Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 236 задач
КомбінаторикаМетоди комбінаторних обчислень
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-137

Очікувана площа у грі з вкладеними колами

Сара й Агар грають у дартс. Нехай O0O_{0} — круг радіуса 11. На nn-му ходу гравець, чия черга, кидає дротик і влучає в точку pnp_{n}, випадково вибрану з точок On−1O_{n-1}. Потім гравець креслить найбільший круг із центром у pnp_{n}, що міститься в On−1O_{n-1}, і називає цей круг OnO_{n}. Потім гравець зафарбовує своїм кольором кожну точку, що лежить усередині On−1O_{n-1}, але не всередині OnO_{n}. Першою ходить Сара, далі гравці чергуються. Гра триває нескінченно. Якщо колір Сари — червоний, а колір Агар — синій, чому дорівнює математичне сподівання площі множини точок, зафарбованих у червоний колір?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-032

Розбиття пронумерованих кульок з обмеженням на суму

Денні має набір із 1515 більярдних кульок, пронумерованих 1,2,…,151,2, \ldots, 15. Скількома способами він може розкласти кульки в 88 нерозрізнюваних ящиків так, щоб сума чисел на кульках у кожному ящику дорівнювала 1414, 1515 або 1616?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-150

Функції з обмеженими значеннями і 2010 різними значеннями

Нехай A={1,2,…,2011}A=\{1,2, \ldots, 2011\}. Знайдіть кількість функцій ff з AA в AA, таких, що f(n)≤nf(n) \leq n для всіх nn з AA і які набувають рівно 2010 різних значень.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-151

Ймовірність перемоги Гермії у коловому голосуванні

Нехай nn — непарне натуральне число, і припустімо, що nn людей входять до комітету, який обирає президента. Члени сидять у колі, і кожен член голосує за особу або безпосередньо ліворуч від себе, або безпосередньо праворуч від себе. Якщо один член набере більше голосів, ніж усі інші члени, його буде оголошено президентом; інакше одного з членів, які набрали принаймні стільки ж голосів, скільки всі інші, буде випадково обрано президентом. Якщо Гермія та Лісандр — два члени комітету, причому Гермія сидить ліворуч від Лісандра, а Лісандр планує голосувати за Гермію, визначте ймовірність того, що Гермію буде обрано президентом, за умови, що інші n−1n-1 члени голосують випадково.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-162

Ймовірність перемоги Гермії у круговому голосуванні

Нехай nn — непарне натуральне число, і припустимо, що nn людей входять до складу комітету, який обирає президента. Члени сидять по колу, і кожен член голосує за особу або безпосередньо ліворуч від себе, або безпосередньо праворуч від себе. Якщо один член набирає більше голосів, ніж усі інші члени, його буде оголошено президентом; інакше одного з членів, які набрали не менше голосів, ніж усі інші, буде випадково обрано президентом. Якщо Гермія та Лісандр — двоє членів комітету, причому Гермія сидить ліворуч від Лісандра, а Лісандр планує голосувати за Гермію, визначте ймовірність того, що Гермію буде обрано президентом, за припущення, що інші n−1n-1 членів голосують випадково.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-040

Розфарбування сітки з діагональною умовою

Скількома способами можна кожну клітинку дошки 4×20114 \times 2011 пофарбувати в червоний, синій або жовтий колір так, щоб жодні дві клітинки, що дотикаються по діагоналі, не були одного кольору?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-048

Впорядковані трійки з додатною сумою

Знайдіть кількість впорядкованих трійок (a,b,c)(a, b, c) попарно різних цілих чисел таких, що −31≤a,b,c≤31-31 \leq a, b, c \leq 31 і a+b+c>0a+b+c>0.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-050

Монотонна бієкція на тривимірній цілочисельній решітці

Нехай SS — множина точок (x,y,z)(x, y, z) у R3\mathbb{R}^3, для яких x,yx, y, а також zz — натуральні числа, не більші за 100100. Нехай ff — бієкція між SS та {1,2,…,1000000}\{1,2, \ldots, 1000000\}, яка задовольняє таку властивість: якщо x1≤x2,y1≤y2x_1 \leq x_2, y_1 \leq y_2, а також z1≤z2z_1 \leq z_2, то f(x1,y1,z1)≤f(x2,y2,z2)f\left(x_1, y_1, z_1\right) \leq f\left(x_2, y_2, z_2\right). Позначимо Ai=∑j=1100∑k=1100f(i,j,k),Bi=∑j=1100∑k=1100f(j,i,k), і Ci=∑j=1100∑k=1100f(j,k,i)\begin{aligned} A_i & =\sum_{j=1}^{100} \sum_{k=1}^{100} f(i, j, k), \\ B_i & =\sum_{j=1}^{100} \sum_{k=1}^{100} f(j, i, k), \\ \text{ і } C_i & =\sum_{j=1}^{100} \sum_{k=1}^{100} f(j, k, i) \end{aligned} Знайдіть найменше можливе значення Ai+1−Ai+Bj+1−Bj+Ck+1−CkA_{i+1}-A_i+B_{j+1}-B_j+C_{k+1}-C_k.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-052

Сконкатеновані числа від 1 до 99

Три не обов'язково різні натуральні числа від 11 до 9999 включно записані в ряд на дошці. Потім ці числа, без початкових нулів, конкатенують, щоб утворити нове ціле число NN. Наприклад, якщо записано числа 2525, 66 і 1212 у такому порядку, то N=25612N=25612 (а не N=250612N=250612). Визначте кількість можливих значень NN.
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-053

Намисто без сусідніх жовтих намистин

Скількома способами можна розмістити тринадцять намистин на круглому намисті, якщо кожна намистина або синя, або жовта, і жодні дві жовті намистини не стоять на сусідніх місцях? (Намистини одного кольору вважаються однаковими, а два розташування вважаються однаковими тоді й лише тоді, коли одне можна отримати з іншого поворотом).
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-054

Відношення кількості ґратчастих шляхів у смузі

Нехай nn — ціле число, більше за 33. Нехай RR — множина точок цілочисельної решітки (x,y)(x, y) таких, що 0≤x,y≤n0 \leq x, y \leq n і ∣x−y∣≤3|x-y| \leq 3. Нехай AnA_{n} — кількість шляхів з (0,0)(0,0) до (n,n)(n, n), які складаються лише з кроків вигляду (x,y)→(x,y+1)(x, y) \rightarrow (x, y+1) і (x,y)→(x+1,y)(x, y) \rightarrow (x+1, y) та повністю містяться в RR. Знайдіть найменше додатне дійсне число, більше за An+1An\frac{A_{n+1}}{A_{n}} для всіх nn.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-063

Перестановки з великим зсувом

Нехай A={1,2,3,…,9}A=\{1,2,3, \ldots, 9\}. Знайдіть кількість бієктивних функцій f:A→Af: A \rightarrow A, для яких існує принаймні одне i∈Ai \in A таке, що ∣f(i)−f−1(i)∣>1\left|f(i)-f^{-1}(i)\right|>1
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-064

Розфарбування сітки без одноколірного хрестика

Кожну клітинку сітки 3×103 \times 10 пофарбовано в чорний або білий колір. Нехай NN — кількість способів зробити це так, щоб жодні п'ять клітинок у конфігурації «X» (як показано чорними клітинками нижче) не були всі білими або всі чорними. Знайдіть N\sqrt{N}.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-065

Підрахунок лінійних рекурентних послідовностей за модулем простого числа

Нехай pp — просте натуральне число. Рекурентною за модулем pp послідовністю степеня nn назвемо послідовність {ak}k≥0\{a_k\}_{k \geq 0} чисел за модулем pp, що задовольняє співвідношення вигляду ai+n=cn−1ai+n−1+…+c1ai+1+c0aia_{i+n} = c_{n-1} a_{i+n-1} + \ldots + c_1 a_{i+1} + c_0 a_i для всіх i≥0i \geq 0, де c0,c1,…,cn−1c_0, c_1, \ldots, c_{n-1} — цілі числа і c0≢0(modp)c_0 \not\equiv 0 \pmod{p}. Обчисліть кількість різних лінійних рекурентних послідовностей степеня не більше nn через pp і nn.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-067

Послідовності з обмеженням на співвідношення

Знайдіть кількість послідовностей, що складаються зі 100100 літер RR і 20112011 літер SS, таких, що серед перших kk літер кількість літер SS строго більша за 2020-кратну кількість літер RR для всіх 1≤k≤21111 \leq k \leq 2111.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-070

Вишукані перестановки без зростаючих і спадних підпослідовностей

Нехай w=w1,w2,…,w6w = w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{6} — перестановка цілих чисел {1,2,…,6}\{1, 2, \ldots, 6\}. Якщо не існує індексів i<j<ki < j < k таких, що wi<wj<wkw_{i} < w_{j} < w_{k}, або індексів i<j<k<li < j < k < l таких, що wi>wj>wk>wlw_{i} > w_{j} > w_{k} > w_{l}, то ww називається вишуканою. Знайдіть кількість вишуканих перестановок.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-072

Допустимі впорядкування пар з п'яти елементів

Впорядкуванням множини з nn елементів називається бієктивне відображення між цією множиною та {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}. Впорядкування ρ\rho 10 невпорядкованих пар різних цілих чисел із множини {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} називається допустимим, якщо для будь-яких 1≤a<b<c≤51 \leq a<b<c \leq 5 виконується або p({a,b})<p({a,c})<p({b,c})p(\{a, b\})<p(\{a, c\})<p(\{b, c\}), або p({b,c})<p({a,c})<p({a,b})p(\{b, c\})<p(\{a, c\})<p(\{a, b\}). Знайдіть загальну кількість допустимих впорядкувань.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-005

Шляхи заданої довжини у повному графі

Нехай n≥2n \geq 2 і k≥1k \geq 1 — цілі числа. У деякій країні є nn міст і між кожною парою міст є автобусне сполучення в обох напрямках. Нехай AA і BB — два різні міста. Доведіть, що кількість способів, якими можна дістатися з AA до BB, скориставшись рівно kk автобусами, дорівнює (n−1)k−(−1)kn\frac{(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}
10–11 класиРекурентний підрахунок
Відбіркові тести на IMOTST-2011-015

Асоціативна операція з інволютивною властивістю

Чи існує операція ∗* на множині всіх цілих чисел така, що одночасно виконуються такі умови: (1) для будь-яких цілих чисел xx, yy, zz, (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z); (2) для будь-яких цілих чисел xx і yy, x∗x∗y=y∗x∗x=yx * x * y = y * x * x = y?
10–11 класиСистеми числення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-017

Мавпи, жердини та банани

Нехай nn — натуральне число. У клітці з nn мавпами стоїть nn жердин для лазіння. Щоб мавпи трохи порухалися, доглядачі під час годування кладуть по одному банану на верхівку кожної жердини. Додатково вони з'єднують жердини скінченною кількістю мотузок так, що два різні кінці мотузок прикріплено в різних точках. Коли мавпа вилазить жердиною і знаходить мотузку, вона не може втриматися і перебирається мотузкою, перш ніж продовжити підйом. Кожна мавпа починає з іншої жердини. Доведіть, що кожна мавпа отримає банан.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2011-026

Кольорові точки із заданими сумами відстаней

Знайдіть усі трійки (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, для яких a+b+c=10a+b+c=10 і існує aa червоних, bb синіх і cc зелених точок (усі різні) на площині з такими властивостями: - для кожної червоної точки і кожної синьої точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 3737; - для кожної зеленої точки і кожної червоної точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 3030; - для кожної синьої точки і кожної зеленої точки розглянемо відстань між цими двома точками; сума всіх цих відстаней дорівнює 11;
10–11 класиНерівність трикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2011-022

Сума членів рекурентної послідовності до 2ⁿ − 1

Нехай cnc_n — послідовність, задана рекурентно так: c0=1c_0 = 1, c2n+1=cnc_{2n+1} = c_n при n≥0n \ge 0, і c2n=cn+cn−2ec_{2n} = c_n + c_{n-2^e} при n>0n > 0, де ee — найбільше невід'ємне ціле число таке, що 2e2^e ділить nn. Доведіть, що ∑i=02n−1ci=1n+2(2n+2n+1).\sum_{i=0}^{2^n-1} c_i = \frac{1}{n+2} \binom{2n+2}{n+1}.
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2011-033

Королі без нападів на великій шаховій дошці

Доведіть, що існує понад 101310^{13} способів розмістити 81 короля на дошці 18×1818 \times 18 так, щоб жодні два королі не били один одного.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-011

Логічна задача про лисиць, змій і черепах

У лісі фіолетового дерева живуть три види тварин, які вміють говорити: лисиці, змії та черепахи. Перші брешуть лише в дощові дні, другі брешуть завжди, треті завжди кажуть правду. Одного дня дослідник Берні розмовляє з чотирма тваринами. Їхні твердження, наведені в тому порядку, в якому вони були сказані, такі: A: «Сьогодні йде дощ.» B: «Тварина, яка говорила переді мною, бреше.» C: «Сьогодні ясно.» D: «Той, хто говорив переді мною, бреше, або я — лисиця.» Зі скількома черепахами щонайбільше поговорив Берні? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) Неможливо визначити.
9–11 класиРозбиття на випадки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-013

Ймовірність виграти принаймні чотири монети

На ярмарку є дуже приваблива гра, бо участь у ній безкоштовна; хто перемагає, отримує приз. Приз, передбачений за перші чотири партії, — одна монета, за п'яту — дві монети. Нікола в кожній партії має ймовірність 23\frac{2}{3} виграти приз і вирішує зіграти 5 партій. Яка ймовірність того, що Нікола виграє принаймні 4 монети? (A) 5(23)55\left(\frac{2}{3}\right)^{5} (B) 4(23)54\left(\frac{2}{3}\right)^{5} (C) 3(23)53\left(\frac{2}{3}\right)^{5} (D) 2(23)52\left(\frac{2}{3}\right)^{5} (E) (23)5\left(\frac{2}{3}\right)^{5}.
9–11 класиРозбиття на випадки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.