Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

21 566 задач
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-034

Дотичні до вписаного кола і перетини кіл

Нехай ω\omega позначає вписане коло трикутника ABCABC. Відрізки BCBC, CACA і ABAB дотикаються до кола ω\omega у точках DD, EE і FF відповідно. Точка PP лежить на відрізку EFEF так, що відрізок PDPD перпендикулярний до сторони BCBC. Пряма APAP перетинає BCBC у точці QQ. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 проходять через BB і CC відповідно та дотикаються до прямої AQAQ у точці QQ; перше з них перетинає ABAB вдруге в точці XX, а друге перетинає ACAC вдруге в точці YY. Пряма XYXY перетинає BCBC у точці ZZ. Відомо, що AB=15AB=15, BC=14BC=14 і CA=13CA=13. Знайдіть ⌊XZ⋅YZ⌋\lfloor XZ \cdot YZ\rfloor.
10–11 класиТеорема Менелая
Відбіркові тести на IMOTST-2007-002

Підмножини з умовою степеня двійки на суму

Нехай nn — натуральне число, більше за одиницю, а B={1,2,…,2n}B=\{1,2, \ldots, 2^{n}\}. Підмножина AA множини BB називається кумедною, якщо з кожних двох різних елементів x,yx, y множини BB, сума яких є степенем двійки, вона містить рівно один. Скільки кумедних підмножин має BB?
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2007-001

Вписаний чотирикутник у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якої AB∥CDAB \parallel CD та AB>CDAB > CD. Точки KK і LL лежать на сторонах ABAB та CDCD відповідно, причому AKKB=DLLC\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{DL}{LC}. Точки PP і QQ лежать на відрізку KLKL так, що ∠APB=∠BCDі∠CQD=∠ABC\angle APB = \angle BCD \quad \text{і} \quad \angle CQD = \angle ABC Доведіть, що точки PP, QQ, BB і CC лежать на одному колі.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-005

Показникове рівняння з сумою плюс один

Знайдіть усі четвірки натуральних чисел (m,n,p,qm, n, p, q) з властивістю pmqn=(p+q)2+1p^{m} q^{n} = (p+q)^{2} + 1
10–11 класиСтрибки Вієта2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-004

Найменші натуральні значення виразу 7m²−11n²

Знайдіть два найменші натуральні числа, які можна записати у вигляді 7m2−11n27 m^{2}-11 n^{2} з натуральними числами mm і nn.
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2007-003

Рівні мультимножини різниць послідовностей

Нехай nn — натуральне число, а a1≤a2≤⋯≤ana_1 \le a_2 \le \dots \le a_n і b1≤b2≤⋯≤bnb_1 \le b_2 \le \dots \le b_n — дві неспадні послідовності дійсних чисел такі, що a1+⋯+ai≤b1+⋯+biдля кожного i=1,…,n−1a_1 + \dots + a_i \le b_1 + \dots + b_i \quad \text{для кожного } i = 1, \dots, n-1 і a1+⋯+an=b1+⋯+bn.a_1 + \dots + a_n = b_1 + \dots + b_n. Припустімо, що для будь-якого дійсного числа mm кількість пар (i,j)(i, j), для яких ai−aj=ma_i - a_j = m, дорівнює кількості пар (k,ℓ)(k, \ell), для яких bk−bℓ=mb_k - b_\ell = m. Доведіть, що ai=bia_i = b_i при i=1,…,ni = 1, \dots, n. Зауваження: Важливо правильно розуміти умову, що для будь-якого дійсного числа mm кількість пар (i,j)(i, j), для яких ai−aj=ma_i - a_j = m, дорівнює кількості пар (k,ℓ)(k, \ell), для яких bk−bℓ=mb_k - b_\ell = m. Це означає, що маємо дві однакові мультимножини (мультимножина — це множина, яка допускає повторення елементів): {ai−aj∣1≤i<j≤n}\{a_i - a_j \mid 1 \le i < j \le n\} і {bk−bℓ∣1≤k<ℓ≤n}\{b_k - b_\ell \mid 1 \le k < \ell \le n\}.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові тести на IMOTST-2007-009

Точка з рівними різницями кутів

Нехай точка PP лежить усередині трикутника ABCA B C і задовольняє умову ∡BPC−∡BAC=∡CPA−∡CBA=∡APB−∡ACB.\varangle B P C-\varangle B A C=\varangle C P A-\varangle C B A=\varangle A P B-\varangle A C B . Доведіть, що тоді PA‾⋅BC‾=PB‾⋅AC‾=PC‾⋅AB‾\overline{P A} \cdot \overline{B C}=\overline{P B} \cdot \overline{A C}=\overline{P C} \cdot \overline{A B} Спочатку зауважимо, що ∡BPC=60∘+α,∡CPA=60∘+β,∡APB=60∘+γ\varangle B P C=60^{\circ}+\alpha, \varangle C P A=60^{\circ}+\beta, \varangle A P B=60^{\circ}+\gamma. З міркувань симетрії достатньо показати одну з двох стверджуваних рівностей. (Вказівка: для кута ∡XYZ\varangle X Y Z, де 0∘<∡XYZ<180∘0^{\circ}<\varangle X Y Z<180^{\circ}, у додатному напрямі (проти годинникової стрілки) покладемо ∡ZYX:=180∘−∡XYZ\varangle Z Y X:= 180^{\circ}-\varangle X Y Z. За цією домовленістю, наприклад, для чотирьох попарно різних точок W,X,Y,ZW, X, Y, Z на колі завжди ∡XYZ=∡XWZ\varangle X Y Z=\varangle X W Z).
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2007-022

Раціональність при виборі парних десяткових знаків

Для кожного дійсного числа xx, де 0<x<10 < x < 1, нехай y∈(0,1)y \in (0, 1) — те число, у якого nn-та цифра після коми є (2n)(2n)-ю цифрою після коми числа xx. Доведіть: якщо xx — раціональне, то yy також раціональне.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбіркові тести на IMOTST-2007-008

Суми підмножин, що не діляться на модуль

Маємо 2007 карток. На кожній картці написано натуральне число, менше за 2008. Якщо взяти кілька (принаймні одну) з цих карток, то сума чисел на них не ділиться на 2008. Доведіть, що на кожній картці написано те саме число.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Відбіркові тести на IMOTST-2007-007

Число Рамсея для неперетинних пар

Двох людей назвемо знайомою парою, якщо вони знають одне одного, а якщо вони не знають одне одного — назвемо їх незнайомою парою (знайомство чи незнайомство завжди взаємне). Нехай m,nm, n — натуральні числа. Знайдіть найменше натуральне число kk з такою властивістю: у будь-якій групі з kk людей завжди знайдуться 2m2 m людей, які утворюють mm попарно неперетинних знайомих пар, або знайдуться 2n2 n людей, які утворюють nn попарно неперетинних незнайомих пар.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2007-006

Раціональні косинуси послідовних кратних

Нехай θ\theta — кут з інтервалу (0,π/2)(0, \pi/2). Відомо, що cos⁡θ\cos \theta — ірраціональне число, а cos⁡kθ\cos k\theta і cos⁡[(k+1)θ]\cos[(k+1)\theta] — раціональні числа для деякого натурального числа kk. Доведіть, що θ=π/6\theta = \pi/6.
10–11 класиПеретворення тригонометричних вир…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-011

Добрі пари r, s для значень многочлена 2 і 5

Пара (r,s)(r, s) натуральних чисел називається доброю, якщо існують многочлен PP з цілими коефіцієнтами та попарно різні цілі числа a1,…,ara_{1}, \ldots, a_{r} і b1,…,bsb_{1}, \ldots, b_{s}, такі, що виконується P(a1)=P(a2)=…=P(ar)=2 і P(b1)=P(b2)=…=P(bs)=5P\left(a_{1}\right)=P\left(a_{2}\right)=\ldots=P\left(a_{r}\right)=2 \quad \text{ і } \quad P\left(b_{1}\right)=P\left(b_{2}\right)=\ldots=P\left(b_{s}\right)=5 a. Покажіть, що для кожної доброї пари (r,s)(r, s) натуральних чисел виконується r,s≤3r, s \leq 3. b. Знайдіть усі добрі пари.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2007-010

Подільність степеня мінус показник на фіксоване число

З'ясуйте, чи існують натуральні числа aa і bb такі, що aa не ділить bn−nb^n - n для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиТеорема Ейлера
Відбіркові тести на IMOTST-2007-013

Максимальний розмір комісії з попарним перетином

Нехай n>1n > 1 і mm — натуральні числа. Парламент складається з mnm n депутатів, які утворили 2n2 n комісій так, що виконується: (i) Кожна комісія складається з mm депутатів. (ii) Кожен депутат є членом рівно 2 комісій. (iii) Будь-які дві комісії мають щонайбільше одного спільного члена. Знайдіть залежно від nn найбільше можливе значення mm, за якого це можливо.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-012

Подібні трикутники у конструкції з дотичними

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Дотичні до кола ω\omega у точках BB і CC перетинаються в точці TT. Точка SS лежить на промені BCBC, причому AS⊥ATAS \perp AT. Точки B1B_1 і C1C_1 лежать на промені STST (причому C1C_1 лежить між B1B_1 і SS) так, що B1T=BT=C1TB_1T = BT = C_1T. Доведіть, що трикутники ABCABC і AB1C1AB_1C_1 подібні.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2007-015

Нерівності для додатних дійсних чисел з умовою на abc

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, для яких a+b+c≥abca+b+c \geq a b c. Доведіть, що принаймні дві з таких трьох нерівностей є правильними: 2a+3b+6c≥6,2b+3c+6a≥6,2c+3a+6b≥6\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c} \geq 6, \quad \frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{6}{a} \geq 6, \quad \frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{6}{b} \geq 6
10–11 класиЧислові нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2007-014

Повні послідовності остач за модулем 1024

Для многочлена P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами через r(2i−1)r(2i - 1) (де i=1,2,3,…,512i = 1, 2, 3, \dots, 512) позначимо остачу від ділення P(2i−1)P(2i - 1) на 10241024. Послідовність (r(1),r(3),…,r(1023))(r(1), r(3), \dots, r(1023)) називають послідовністю остач многочлена P(x)P(x). Послідовність остач називають повною, якщо вона є перестановкою набору (1,3,5,…,1023)(1, 3, 5, \dots, 1023). Доведіть, що різних повних послідовностей остач існує не більше ніж 2352^{35}.
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2007-016

Обернення префікса перестановки за її першим елементом

Нехай a1,a2,…,a2007a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2007} — послідовність, яка містить кожне з чисел 1,2,…,20071,2, \ldots, 2007 рівно один раз. Далі багаторазово виконується така операція: якщо перший член послідовності дорівнює nn, то порядок перших nn членів послідовності змінюється на протилежний. Доведіть, що після скінченної кількості таких операцій послідовність починатиметься з числа 11.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-017

П'ятикутник з рівними ланцюжками кутів

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник, для якого ∠BAC=∠CAD=∠DAE і ∠ABC=∠ACD=∠ADE\angle B A C=\angle C A D=\angle D A E \quad \text{ і } \quad \angle A B C=\angle A C D=\angle A D E Діагоналі BDB D і CEC E перетинаються в точці PP. Доведіть, що пряма APA P перетинає сторону CDC D в її середині.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2007-018

Факторіал, що ділить степінь плюс один

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує рівно одне ціле число aa, 0<a<n!0 < a < n!, таке, що n!∣an+1n! \mid a^{n} + 1
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2007-019

Нерівності між сусідніми значеннями функції з цілою частиною

Для натурального числа nn нехай f(n)=1n∑k=1n⌊nk⌋f(n)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел mm, для яких справджується нерівність f(m)<f(m+1)f(m)<f(m+1), і що існує нескінченно багато натуральних чисел mm, для яких справджується нерівність f(m)>f(m+1)f(m)>f(m+1).
10–11 класиКількість дільників τ(n)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-020

Функціональне рівняння зі степенем на додатних числах

Знайдіть усі функції f:R+→R+f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, такі, що для всіх x,y>0x, y>0 виконується f(xy)=f(x)f(y)f\left(x^{y}\right)=f(x)^{f(y)}
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові тести на IMOTST-2007-021

Дотик зовнівписаного кола й ортогональні проєкції

У трикутнику ABCA B C нехай JJ — центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони BCB C у точці A1A_{1} та до продовжень сторін ACA C і ABA B у точках B1B_{1} і C1C_{1} відповідно. Пряма A1B1A_{1} B_{1} перетинає пряму ABA B під прямим кутом у точці DD. Нехай EE — проєкція точки C1C_{1} на пряму DJD J. Визначте величини кутів ∠BEA1\angle B E A_{1} і ∠AEB1\angle A E B_{1}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2007-001

Мінімізація сум відстаней у правильному шестикутнику

Нехай на площині задано правильний шестикутник. Для кожної точки PP площини позначимо через l(P)l(P) суму шести відстаней від PP до прямих, на яких лежать сторони шестикутника, а через v(P)v(P) — суму шести відстаней від PP до вершин шестикутника. a. Для яких точок PP площини l(P)l(P) є мінімальною? b. Для яких точок PP площини v(P)v(P) є мінімальною?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2007-006

Сьома цифра вісімкового запису

Двійковий запис числа aa — 11100001001110101011101000011110000100111010101110100001. Яка сьома цифра зліва у вісімковому записі числа aa? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6.
10–11 класиСистеми числення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.