із ∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}, а DD — основа висоти, проведеної з AA. Середини відрізків ADAD і ACAC позначимо відповідно EE і FF. Нехай MM — центр описаного кола △BEF\triangle BEF. Доведіть, що AC∥BMAC \parallel BM.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2017-019

Найбільше діагоналей n-кутника з перпендикулярними перетинами

Нехай n≥3n \geq 3 — натуральне число. Яку найбільшу кількість діагоналей правильного nn-кутника можна провести так, щоб якщо дві діагоналі перетинаються у внутрішній області, то вони перпендикулярні одна до одної?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.