Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-092

Довжина CG при куті 60° і FG = 4

У трикутнику ABCABC маємо ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ. Нехай ω\omega — коло, дотичне до відрізка ABAB у точці DD і до відрізка ACAC у точці EE. Припустімо, що ω\omega перетинає відрізок BCBC у точках FF і GG так, що точка FF лежить між BB і GG. Відомо, що AD=FG=4AD = FG = 4 і BF=12BF = \frac{1}{2}. Знайдіть довжину відрізка CGCG.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-127

Кут між радіусами в описаному колі трикутника

У трикутнику ABCABC, ∠A=45∘\angle A = 45^{\circ}, а MM — середина сторони BC‾\overline{BC}. Пряма AM‾\overline{AM} перетинає описане коло трикутника ABCABC вдруге в точці DD, причому AM=2MDAM = 2MD. Знайдіть cos⁡∠AOD\cos \angle AOD, де OO — центр описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-094

Діаметр за відрізками паралельної дотичної

Точки AA, BB, CC лежать на колі ω\omega так, що BCBC — діаметр. Відрізок ABAB продовжено за BB до точки B′B', а відрізок ACAC продовжено за CC до точки C′C' так, що пряма B′C′B'C' паралельна BCBC і дотикається до кола ω\omega в точці DD. Якщо B′D=4B'D = 4 і C′D=6C'D = 6, обчисліть довжину відрізка BCBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-128

Чотирикутник з прямими кутами і можливі довжини відрізка DF

Нехай ABCDABCD — чотирикутник такий, що ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}, а BC=7BC = 7. Нехай EE і FF — точки на відрізку BDBD такі, що AEAE і CFCF перпендикулярні до BDBD. Припустимо, що BE=3BE = 3. Знайдіть добуток найменшої та найбільшої можливих довжин відрізка DFDF.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-095

Інцентр як середина відрізка на описаному колі

Нехай трикутник ABCABC задовольняє 2BC=AB+AC2 BC = AB + AC і має інцентр II та описане коло ω\omega. Нехай DD — перетин прямої AIAI і кола ω\omega (причому A,DA, D різні). Доведіть, що II — середина відрізка ADAD.
10–11 класиТеорема про тризуб3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-129

Тупокутний трикутник з умовою на центр описаного кола

Нехай ABCABC — тупокутний трикутник з центром описаного кола OO такий, що ∠ABC=15∘\angle ABC = 15^{\circ} і ∠BAC>90∘\angle BAC > 90^{\circ}. Припустимо, що AOAO перетинає BCBC у точці DD і що OD2+OC⋅DC=OC2OD^{2} + OC \cdot DC = OC^{2}. Знайдіть ∠C\angle C.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-096

Хорда вписаного кола рівностороннього трикутника

У рівносторонньому трикутнику ABCABC проведено коло ω\omega, яке дотикається до всіх трьох сторін трикутника. З вершини AA проведено пряму до точки DD на відрізку BCBC так, що ADAD перетинає ω\omega в точках EE і FF. Якщо EF=4EF = 4 і AB=8AB = 8, знайдіть ∣AE−FD∣|AE - FD|.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-099

Колінеарність із перетину внутрішньо дотичних кіл

Нехай точки AA і BB лежать на колі ω\omega з центром OO. Припустімо, що ωA\omega_{A} і ωB\omega_{B} — кола, які не містять OO та внутрішньо дотикаються до кола ω\omega в точках AA і BB відповідно. Нехай ωA\omega_{A} і ωB\omega_{B} перетинаються в точках CC і DD так, що DD лежить усередині трикутника ABCA B C. Припустімо, що пряма BCB C перетинає ω\omega знову в точці EE, а пряма EAE A перетинає ωA\omega_{A} в точці FF. Якщо FC⊥CDF C \perp C D, доведіть, що точки O,CO, C і DD лежать на одній прямій.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-132

Відбиття і дотичні в колі

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Нехай бісектриса кута AA перетинає ω\omega в точці DD, а BCBC — в точці EE. Нехай відображеннями точки AA відносно DD і CC є D′D' і C′C' відповідно. Припустимо, що ∠A=60∘\angle A = 60^\circ, AB=3AB = 3 і AE=4AE = 4. Якщо дотична до кола ω\omega в точці AA перетинає пряму BCBC в точці PP, а описане коло трикутника APD′APD' перетинає пряму BCBC в точці FF (відмінній від PP), обчисліть довжину відрізка FC′FC'.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-041

Радіуси описаних кіл у рівнобічній трапеції

Рівнобічна трапеція ABCDABCD з основами ABAB і CDCD, у якої AB=13AB = 13, CD=17CD = 17, а висота дорівнює 33. Нехай EE — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD. Кола Ω\Omega і ω\omega описані навколо трикутників ABEABE і CDECDE. Обчисліть суму радіусів кіл Ω\Omega і ω\omega.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-065

Прямокутник у колі з перпендикулярними хордами

Хорди AB‾\overline{AB} і CD‾\overline{CD} кола ω\omega перетинаються в точці EE так, що AE=8AE=8, BE=2BE=2, CD=10CD=10 і ∠AEC=90∘\angle AEC=90^{\circ}. Нехай RR — прямокутник усередині кола ω\omega зі сторонами, паралельними AB‾\overline{AB} і CD‾\overline{CD}, такий, що жодна внутрішня точка RR не лежить на AB‾\overline{AB}, CD‾\overline{CD} чи на межі кола ω\omega. Знайдіть найбільшу можливу площу прямокутника RR.
10–11 класиМетод координат
Відбіркові тести на IMOTST-2013-003

Хорда-дотична до внутрішнього кола

На площині лежать два концентричні кола з радіусами r1=13r_{1}=13 і r2=8r_{2}=8. Нехай ABAB — діаметр більшого кола, а BCBC — його хорда, яка дотикається до меншого кола в точці DD. Обчисліть довжину відрізка ADAD.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2013-027

Вписаний чотирикутник з інцентром

Нехай ABCDABCD — опуклий вписаний чотирикутник, у якому ∣AD∣=∣BD∣|AD| = |BD|. Його діагоналі AC‾\overline{AC} і BD‾\overline{BD} перетинаються в точці EE. Центр вписаного кола трикутника BCEBCE позначимо через II. Описане коло трикутника BIEBIE перетинає внутрішність відрізка AE‾\overline{AE} в точці NN. Доведіть, що ∣AN∣⋅∣NC∣=∣CD∣⋅∣BN∣|AN| \cdot |NC| = |CD| \cdot |BN|
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2013-011

Чотирикутник із дотичними хордами

Нехай PP — точка перетину діагоналей опуклого чотирикутника ABCDABCD. Нехай XX, YY і ZZ — внутрішні точки відповідно сторін ABAB, BCBC і CDCD такі, що ∣AX∣∣XB∣=∣BY∣∣YC∣=∣CZ∣∣ZD∣=2\frac{|AX|}{|XB|} = \frac{|BY|}{|YC|} = \frac{|CZ|}{|ZD|} = 2 Припустімо додатково, що XYXY дотикається до описаного кола △CYZ\triangle CYZ і що YZYZ дотикається до описаного кола △BXY\triangle BXY. Доведіть, що ∠APD=∠XYZ\angle APD = \angle XYZ.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2013-038

Лінія центрів, паралельна прямій через середини дуг

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, у якому AC=BDAC = BD. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Нехай ω1\omega_1 і O1O_1 — відповідно описане коло й центр описаного кола трикутника ABPABP. Нехай ω2\omega_2 і O2O_2 — відповідно описане коло й центр описаного кола трикутника CDPCDP. Відрізок BCBC перетинає ω1\omega_1 і ω2\omega_2 знову в точках SS і TT (відмінних від BB і CC) відповідно. Нехай MM і NN — середини менших дуг SP^\widehat{SP} (що не містить BB) і TP^\widehat{TP} (що не містить CC). Доведіть, що MN∥O1O2MN \parallel O_1O_2.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2013-013

Рівні кути з перетину кіл

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, у якого ∠BCA=90∘\angle BCA = 90^\circ, а DD — основа висоти, проведеної з CC. Нехай XX — точка всередині відрізка CDCD. Нехай KK — точка на відрізку AXAX така, що BK=BCBK = BC. Аналогічно, нехай LL — точка на відрізку BXBX така, що AL=ACAL = AC. Описане коло трикутника DKLDKL перетинає відрізок ABAB у другій точці TT (іншій, ніж DD). Доведіть, що ∠ACT=∠BCT\angle ACT = \angle BCT.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2013-031

Рівні відрізки від середини сторони гострокутного трикутника

У гострокутному трикутнику основи висот, проведених з вершин AA і BB, — це DD і EE відповідно. Нехай MM — середина сторони ABAB. Пряма CMCM перетинає описане коло трикутника CDECDE вдруге в точці PP, а описане коло трикутника CABCAB вдруге — у точці QQ. Доведіть, що ∣MP∣=∣MQ∣.|MP| = |MQ|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2013-032

Чи є вписаний чотирикутник ACPQ квадратом

Нехай DD — відмінна від BB точка на гіпотенузі ABAB прямокутного трикутника ABCABC така, що ∣CB∣=∣CD∣|CB| = |CD|. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ACDACD. Промені ODOD і CBCB перетинаються в точці PP, а пряма, що проходить через точку OO перпендикулярно до сторони ABAB, і промінь CDCD перетинаються в точці QQ. Точки AA, CC, PP, QQ лежать на одному колі. Чи випливає з цього, що ACPQACPQ — квадрат?
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2013-040

Конкурентність через середини сторін і основи висот

У різносторонньому трикутнику ABCABC нехай A1A_1, B1B_1, C1C_1 — основи перпендикулярів, опущених з AA на BCBC, з BB на CACA і з CC на ABAB відповідно. Позначимо через A2A_2 точку перетину прямих BCBC і B1C1B_1C_1. Аналогічно визначимо B2B_2 і C2C_2. Нехай DD, EE, FF — середини сторін BCBC, CACA, ABAB відповідно. Доведіть, що перпендикуляри, опущені з DD на пряму AA2AA_2, з EE на пряму BB2BB_2 і з FF на пряму CC2CC_2, перетинаються в одній точці.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2013-020

Центри вписаних кіл і перпендикулярність

В уписаному шестикутнику ABCDEFA B C D E F виконується AB⊥BDA B \perp B D та ∣BC∣=∣EF∣|B C|=|E F|. Позначимо через PP точку перетину прямих BCB C і ADA D, а через QQ — точку перетину прямих EFE F і ADA D. Припустимо, що PP і QQ лежать з того боку від DD, де не лежить AA. Нехай SS — середина відрізка ADA D. Нехай KK і LL — центри вписаних кіл відповідно трикутників △BPS\triangle B P S і EQSE Q S. Доведіть, що ∠KDL=90∘\angle K D L=90^{\circ}.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Відбіркові тести на IMOTST-2013-021

Конкурентність прямих у трикутнику з колами на діаметрах

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Коло ω1\omega_1 з діаметром ACAC перетинає сторону BCBC у точці FF (відмінній від CC). Коло ω2\omega_2 з діаметром BCBC перетинає сторону ACAC у точці EE (відмінній від CC). Промінь AFAF перетинає ω2\omega_2 у точках KK і MM, причому AK<AMAK < AM. Промінь BEBE перетинає ω1\omega_1 у точках LL і NN, причому BL<BNBL < BN. Доведіть, що прямі ABAB, MLML, NKNK перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Італійська математична олімпіадаITAMO-2013-002

Точки дотику вписаних кіл на медіані трикутника

У трикутнику ABCABC припустимо, що a>ba > b, де a=BCa = BC і b=ACb = AC. Нехай MM — середина сторони ABAB, а α\alpha і β\beta — вписані кола відповідно трикутників ACMACM і BCMBCM. Нехай далі A′A^{\prime} і B′B^{\prime} — точки дотику кіл α\alpha і β\beta з відрізком CMCM. Доведіть, що A′B′=a−b2A^{\prime}B^{\prime} = \frac{a-b}{2}.
10–11 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-005

П'ятикутник, утворений перетином хорд

На колі радіуса 11 в указаному порядку розміщено точки A1A_1, A2A_2, A3A_3, A4A_4, A5A_5, які задовольняють умову ∠A5A2A4=∠A1A3A5=∠A2A4A1=∠A3A5A2=30∘.\angle A_5A_2A_4 = \angle A_1A_3A_5 = \angle A_2A_4A_1 = \angle A_3A_5A_2 = 30^{\circ}. Нехай B1B_1, B2B_2, B3B_3, B4B_4, B5B_5 — точки перетину відрізків A2A4A_2A_4 і A3A5A_3A_5, A3A5A_3A_5 і A4A1A_4A_1, A4A1A_4A_1 і A5A2A_5A_2, A5A2A_5A_2 і A1A3A_1A_3, A1A3A_1A_3 і A2A4A_2A_4 відповідно. Знайдіть площу п'ятикутника B1B2B3B4B5B_1B_2B_3B_4B_5.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-016

Рівні кути від основи до спільної хорди кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай HH — його ортоцентр. Припустімо, що коло, яке проходить через точки BB, CC, і коло, що має відрізок AHAH своїм діаметром, перетинаються у двох різних точках XX і YY. Нехай DD — основа перпендикуляра, проведеного з AA до прямої BCBC, а KK — основа перпендикуляра, проведеного з DD до прямої XYXY. Доведіть, що виконується рівність ∠BKD=∠CKD\angle BKD = \angle CKD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2013-012

Дотичні в точках перетину кіл і відношення радіусів

Два кола O1O_1 і O2O_2 перетинаються у двох різних точках PP і QQ. Дотична до кола O1O_1 в точці PP перетинає коло O2O_2 в точці RR, відмінній від PP, а дотична до кола O2O_2 в точці QQ перетинає коло O1O_1 в точці SS, відмінній від QQ. Нехай XX — точка перетину двох прямих PRPR і QSQS. Якщо XR=9XR = 9 і XS=2XS = 2, чому дорівнює відношення r1r2\frac{r_1}{r_2}, де r1r_1 і r2r_2 — радіуси кіл O1,O2O_1, O_2 відповідно? Тут через YZYZ позначено довжину відрізка YZYZ.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.