Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 538 задач
Теорія чиселТеорія подільності, основні поняття
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-006

Подільність 3^m + 1 на добуток mn

Знайдіть усі такі пари натуральних чисел mm і nn, що обидва числа 3m+13^m + 1 і 3n+13^n + 1 діляться без остачі на mnmn.
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-011

Нерівність для членів рекурентної послідовності

Нехай {an}n=1∞\left\{a_n\right\}_{n=1}^{\infty} — така послідовність натуральних чисел, що a1=a2=1a_1 = a_2 = 1, для всіх n≥3n \ge 3 an−1<na_{n-1} < n і an=aan−1+an−an−1a_n = a_{a_{n-1}} + a_{n - a_{n-1}}. Доведіть, що a2n≤2ana_{2n} \le 2a_n для всіх натуральних nn.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-003

Чудова таблиця 1019 × 1019 і найбільше число

Для таблиці розміром 1019×10191019 \times 1019, заповненої натуральними числами, позначимо через XiX_i множину чисел в її ii-му рядку, а через YiY_i — множину чисел в її ii-му стовпчику, 1≤i≤10191 \le i \le 1019. У випадку, якщо всі множини X1,X2,…,X1019X_1, X_2, \ldots, X_{1019}, Y1,Y2,…,Y1019Y_1, Y_2, \ldots, Y_{1019} є попарно різними, таку таблицю назвемо чудовою. Знайдіть найменше можливе значення найбільшого числа в чудовій таблиці.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-04-05-004

Нескінченна підмножина натуральних чисел з числом 2005

Чи існує така нескінченна підмножина SS множини всіх натуральних чисел, що для будь-яких двох чисел mm і nn з множини SS число m2n2m^2 n^2 ділиться на m2+2005mn+n2m^2 + 2005mn + n^2 без остачі?
10–11 класиНСД та НСК
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-005

Трійки натуральних чисел зі степеневою рівністю

Знайдіть усі такі трійки натуральних чисел mm, nn, kk, що mk+(m+n)k=(m+2n)km^k + \left(m + n\right)^k = \left(m + 2n\right)^k.
10–11 класиФормула біном Ньютона
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-02-03-006

Прості числа у порядку зростання і нерівність

Нехай {pn}n=1∞\{p_n\}_{n=1}^{\infty} — послідовність усіх простих чисел, записаних у порядку зростання: p1=2p_1 = 2, p2=3p_2 = 3, p3=5p_3 = 5, …\ldots. а) Для заданого натурального числа n≥10n \ge 10 через rr позначимо найменше натуральне число, що задовольняє умови 2≤r≤n−22 \le r \le n - 2, n−r+1<prn - r + 1 < p_r. Нехай Ns=(s⋅p1⋅p2⋅…⋅pr−1)−1N_s = \left(s \cdot p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{r-1}\right) - 1, s=1,2,…,prs = 1, 2, \ldots, p_r. Доведіть, що існує таке jj, 1≤j≤pr1 \le j \le p_r, що жодне з чисел p1,p2,…,pnp_1, p_2, \ldots, p_n не є дільником числа NjN_j. б) Знайдіть усі натуральні числа mm, для яких pm+12<p1⋅p2⋅…⋅pmp_{m+1}^2 < p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_m.
10–11 класиПостулат Бертрана
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-007

Попарно дружна трійка з трьох різних шкіл

У кожній з трьох шкіл вчиться по 200 учнів. Кожен учень має хоча б по одному другу в кожній із трьох шкіл (якщо учень AA є другом BB, то BB є другом AA). Відомо, що існує множина EE з 300 учнів (вибраних із вказаних вище 600) така, що для кожної школи SS та будь-яких двох учнів x∈Ex \in E, y∈Ey \in E, x∉Sx \notin S, y∉Sy \notin S, кількість друзів учня xx серед учнів SS та кількість друзів учня yy серед учнів SS є різними. Доведіть, що можна вибрати трьох учнів з трьох різних шкіл так, щоб вони були друзями один одного.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2025-002

Найбільший спільний дільник сусідніх членів послідовності

Нехай (an)(a_n) — така послідовність натуральних чисел, що для кожного натурального nn справджується рівність an+1=(n+1)(an−n+1)a_{n+1} = (n+1)(a_n - n + 1). Залежно від значення a1a_1 знайдіть найбільше натуральне число kk, для якого існує такий індекс i⩾2i \geqslant 2, що НСД(ai,ai+1)=k\text{НСД}(a_i, a_{i+1}) = k.
10–11 класиТеорема Вільсона
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2025-001

НСД числа N із сумами сусідніх взаємно простих чисел

Для натурального числа NN через c1<c2<…<cmc_1 < c_2 < \ldots < c_m позначимо всі натуральні числа, менші за NN, що взаємно прості із числом NN. Знайдіть усі такі N⩾3N \geqslant 3, що НСД(N,ci+ci+1)≠1\text{НСД}(N, c_i + c_{i+1}) \neq 1 для всіх 1⩽i⩽m−11 \leqslant i \leqslant m-1.
10–11 класиНСД та НСК
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-001

n прямих, що покривають точки трикутника, і k сонячних

Пряму на координатній площині XOYXOY називатимемо сонячною, якщо вона не є паралельною ані осі OXOX, ані осі OYOY, ані прямій x+y=0x + y = 0. Нехай n⩾3n \geqslant 3 — деяке ціле число. Знайдіть усі невід'ємні цілі числа kk, для яких існують nn різних прямих на цій площині, що задовольняють такі дві умови: - для всіх натуральних чисел aa і bb таких, що a+b⩽n+1a + b \leqslant n + 1, точка з координатами (a,b)(a, b) лежить принаймні на одній із цих nn прямих; - рівно kk із цих nn прямих є сонячними.
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2025-004

Послідовність сум трьох найбільших власних дільників та перший член

Власним дільником натурального числа NN називають додатний дільник числа NN, що відмінний від NN. Нескінченна послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots складається з натуральних чисел, кожний член якої має щонайменше три власні дільники. Для кожного n⩾1n \geqslant 1 число an+1a_{n+1} є сумою трьох найбільших власних дільників числа ana_n. Знайдіть усі можливі значення першого члена послідовності a1a_1.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2025-002

Повні квадрати з повторених блоків 2025

Знайдіть усі числа вигляду 20252025…202520252025\ldots2025 (числа складаються з одного або більше послідовних блоків 20252025), які є повними квадратами натуральних чисел.
7–9 класиМетод факторизації (розкладання н…
Балтійський шляхBW-2024-005

Обмеженість послідовності з параметром λ і середнім

Знайдіть усі додатні дійсні числа λ\lambda такі, що кожна послідовність a1,a2,…a_1, a_2, \ldots додатних дійсних чисел така, що an+1=λ⋅a1+a2+…+anna_{n+1} = \lambda \cdot \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} для всіх n⩾20242024n \geqslant 2024^{2024}, є обмеженою.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Балтійський шляхBW-2024-008

Гра на дошці n×n зі шляхом між кутовими клітинками

Нехай a,b,na, b, n — додатні цілі числа такі, що a+b⩽n2a+b \leqslant n^2. Стефанія та Степанко грають у гру на (спочатку незафарбованій) дошці n×nn \times n таким чином: - спочатку Стефанія фарбує aa клітинок у зелений колір; - потім Степанко фарбує bb інших (незафабованих) клітинок у синій колір. Стефанія виграє, якщо зможе знайти шлях із не синіх клітинок, що починається з нижньої лівої клітинки й закінчується у верхній правій клітинці (де шляхом є послідовність клітинок така, що дві сусідні мають спільну сторону), інакше виграє Степанко. Визначте, у залежності від aa, bb та nn, хто має виграшну стратегію.
10–11 класиШляхи на графах
Балтійський шляхBW-2024-018

Нескінченна послідовність і простий дільник багатьох членів

Нескінченна послідовність додатних цілих чисел a1,a2,…a_1, a_2, \ldots така, що an⩽2a_n \leqslant 2 та an+2a_{n+2} ділить an+1+ana_{n+1}+a_n для всіх n⩾1n \geqslant 1. Доведіть, що існує просте число, яке є дільником нескінченної кількості членів цієї послідовності.
10–11 класиПарність та непарність
Балтійський шляхBW-2024-019

Ціла сума відношень послідовних дільників і прості дільники

Чи існує додатне ціле число NN, яке ділиться принаймні на 2024 попарно різних простих чисел і чиї додатні дільники 1=d1<d2<…<dk=N1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = N такі, що число d2d1+d3d2+…+dkdk−1\frac{d_2}{d_1} + \frac{d_3}{d_2} + \ldots + \frac{d_k}{d_{k-1}} є цілим?
10–11 класиМетод математичної індукції
Балтійський шляхBW-2024-020

Система рівнянь для додатних цілих a, b, c

Додатні цілі числа aa, bb та cc задовольняють систему рівнянь {(ab−1)2=c(a2+b2)+ab+1,a2+b2=c2+ab.\begin{cases} (ab-1)^2 = c(a^2+b^2) + ab + 1, \\ a^2+b^2 = c^2+ab. \end{cases} а) Доведіть, що c+1c+1 є точним квадратом. б) Знайдіть усі такі трійки (a,b,c)(a, b, c).
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-003

Найбільший спільний дільник чотирьох різних дивних чисел

Назвемо натуральне число nn дивним, якщо для будь-якого натурального дільника dd числа nn число d (d+1)d\,(d+1) є дільником числа n (n+1)n\,(n+1). Доведіть, що для будь-яких чотирьох попарно різних дивних чисел AA, BB, CC, DD справджується рівність НСД (A,B,C,D)=1.\text{НСД}\,(A, B, C, D) = 1. Примітка. Тут через НСД (A,B,C,D)\text{НСД}\,(A, B, C, D) позначено найбільший спільний дільник чисел, тобто найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне із чисел AA, BB, CC і DD.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2024-005

Функції з однаковою кількістю дільників і умовою на НСД

Дано множину натуральних чисел N\mathbb{N}. Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, для яких для довільної пари натуральних чисел (x,y)(x, y) справджуються такі умови: - xx та f(x)f(x) мають однакову кількість натуральних дільників; - якщо xx не ділиться націло на yy, а yy не ділиться націло на xx, то НСД(f(x),f(y))>f(НСД(x,y)).\text{НСД}(f(x), f(y)) > f(\text{НСД}(x, y)). Примітка. Тут через НСД(m,n)\text{НСД}(m, n) позначено найбільший спільний дільник чисел, тобто найбільше натуральне число, що ділить числа mm та nn одночасно.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Європейський математичний кубокEMC-2024-005

Максимальна кількість двійкових пар серед n чисел

Ми називаємо пару різних чисел (a,b)(a, b) двійковою парою, якщо ab+1ab + 1 є степенем двійки. Яка максимальна можлива кількість двійкових пар у множині SS, що містить nn попарно різних натуральних чисел?
10–11 класиДерева
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-012

Дільник плюс один — просте число або дільник

Знайдіть усі натуральні числа nn з такою властивістю: для всіх додатних дільників dd числа nn виконується: d+1∣nd+1 \mid n або d+1d+1 — просте число.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…5 розв’язків
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-014

Функціональне рівняння з умовою взаємної простоти

Нехай Z>0\mathbb{Z}_{>0} позначає множину натуральних чисел. Нехай f:Z>0→Z>0f: \mathbb{Z}_{>0} \rightarrow \mathbb{Z}_{>0} — функція, що задовольняє таку властивість: для m,n∈Z>0m, n \in \mathbb{Z}_{>0} рівність f(mn)2=f(m2)f(f(n))f(mf(n))f(m n)^2 = f\left(m^2\right) f(f(n)) f(m f(n)) виконується тоді й лише тоді, коли mm і nn взаємно прості. Для кожного натурального числа nn визначте всі можливі значення f(n)f(n).
10–11 класиПрості числа (базові властивості)2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-004

Остача від ділення bⁿ на aⁿ та подільність

Зафіксуємо натуральні числа aa та bb, більші за 11. Для будь-якого натурального nn нехай rnr_n — це остача від ділення bnb^n на ana^n. Припустимо, що існує таке натуральне число NN, що rn<2nnr_n < \dfrac{2^n}{n} при всіх n⩾Nn \geqslant N. Доведіть, що bb ділиться на aa.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-037

Функціональне рівняння з НСК та подільністю

Нехай Z+\mathbb{Z}^+ позначає множину натуральних чисел, а НСК(n,m)\text{НСК}(n, m) — найменше натуральне число, яке ділиться як на nn, так і на mm. Знайдіть усі функції f:Z+→Z+f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ такі, що НСК(n⋅f(n2),f(m2))=n⋅f(nm), для всіх натуральних чисел n,m\text{НСК}(n \cdot f(n^2), f(m^2)) = n \cdot f(nm), \text{ для всіх натуральних чисел } n, m і такі, що f(n)f(n) ділить nn для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиНСД та НСК
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-002

Строго зростаюча функція з тотожністю для сум

Нехай Z+\mathbb{Z}^+ — множина натуральних чисел. Знайдіть усі строго зростаючі функції Z+→Z+\mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+, для яких f(1)=1f(1) = 1 і які задовольняють рівняння 3⋅(f(1)+f(2)+⋯+f(n))=f(n+1)+f(n+2)+⋯+f(2n)3 \cdot (f(1) + f(2) + \dots + f(n)) = f(n+1) + f(n+2) + \dots + f(2n) для всіх n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.