Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-127

Рівновіддалена точка решітки за модулем простого числа

Нехай S={(x,y)∣x,y∈Z,0≤x,y≤2016}S=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z}, 0 \leq x, y \leq 2016\}. Для точок A=(x1,y1)A=(x_1, y_1), B=(x2,y2)B=(x_2, y_2) з SS визначимо d2017(A,B)=(x1−x2)2+(y1−y2)2(mod2017)d_{2017}(A, B) = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \pmod{2017} Точки A=(5,5)A=(5,5), B=(2,6)B=(2,6), C=(7,11)C=(7,11) лежать в SS. Існує також точка O∈SO \in S, яка задовольняє d2017(O,A)=d2017(O,B)=d2017(O,C)d_{2017}(O, A) = d_{2017}(O, B) = d_{2017}(O, C) Знайдіть d2017(O,A)d_{2017}(O, A).
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-079

Спільна дотична до вписаних кіл трикутника

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB=13, BC=14BC=14, CA=15CA=15. Висота з AA перетинає BCBC в точці DD. Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — вписані кола трикутників ABDABD і ACDACD, а спільна зовнішня дотична до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} (відмінна від прямої BCBC) перетинає ADAD в точці EE. Обчисліть довжину AEAE.
10–11 класиВписане коло2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-129

Відрізок між інцентрами у вписаному чотирикутнику

У вписаному чотирикутнику ABCDABCD з AB=AD=49AB = AD = 49 і AC=73AC = 73 нехай II і JJ — інцентри трикутників ABDABD і CBDCBD. Якщо діагональ BD‾\overline{BD} ділить навпіл відрізок IJ‾\overline{IJ}, знайдіть довжину IJIJ.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-099

Дотичні сфери всередині описаної сфери

Циліндр з радіусом 1515 і висотою 1616 вписано в сферу. Три рівні менші сфери радіуса xx зовні дотикаються до основи циліндра, зовні дотикаються одна до одної та зсередини дотикаються до великої сфери. Чому дорівнює xx?
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-022

Відстань між центрами описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Знайдіть відстань між центрами описаних кіл трикутників AOBAOB та AOCAOC.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-130

Трикутник із центрами напіввписаних кіл

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці DD. Нехай HH і Γ\Gamma позначають ортоцентр і описане коло △ABC\triangle ABC. BB-напіввписане коло з центром у точці OBO_{B} дотикається до прямих BABA і BCBC та внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma. CC-напіввписане коло з центром у точці OCO_{C} визначено аналогічно. Припустімо, що DH‾⊥OBOC‾\overline{DH} \perp \overline{O_{B}O_{C}}, AB=3AB=\sqrt{3} і AC=2AC=2. Знайдіть довжину сторони BCBC.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-101

Колінеарність у конфігурації з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II, вписане коло якого дотикається до BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA}, AB‾\overline{AB} у точках D,E,FD, E, F. Точка PP лежить на EF‾\overline{EF} так, що DP‾⊥EF‾\overline{DP} \perp \overline{EF}. Промінь BPBP перетинає AC‾\overline{AC} у точці YY, а промінь CPCP перетинає AB‾\overline{AB} у точці ZZ. Точку QQ вибрано на описаному колі △AYZ\triangle AYZ так, що AQ‾⊥BC‾\overline{AQ} \perp \overline{BC}. Доведіть, що P,I,QP, I, Q лежать на одній прямій.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-030

Дотичні до описаного кола основ висот

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15, а E,FE, F — основи висот, проведених з BB і CC відповідно. Нехай описане коло трикутника AEFAEF — це ω\omega. Проведено три прямі, дотичні до описаного кола трикутника AEFAEF в точках AA, EE і FF. Обчисліть площу трикутника, який визначають ці три прямі.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-071

Вісім кривих трикутника 2, 3, 4 та їх перетини

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=2AB = 2, AC=3AC = 3, BC=4BC = 4. Ізогональним спряженням точки PP, позначеним P∗P^*, називається точка, отримана перетином відбиттів прямих PAPA, PBPB, PCPC відносно бісектрис кутів ∠A\angle A, ∠B\angle B і ∠C\angle C відповідно. Для точки QQ через K(Q)\mathfrak{K}(Q) позначимо єдину кубічну плоску криву, яка проходить через усі точки PP такі, що пряма PP∗PP^* містить QQ. Розглянемо: a. кубіку Маккея K(O)\mathfrak{K}(O), де OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC, b. кубіку Томсона K(G)\mathfrak{K}(G), де GG — центроїд трикутника △ABC\triangle ABC, c. кубіку Наполеона–Фейєрбаха K(N)\mathfrak{K}(N), де NN — центр кола дев'яти точок трикутника △ABC\triangle ABC, d. кубіку Дарбу K(L)\mathfrak{K}(L), де LL — точка де Лоншана (відбиття ортоцентра відносно точки OO), e. кубіку Нойберга K(X30)\mathfrak{K}(X_{30}), де X30X_{30} — нескінченно віддалена точка на прямій OGOG, f. коло дев'яти точок трикутника △ABC\triangle ABC, g. вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC і h. описане коло трикутника △ABC\triangle ABC. Оцініть NN, кількість точок, що лежать принаймні на двох із цих восьми кривих. Оцінка EE дає ⌊20⋅2−∣N−E∣/6⌋\left\lfloor 20 \cdot 2^{-|N-E| / 6}\right\rfloor балів.
10–11 класиІнші точки трикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2016-003

Трикутник з висотою і рівними відрізками

Нехай ABCA B C — гострокутний трикутник. Нехай HH — основа висоти з CC на ABA B. Припустимо, що ∣AH∣=3∣BH∣|A H| = 3|B H|. Нехай MM і NN — середини сторін відповідно ABA B і ACA C. Нехай PP — така точка, що ∣NP∣=∣NC∣|N P| = |N C| і ∣CP∣=∣CB∣|C P| = |C B|, причому BB і PP лежать по різні боки від прямої ACA C. Доведіть, що ∠APM=∠PBA\angle A P M = \angle P B A.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2016-013

Рівнобедрений трикутник з бісектрисою кута BEC

Нехай △ABC\triangle ABC — рівнобедрений трикутник, у якому ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|. Нехай DD, EE і FF — точки на відповідних відрізках BCBC, CACA і ABAB такі, що ∣BF∣=∣BE∣|BF| = |BE| і EDED — внутрішня бісектриса кута ∠BEC\angle BEC. Доведіть, що ∣BD∣=∣EF∣|BD| = |EF| тоді й лише тоді, коли ∣AF∣=∣EC∣|AF| = |EC|.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2016-016

Прямокутний трикутник, середини дуг і дотики вписаного кола

Нехай △ABC\triangle ABC — прямокутний трикутник, у якому ∠A=90∘\angle A = 90^\circ, а Γ\Gamma — його описане коло. Вписане коло дотикається до сторони BCBC в точці DD. Нехай EE — середина дуги ABAB кола Γ\Gamma, на якій не лежить CC, а FF — середина дуги ACAC кола Γ\Gamma, на якій не лежить BB. a) Доведіть, що △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF. b) Доведіть, що пряма EFEF проходить через точки дотику вписаного кола до сторін ABAB і ACAC.
10–11 класиТеорема про тризуб3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2016-020

Геометричне місце перетину при дотичній побудові

Задано кола Γ1\Gamma_{1} з центром AA і Γ2\Gamma_{2} з центром BB, причому AA лежить на колі Γ2\Gamma_{2}. На колі Γ2\Gamma_{2} лежить далі змінна точка PP, що не лежить на прямій ABA B. Пряма через PP, яка дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в SS, перетинає Γ2\Gamma_{2} ще раз у QQ, причому PP і QQ лежать з одного боку від прямої ABA B. Інша пряма через QQ дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в TT. Нехай далі MM — основа перпендикуляра з PP на пряму ABA B. Нехай NN — точка перетину прямих AQA Q і MTM T. Доведіть, що NN лежить на прямій, яка не залежить від положення PP на колі Γ2\Gamma_{2}.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2016-026

Бісектриса, висота і добуток сторін трикутника

Нехай ABCABC — трикутник з AB≠ACAB \neq AC і нехай MM — середина сторони BCBC. Бісектриса ∠BAC\angle BAC перетинає пряму BCBC у точці QQ. Нехай HH — основа висоти, проведеної з вершини AA на пряму BCBC. Перпендикуляр до прямої AQAQ, що проходить через AA, перетинає пряму BCBC у точці SS. Доведіть, що MH⋅QS=AB⋅ACMH \cdot QS = AB \cdot AC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2016-006

Прямокутник, описане коло і бісектриса

Нехай ABCDABCD — прямокутник, у якому AB>BCAB > BC, а ω\omega — його описане коло. Нехай EE і FF — відповідно перетини (відмінні від AA) бісектриси кута BAD^\widehat{BAD} зі стороною CDCD і з колом ω\omega. Перпендикуляр до хорди DFDF, проведений через EE, перетинає хорду DFDF в GG, а дугу DFDF, що не містить CC, — в точці HH. Доведіть, що: (a) відрізки DFDF і FBFB мають однакову довжину; (b) трикутники DEGDEG і DHGDHG конгруентні; (c) відрізки HFHF і FCFC рівні.
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-001

Кут у трикутнику з перетинами описаних кіл

Нехай ABCABC — трикутник з ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^{\circ}. Нехай EE — точка на стороні BCBC, така, що 2∠BAE=∠ACB2 \angle BAE = \angle ACB. Нехай DD — друга точка перетину прямої ABAB та описаного кола трикутника AECAEC, а PP — друга точка перетину прямої CDCD та описаного кола трикутника DBEDBE. Обчисліть кут ∠BAP\angle BAP.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-002

Паралельні прямі з дотичних до двох кіл

Два кола k1k_{1} і k2k_{2} перетинаються в точках AA і CC. Нехай BB — друга точка перетину кола k1k_{1} з дотичною до кола k2k_{2} в точці AA, а DD — друга точка перетину кола k2k_{2} з дотичною до кола k1k_{1} в точці CC. Доведіть, що прямі ADA D і BCB C паралельні.
10–11 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-008

Дотичне до сторін коло на бісектрисі

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає сторону BCBC в точці DD. Нехай kk — коло, яке проходить через точку DD і дотикається до відрізків ACAC та ABAB в точках EE, відповідно FF. Нехай GG — друга точка перетину кола kk зі стороною BCBC. Нехай SS — точка перетину прямих EGEG і DFDF. Доведіть, що пряма ADAD перпендикулярна до прямої BSBS.
10–11 класиДотична кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-009

Перетин описаних кіл на гіпотенузі

Нехай ABCA B C — прямокутний трикутник з ∠ACB=90∘\angle A C B=90^{\circ}, а MM — середина гіпотенузи ABA B. Нехай GG — довільна точка на відрізку MCM C, а PP — точка на прямій AGA G, така, що ∠CPA=∠BAC\angle C P A=\angle B A C. Далі нехай QQ — точка на прямій BGB G, така, що ∠BQC=∠CBA\angle B Q C=\angle C B A. Доведіть, що описані кола трикутників AQGA Q G і BPGB P G перетинаються на відрізку ABA B.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-012

Рівність відрізків у трикутнику з ортоцентром

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а HH — його ортоцентр. Нехай GG — точка перетину прямої, паралельної до ABAB, проведеної через HH, з прямою, паралельною до AHAH, проведеною через BB. Нехай II — точка на прямій GHGH така, що ACAC перетинає відрізок HIHI в його середині. Нехай JJ — друга точка перетину прямої ACAC з описаним колом трикутника CGICGI. Доведіть, що IJ=AHIJ = AH.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2015-004

Коло, дотичне до описаного кола BOC

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай Γ\Gamma — коло з центром на висоті, проведеній з вершини AA трикутника ABCABC, яке проходить через вершину AA та точки PP і QQ на сторонах ABAB і ACAC. Припустімо, що BP⋅CQ=AP⋅AQBP \cdot CQ = AP \cdot AQ. Доведіть, що коло Γ\Gamma дотикається до описаного кола трикутника BOCBOC.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на EGMOEGTST-2015-003

Перпендикулярність прямих, що з'єднують центр зовнівписаного кола з дугою та центр вписаного кола з бісектрисою

Нехай ABCABC — нерівнобедрений трикутник з вершиною AA, а Γ\Gamma — його описане коло. Нехай NN — середина дуги кола Γ\Gamma між BB і CC, що містить AA. Нехай II — центр вписаного кола трикутника ABCABC, JJ — центр зовнівписаного кола трикутника ABCABC навпроти вершини AA, і KK — точка перетину прямої BCBC із зовнішньою бісектрисою ∠BAC\angle BAC. Довести, що (JN)⊥(IK)(JN) \perp (IK).
10–11 класиТочка перетину висот
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-009

Рівнобедрений трикутник із хорди кола

Прямокутний трикутник ABCABC має прямий кут при вершині AA. Коло cc проходить через вершини AA і BB трикутника ABCABC і перетинає сторони ACAC і BCBC відповідно в точках DD і EE. Відрізок CDCD має ту саму довжину, що й діаметр кола cc. Доведіть, що трикутник ABEABE є рівнобедреним.
8–10 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-016

Перетин описаних кіл і перпендикулярність

Центром описаного кола гострокутного трикутника ABCABC є точка OO. Пряма ACAC перетинає описане коло трикутника AOBAOB у точці XX, відмінній від вершини AA. Доведіть, що пряма XOXO перпендикулярна до прямої BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-047

Гострокутний трикутник з перетином дотичної

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, такий, що AC>ABAC > AB, DD — точка на стороні BCBC, така, що AD=ABAD = AB і DD відмінна від BB. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, Δ\Delta — дотична до кола Γ\Gamma в точці CC, EE — перетин прямих (AD)(AD) і Δ\Delta. Доведіть, що CD2=AD⋅DE−BD⋅DCCD^{2} = AD \cdot DE - BD \cdot DC.
9–11 класиОзнаки подібності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.