Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 456 задач
КомбінаторикаКонструкції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-009

Хроматичне число орієнтованого графа

Нехай nn і kk — цілі числа, такі, що n⩾3n \geqslant 3. Тео організовує вибори делегатів у своєму класі з nn учнів: кожен учень має проголосувати за одного зі своїх однокласників (усі є кандидатами), і ніхто не голосує за себе. Потім Тео розподіляє учнів на групи так, щоб якщо учень перебуває в групі, то учень, за якого він проголосував, у ній не перебував. Для яких значень kk Тео напевно зможе розподілити учнів не більш ніж на kk груп, незалежно від того, як учні проголосують?
8–10 класиСтепені вершин
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-011

Справедливі програми повторення

Для підготовки до останнього тесту POFM року Жан-Батист і Марі-Одиль зібрали 100 математичних задач і беруться за складання програми повторення. Протягом 100 днів, які відділяють їх від тесту POFM, кожен має опрацьовувати по одній задачі на день. Позначимо через xx кількість задач, які Жан-Батист опрацював строго раніше за Марі-Одиль, а через yy кількість задач, які Марі-Одиль опрацювала строго раніше за Жан-Батиста. Нарешті, кажемо, що програма повторення є справедливою, якщо x=yx=y. Доведіть, що існує принаймні 100!×(250+(50!)2)100!\times\left(2^{50}+(50!)^{2}\right) справедливих програм.
8–10 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-002

Мінімальні обміни на круглому столі

2021 людина сидить навколо круглого столу. За один хід можна поміняти місцями двох людей, які сидять поруч. Визначте мінімальну кількість ходів, необхідну для того, щоб кожна людина опинилася на 1000 місць ліворуч від свого початкового місця.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-008

Зміни знака в послідовності усереднення

Нехай nn — натуральне число. Аліса записує в рядок nn дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} (у такому порядку). Кожного ходу вона вибирає одне число і замінює його на середнє арифметичне його самого та його сусідів (тобто ana_{n} не є сусідом a1a_{1}, і навпаки). Число змінює знак, якщо воно переходить з невід'ємного у від'ємне або навпаки. Залежно від nn визначте найбільшу можливу кількість разів, коли a1a_{1} може змінити знак, за всіх можливих значень a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} та всіх можливих послідовностей ходів Аліси.
10–11 класиНапівінваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-016

Многогранник із рівних трикутників 36-72-72

Опуклий многогранник має nn граней, усі з яких — рівні трикутники з кутами 36∘36^{\circ}, 72∘72^{\circ} і 72∘72^{\circ}. Знайдіть із доведенням найбільше можливе значення nn.
10–11 класиПланарні графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-033

Максимізація добутку при фіксованій сумі

Нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — послідовність різних натуральних чисел така, що a1+a2+⋯+an=2021a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=2021 і добуток a1a2⋯ana_{1} a_{2} \cdots a_{n} є найбільшим можливим. Якщо M=a1a2⋯anM=a_{1} a_{2} \cdots a_{n}, обчисліть найбільше натуральне число kk таке, що 2k∣M2^{k} \mid M.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-034

Розфарбування дошки зі зв'язністю кольорів

Нехай n>1n>1 — натуральне число. Кожну клітинку дошки n×nn \times n пофарбовано в чорний або білий колір так, що виконуються такі умови: - будь-які дві чорні клітинки можна сполучити послідовністю чорних клітинок, у якій будь-які дві сусідні клітинки послідовності мають спільну сторону; - будь-які дві білі клітинки можна сполучити послідовністю білих клітинок, у якій будь-які дві сусідні клітинки послідовності мають спільну сторону; - будь-який підквадрат 2×22 \times 2 містить принаймні одну клітинку кожного кольору. Знайдіть з доведенням максимально можливу різницю між кількістю чорних і білих клітинок на цій дошці (залежно від nn).
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-042

Вибір кульок трьох різних кольорів

Алмондайн має мішок із NN кульками, кожна з яких червона, біла або синя. Якщо Алмондайн витягує три кульки з мішка без повернення, ймовірність того, що вона витягне по одній кульці кожного кольору, більша за 23 відсотки. Обчисліть найбільше можливе значення ⌊N3⌋\left\lfloor\frac{N}{3}\right\rfloor.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-044

Визначення попарно взаємно простих чисел запитами добутків

Боб знає, що Аліса має 20212021 таємних натуральних чисел x1,…,x2021x_{1}, \ldots, x_{2021}, які є попарно взаємно простими. Боб хоче дізнатися числа Аліси. Йому дозволено вибрати множину S⊆{1,2,…,2021}S \subseteq \{1,2, \ldots, 2021\} і запитати в неї добуток чисел xix_{i} за i∈Si \in S. Аліса мусить правдиво відповідати на кожен запит Боба, а Боб може використовувати попередні відповіді Аліси для вибору наступного запиту. Обчисліть найменшу кількість запитів, потрібну Бобу, щоб гарантовано визначити кожне з чисел Аліси.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-054

Найменше неподане натуральне число

Після завершення Guts-раунду організатори HMMT зберуть усі відповіді, подані на всі 66 запитань (зокрема й на це) в індивідуальних раундах і в Guts-раунді. Оцініть NN — найменше натуральне число, яке ніхто жодного разу не подасть протягом турніру. Оцінка EE отримає max⁡(0,24−4∣E−N∣)\max (0,24-4|E-N|) балів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2021-026

Розфарбування вершин правильного 100-кутника

Нехай вершини правильного 100-кутника PP пофарбовано або в червоний, або в синій колір так, що кожен колір трапляється принаймні 24 рази. Доведіть, що існує 24 попарно неперетинні чотирикутники Q1,Q2,…,Q24Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{24}, вершини яких є також вершинами PP, такі, що кожен чотирикутник QiQ_{i} має або одну, або три червоні вершини.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2021-005

Розфарбування покриття доміно за рядками

Нехай mm і nn — натуральні числа, для яких mnmn парне. Єтце збирається покрити дошку m×nm \times n (тобто таку, що складається з mm рядків і nn стовпців) кісточками доміно так, щоб кожна кісточка доміно покривала рівно дві клітинки, кісточки доміно не виступали за межі дошки і не перекривалися, а всі клітинки були покриті кісточкою доміно. Потім Мерлін пофарбує всі кісточки доміно на дошці в червоний або синій колір. Знайдіть найменше невід'ємне ціле число VV (залежне від mm і nn) таке, що Мерлін завжди може забезпечити, щоб у кожному рядку кількість клітинок, покритих червоною кісточкою доміно, і кількість клітинок, покритих синьою кісточкою доміно, відрізнялися щонайбільше на VV, як би Єтце не покрив дошку.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2021-002

Баланс кольорів рядків при замощенні доміно

Нехай mm і nn — натуральні числа, для яких mnmn парне. Єтце збирається покрити m×nm \times n-дошку (з mm рядками та nn стовпцями) кісточками доміно так, щоб кожна кісточка доміно покривала рівно дві клітинки, кісточки доміно не виходили за межі дошки й не накладалися одна на одну, а кожна клітинка була покрита кісточкою доміно. Після цього Мерлейн збирається пофарбувати всі кісточки доміно на дошці або в червоний, або в синій колір. Знайдіть найменше невід'ємне ціле число VV (залежне від mm і nn) таке, що Мерлейн завжди може забезпечити, щоб у кожному рядку кількість клітинок, покритих червоною кісточкою доміно, і кількість клітинок, покритих синьою кісточкою доміно, відрізнялися не більш ніж на VV, хоч би як Єтце покрив дошку.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2021-019

Трикутник зі сторонами, помноженими на степені

Знайдіть усі натуральні числа nn з такою властивістю: для кожної трійки (a,b,c)(a, b, c) додатних дійсних чисел існує трійка (k,ℓ,m)(k, \ell, m) невід’ємних цілих чисел така, що ank,bnℓ,cnman^k, bn^\ell, cn^m є довжинами сторін (невиродженого) трикутника.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-019

Вартові, що охороняють точки сітки

Сітка складається з n×nn \times n точок, де nn — натуральне число. У деяких із цих точок розміщено по вартовому. Кожен вартовий вибирає два взаємно перпендикулярні напрями (серед напрямів рядків і стовпців сітки) і охороняє всі точки, що лежать у вибраних напрямах. Кожен вартовий охороняє також клітину, яку займає, а вартові, що стоять на краю, залежно від вибраних напрямів можуть дивитися й у порожнечу. Наприклад, на рисунку нижче, що відповідає розміщенню 5 вартових у сітці 4×44 \times 4, вартові в A,B,C,D,EA, B, C, D, E охороняють відповідно 1,3,4,5,71,3,4,5,7 точок; точки DD та EE охороняються лише одним вартовим, точка CC охороняється 2 вартовими, точки A,BA, B та FF охороняються 3 вартовими. a) Доведіть, що можна розмістити 12 вартових у сітці 4×44 \times 4 так, щоб кожна точка сітки охоронялася не більше ніж 2 вартовими. b) Нехай S(n)S(n) — найбільша кількість вартових, яку можна розмістити в сітці n×nn \times n так, щоб кожна точка сітки охоронялася не більше ніж 2 вартовими. Доведіть, що 3n≤S(n)≤4n3 n \leq S(n) \leq 4 n для всіх n≥3n \geq 3.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-020

Найбільша і найменша піратська сума одиничних дробів

Для двох дробів a/ba / b і c/dc / d визначимо їхню піратську суму як ab⋄cd=a+cb+d\frac{a}{b} \diamond \frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d} при цьому мається на увазі, що обидва початкові дроби нескоротні (тобто максимально спрощені), а також отриманий результат потім скорочується до нескоротного вигляду. Так, наприклад, піратська сума дробів 2/72 / 7 і 4/54 / 5 дорівнює 1/21 / 2. Нехай задано ціле число n≥3n \geq 3. Спочатку на дошці написано дроби 11,12,13,…,1n\frac{1}{1}, \quad \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{3}, \ldots, \quad \frac{1}{n} Кожним ходом ми вибираємо два дроби, написані на дошці, витираємо їх, а на їхнє місце пишемо їхню піратську суму. Продовжуємо так само, доки на дошці не залишиться лише один дріб. Визначте залежно від nn найбільше та найменше можливі значення цього останнього дробу.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-022

Виявлення періоду періодичної послідовності

Послідовність x1,x2,…,xn,…x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots складається з початкового блоку з pp різних натуральних чисел, які далі періодично повторюються. Це означає, що {x1,x2,…,xp}\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p}\right\} — це pp різних натуральних чисел, і xn+p=xnx_{n+p}=x_{n} для кожного натурального nn. Члени послідовності невідомі, а мета — визначити період pp. Для цього на кожному кроці можна відкрити значення одного члена послідовності за власним вибором (причому вибір може залежати від результатів попередніх кроків). a. Знаючи наперед, що 1≤p≤101 \leq p \leq 10, знайдіть найменше nn, для якого існує стратегія, що дає змогу достовірно визначити pp, відкривши не більше ніж nn членів. b. Знаючи наперед, що pp — одне з перших kk простих чисел, визначте, для яких значень kk існує стратегія, що дає змогу достовірно визначити pp, відкривши не більше ніж 5 членів.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2021-016

Стрибки коника з сумою координат

Коник рухається площиною і з точки з координатами (x,y)(x, y) може стрибнути на власний вибір або в (x+y,y)(x+y, y), або в (x,x+y)(x, x+y). Він вирушив з точки з координатами (n,9)(n, 9), де nn — натуральне число, але не пам'ятає значення nn. Він знає лише, що після деякої кількості ходів опинився в (2021,2050)(2021,2050). Скільки існує можливих значень nn?
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-011

Розфарбування дошки з вимушеним шляхом

Нехай n>1n > 1 — ціле число. Аліса і Боб грають у таку гру на клітинній дошці n×2021n \times 2021. Спочатку Аліса фарбує кожну клітинку в чорний або білий колір. Боб ставить фішку в одну з клітинок верхнього рядка і позначає одну клітинку нижнього рядка як ціль. Потім Аліса повторює таку операцію n−1n-1 разів: Якщо фішка стоїть на білій клітинці, Аліса пересуває фішку на клітинку безпосередньо нижче. Інакше Аліса пересуває фішку на одну клітинку ліворуч або праворуч, а потім на одну клітинку нижче. Знайдіть найменше можливе значення nn таке, що Аліса завжди може привести фішку до цілі незалежно від вибору Боба.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-013

Послідовність з нерівністю на п’ять членів

2021 ціле число a1,a2,…,a2021a_1, a_2, \dots, a_{2021} задовольняє an+5+an>an+2+an+3a_{n+5} + a_n > a_{n+2} + a_{n+3} для всіх цілих n=1,…,2016n = 1, \dots, 2016. Знайдіть найменше значення різниці між найбільшим і найменшим серед чисел a1,a2,…,a2021a_1, a_2, \dots, a_{2021}.
10–11 класиСуми послідовностей
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-002

Ітероване усереднення дає цілі числа

На дошці написано три різні натуральні числа. Коли на дошці написано дійсні числа aa, bb, cc, розглянемо процедуру, яка одночасно замінює ці три числа на b+c2\frac{b+c}{2}, c+a2\frac{c+a}{2}, a+b2\frac{a+b}{2}. Після того як цю процедуру виконали 20212021 разів, усі три числа на дошці є натуральними числами. Знайдіть найменше можливе значення суми початкових трьох натуральних чисел на дошці.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-014

Чорні клітинки з мінімумом змішаних квадратів 2×2

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть усі цілі числа 1≤k≤2n21 \le k \le 2n^2, що задовольняють таку умову: Є дошка 2n×2n2n \times 2n. Коли kk різних клітинок вибрано і пофарбовано в чорний колір, а решту клітинок пофарбовано в білий, найменша кількість квадратів 2×22 \times 2, які мають одночасно чорні та білі клітинки, дорівнює 2n−12n-1.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-010

Монети на шаховій дошці з діагональними ходами

На шаховій дошці 7×77 \times 7 монету покладено в клітинку в першому рядку зверху, у четвертому стовпці зліва. Клітинку YY називаємо нижньою лівою клітинкою клітинки XX, якщо YY розташована на kk клітинок ліворуч і на kk клітинок нижче від XX для деякого натурального числа kk. Аналогічно клітинку YY називаємо нижньою правою клітинкою клітинки XX, якщо YY розташована на kk клітинок праворуч і на kk клітинок нижче від XX для деякого натурального числа kk. Для клітинки XX, що лежить не в нижньому рядку, коли на XX лежить монета, можна виконати одну з таких чотирьох операцій: a. Зняти монету з XX і покласти монету в клітинку на одну нижче від XX. b. Зняти монету з XX і покласти монети в кожну з нижніх лівих клітинок клітинки XX. c. Зняти монету з XX і покласти монети в кожну з нижніх правих клітинок клітинки XX. d. Зняти монету з XX і покласти монети в клітинку на одну клітинку ліворуч і на одну клітинку нижче від XX, а також у клітинку на одну клітинку праворуч і на одну клітинку нижче від XX. Якщо така клітинка лише одна, покласти монету лише в цю клітинку. Якщо в місці, куди збираються покласти монету, вже є монета, то туди монету не кладуть. Знайдіть найбільшу можливу кількість монет, які можуть опинитися на дошці, якщо операцію виконувати довільну кількість разів. (a) (b) (c) (d)
10–11 класиНапівінваріанти2 розв’язки
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-006

Золоті члени у перестановці чисел

У послідовності чисел член називається золотим, якщо він ділиться на член, що стоїть безпосередньо перед ним. Яка найбільша можлива кількість золотих членів у перестановці чисел 1,2,3,…,20211,2,3,\ldots ,2021?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2021-011

Таблиця з умовами про дільники та послідовні рядки

Чи можна в кожну клітинку таблиці 10×1010 \times 10 записати натуральне число так, щоб виконувалися обидві такі умови? - Кожне число (не у верхньому рядку) є власним дільником числа безпосередньо під ним. - Кожен рядок складається з 10 послідовних натуральних чисел (але не обов'язково в порядку зростання).
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.