Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

21 566 задач
Інші змаганняMISC-0000-146

Поділ монет між піратами

П'ять піратів знайшли скриню зі скарбом, повну золотих монет, і поділили їх між собою. Відомо, що: - те, що отримав перший пірат, дорівнює половині того, що разом отримали інші четверо. - те, що отримав другий пірат, дорівнює третині того, що разом отримали інші четверо. - те, що отримав третій пірат, дорівнює чверті того, що разом отримали інші четверо. - те, що отримав четвертий пірат, дорівнює п'ятій частині того, що разом отримали інші четверо. Якщо п'ятий пірат отримав 90 монет, скажіть, скільки монет було в скрині до поділу.
8–9 класиЛінійні рівняння та системи
Інші змаганняMISC-0000-147

Трикутник з однаковим часом обходу

Три автомобілі вирушають з міста AA одночасно і проїжджають замкнений шлях, що складається з трьох прямолінійних відрізків ABAB, BCBC і CACA. Швидкості першого автомобіля на цих відрізках становлять 12, 10 і 15 кілометрів за годину відповідно. Швидкості другого автомобіля становлять 15, 15 і 10 кілометрів за годину відповідно. Нарешті, швидкості третього автомобіля становлять 10, 20 і 12 кілометрів за годину відповідно. Знайдіть величину кута ∠ABC\angle ABC, знаючи, що всі три автомобілі фінішують у місті AA одночасно.
8–9 класиЛінійні рівняння та системи
Інші змаганняMISC-0000-187

Добуток чисел від 1 до 21 як повний квадрат

Карла написала на дошці цілі числа від 11 до 2121. Діана хоче стерти деякі з них так, щоб добуток чисел, що залишилися, був повним квадратом. a) Покажіть, що Діана обов’язково має стерти числа 1111, 1313, 1717 і 1919, щоб досягти своєї мети. b) Яку найменшу кількість чисел має стерти Діана, щоб досягти своєї мети?
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Інші змаганняMISC-0000-148

Прямокутний трикутник з квадратами та добуток площ

На рисунку нижче трикутник ABCA B C прямокутний із прямим кутом при вершині CC, а BCDEB C D E і CAFGC A F G — квадрати. Якщо добуток площ трикутників EABE A B і BFAB F A дорівнює 6464, знайдіть площу трикутника ABCA B C.
8–9 класиПлоща трикутника
Інші змаганняMISC-0000-149

Чотирицифрові числа зі збалансованою сумою цифр

Чотирицифрове число abcda b c d називається збалансованим, якщо a+b=c+da+b=c+d Обчисліть такі кількості: а) Скільки чисел abcda b c d таких, що a+b=c+d=8a+b=c+d=8? б) Скільки чисел abcda b c d таких, що a+b=c+d=16a+b=c+d=16? в) Скільки існує збалансованих чисел?
8–9 класиПравила суму та добутку
Інші змаганняMISC-0000-188

Скількома способами поділити решту з десяти іграшок

Санта-Клаус прийшов до дому Арналдо і Берналдо, принісши десять різних іграшок, пронумерованих від 1 до 10, і сказав їм: «іграшка номер 1 — для тебе, Арналдо, а іграшка номер 2 — для тебе, Берналдо. Але цього року ви можете залишити собі й інші іграшки, якщо залишите принаймні одну для мене». Скажіть, скількома способами Арналдо і Берналдо можуть поділити між собою решту іграшок.
10–11 класиПравила суму та добутку
Інші змаганняMISC-0000-150

Кінцеве переміщення спіральної прогулянки

Флорінда пішла на прогулянку. Вона вийшла з точки AA і пройшла 1 м1~\text{м}. У цій точці вона повернула ліворуч на кут 90∘90^\circ і пройшла 2 м2~\text{м}. В останній точці вона повернула ліворуч і пройшла 3 м3~\text{м}. Вона продовжувала йти так, доки на останньому відрізку вона не пройшла 30 м30~\text{м} і не дійшла до своєї кінцевої точки, яку назвемо точкою BB. На малюнку нижче зображено перші сім відрізків прогулянки Флорінди (зауважте, що точка BB не зображена). Обчисліть відстань між точками AA і BB.
8–9 класиМетод координат
Інші змаганняMISC-0000-151

Порівняння стратегій забігу зі змінною швидкістю

Арнальдо, Брауліо і Карлос візьмуть участь у вуличному забігу. Після кількох тижнів вони обговорювали свої стратегії. Арнальдо біжить першу половину загальної дистанції забігу зі швидкістю 9 км/год9~\text{км}/\text{год}, а другу половину — зі швидкістю 11 км/год11~\text{км}/\text{год}. Брауліо біжить третину дистанції зі швидкістю 9 км/год9~\text{км}/\text{год}, другу третину — зі швидкістю 10 км/год10~\text{км}/\text{год} і, нарешті, останню третину — зі швидкістю 11 км/год11~\text{км}/\text{год}. Карлос використовує стратегію, відмінну від двох перших: він біжить половину свого загального часу бігу зі швидкістю 9 км/год9~\text{км}/\text{год}, а останню половину часу — зі швидкістю 11 км/год11~\text{км}/\text{год}. Упорядкуйте за величиною загальний час забігу Арнальдо, Брауліо і Карлоса.
8–9 класиЛінійні рівняння та системи
Інші змаганняMISC-0000-088

Серія з восьми ігор із подвоєнням очок

Деніза й Антоніу грають серію з 8 ігор, у якій переможець першої гри отримує 1 очко, другої — 2 очки, третьої — 4 очки, четвертої — 8 очок і так далі, подвоюючи кількість очок від однієї гри до наступної. Наприкінці Деніза набрала на 31 очко більше, ніж Антоніу, і жодна з ігор не закінчилася внічию. Які ігри виграла Деніза?
8–11 класиСистеми числення
Інші змаганняMISC-0000-084

Розбиття квадрата на сім менших квадратів

Чи вмієте ви розрізати квадрат на 7 менших квадратів?
6–9 класиРозрізання, покриття та замощення
Інші змаганняMISC-0000-152

Попарні НСД і добуток трьох чисел

Павліньйо вивчав у школі найбільший спільний дільник (НСД) і вирішив потренуватися вдома. Він позначив через a,ba, b і cc вік трьох людей, які живуть разом з ним. Потім він виконав деякі дії з їхніми простими множниками й отримав найбільші спільні дільники трьох пар чисел. Через кілька днів він забув вік a,ba, b і cc, але знайшов записані такі результати: a⋅b⋅c=24⋅32⋅53НСД(a,b)=15НСД(a,c)=5НСД(b,c)=20\begin{aligned} a \cdot b \cdot c & =2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{3} \\ \text{НСД}(a, b) & =15 \\ \text{НСД}(a, c) & =5 \\ \text{НСД}(b, c) & =20 \end{aligned} Допоможіть Павліньйо визначити значення a,ba, b і cc.
8–9 класиНСД та НСК
Інші змаганняMISC-0000-153

Сума всіх трицифрових чисел

Однієї ночі Вандерсону наснилися два трицифрові числа: abc і def,a b c \text{ і } d e f, такі, що сума abc+def+abcdefa b c + d e f + a b c d e f збігалася із сумою всіх трицифрових чисел. Зауважимо, що abca b c — це не добуток цифр a,ba, b і cc, а трицифрове число з цифр a,ba, b і cc. Те саме стосується інших чисел. а) Обчисліть суму всіх трицифрових чисел. б) Доведіть, що сон Вандерсона — це неможливий сон.
8–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Інші змаганняMISC-0000-189

Поділ монет з умовами на остачі

Піратський закон встановлює, що для поділу монет зі скарбу капітан повинен вибрати групу піратів (не враховуючи себе). Далі капітан повинен роздати кожному з піратів цієї групи однакову кількість монет так, щоб було неможливо дати кожному з них жодної іншої з монет, що залишилися (з огляду на те, що кожен пірат отримує однакову кількість). Решту монет віддають капітану. На кораблі капітана Барбарохи є 100 піратів (не враховуючи капітана). Барбароха повинен поділити скарб, який містить менше ніж 1000 монет. Якщо він вибере 99 піратів, він залишить собі 51 монету, але якщо вибере 77 піратів, він залишить собі 29 монет. a) Скільки монет містить скарб? b) Скількох піратів повинен вибрати Барбароха, щоб залишити собі найбільшу можливу кількість монет?
10–11 класиНСД та НСК
Інші змаганняMISC-0000-085

Процес зміни кольору хамелеонів

На таємничому острові було 13 сірих хамелеонів, 15 коричневих хамелеонів і 17 червоних хамелеонів. Коли два хамелеони різних кольорів зустрічаються, обидва набувають третього кольору. Наприклад, якщо сірий зустрічається з червоним, то обидва стають коричневими. Через бурю відбулися 2 зустрічі сірий-червоний, 3 зустрічі коричневий-червоний і ще 1 зустріч сірий-червоний. Скільки хамелеонів кожного кольору залишилося на острові?
6–11 класиІнші інваріанти
Інші змаганняMISC-0000-154

Сума простих чисел до 1000

Чому щонайбільше дорівнює сума простих чисел від 1 до 1000? Багато років тому вчитель, який не хотів проводити урок, наказав своїм учням обчислити суму чисел від 1 до 100. Дуже кмітливий учень на ім'я Гаусс знайшов дуже простий спосіб виконати завдання, відкривши формулу: 1+2+3+…+n=n(n+1)21+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} Оскільки ця історія давня, сьогодні учням дають складніші завдання. a. Перевірте, що кожне просте число, більше за 3, дає остачу 1 або 5 при діленні на 6. b. Перевірте, що сума простих чисел, більших за 1 і менших за 1000, менша за 166338. c. В оцінці вище, щоб мати менше технічних складнощів, ми не вилучили деякі числа, які точно не є простими. Вилучіть деякі з цих чисел і перевірте, що сума простих чисел, більших за 1 і менших за 1000, менша за 166000.
8–9 класиПрості числа (базові властивості)
Інші змаганняMISC-0000-155

Рівносторонні та різносторонні трикутники у дванадцятикутнику

На рисунку зображено правильний дванадцятикутник. Дайте відповідь на такі запитання: а) Скільки рівносторонніх трикутників можна утворити так, щоб усі три їхні вершини були вершинами дванадцятикутника? б) Скільки різносторонніх трикутників можна утворити так, щоб усі три їхні вершини були вершинами дванадцятикутника?
8–9 класиКомбінації
Інші змаганняMISC-0000-190

Рівносторонні трикутники в кубі

На рисунку зображено куб. Обчисліть кількість рівносторонніх трикутників, які можна утворити так, щоб усі три їхні вершини були вершинами куба.
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Інші змаганняMISC-0000-156

Частки та остачі при діленні на дільники числа

Юлія готується до математичних олімпіад. Одного дня вона вирішує поділити 20142014 на кожен з натуральних дільників числа 20152015. Для кожного ділення вона записує частку в зошит, а остачу — на дошку. a. Допоможімо Юлії. Запишіть вісім натуральних дільників числа 20152015. b. Для кожного з дільників виконайте ділення та запишіть список отриманих часток і список отриманих остач. c. Закінчивши, Юлія помітила великий «збіг»: числа, записані в зошиті, збігалися з числами на дошці, лише були записані в іншому порядку. Чи це збіг? Покажіть, що для будь-якого числа nn, яке обере Юлія, якщо вона обчислить частку й остачу від ділення n−1n-1 на кожен з дільників числа nn, то числа в зошиті й на дошці будуть точно однаковими, хіба що, можливо, записаними в іншому порядку.
8–9 класиАрифметика остач (базові властиво…
Інші змаганняMISC-0000-157

Периметр шестикутника з серединами сторін

Розгляньмо правильний шестикутник ABCDEFABCDEF зі стороною 44, де точки PP і QQ — середини сторін BC‾\overline{BC} і DE‾\overline{DE} відповідно. Обчисліть периметр шестикутника ABPQEFABPQEF.
8–9 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Інші змаганняMISC-0000-090

Циклічна динаміка популяцій хижак — жертва

У пустелі живуть змії, щури та скорпіони. Щоранку кожна змія вбиває одного щура. Щодня опівдні кожен скорпіон вбиває одну змію. Щоночі кожен щур вбиває одного скорпіона. Наприкінці тижня, увечері, залишився лише один щур. Скільки щурів було вранці на початку тижня?
10–11 класиРетроспективний алгоритм
Інші змаганняMISC-0000-078

Збалансовані чотирицифрові числа

Додатне ціле число називається «збалансованим», якщо воно має чотири цифри, і одна з цих цифр дорівнює середньому арифметичному інших трьох. Наприклад: число 26312631 є збалансованим, оскільки 33 є середнім арифметичним чисел 2,62, 6 і 11; 44444444 також є збалансованим, оскільки 44 є середнім арифметичним чисел 4,44, 4 і 44. a) Знайдіть три найменші збалансовані числа. b) Скільки існує збалансованих чисел, менших за 20142014?
8–9 класиРозбиття на випадки
Інші змаганняMISC-0000-158

Розбиття послідовних чисел на множини з рівними сумами

Елементи множини {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\} можна розбити на множини {3,9,10,11}\{3,9,10,11\} і {1,2,4,5,6,7,8}\{1,2,4,5,6,7,8\} так, що сума елементів кожної з них дорівнює 33. a. Наведіть спосіб розбиття елементів множини {1,2,3,4,5,6,7,8}\{1,2,3,4,5,6,7,8\} на три множини так, щоб суми елементів кожної множини були однаковими. b. Поясніть, чому числа множини {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} не можна розбити на дві множини з однаковою сумою. c. Для кожного натурального n≥2n \geq 2 знайдіть найменше натуральне NN таке, що множину {1,2,…,N}\{1,2, \ldots, N\} можна розбити на рівно nn множин з однаковою сумою.
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Інші змаганняMISC-0000-191

Цілі числа з переставленими квадратичними виразами

Нехай aa і bb — натуральні числа такі, що a>ba > b. Професор Фернандо сказав учневі Раулю, що якщо він обчислить число A=a2+4b+1A = a^{2} + 4b + 1, то результат буде повним квадратом. Рауль помилково поміняв місцями числа aa і bb й обчислив число B=b2+4a+1B = b^{2} + 4a + 1, яке, за збігом обставин, також є повним квадратом. a) Доведіть, що A=(a+1)2A = (a+1)^{2}. b) Знайдіть числа aa, bb, AA і BB.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Інші змаганняMISC-0000-159

Обміни кольорів у вершинах п'ятикутника

Жоау має ґудзики трьох кольорів: синього, білого і сірого. Синій ґудзик позначатимемо через AA, білий ґудзик — через BB, а сірий ґудзик — через CC. Він розміщує п'ять ґудзиків у вершинах правильного п'ятикутника за годинниковою стрілкою: A,C,B,CA, C, B, C і BB, як на малюнку нижче. Він знає, що може робити деякі обміни ґудзиків, дотримуючись певного правила. Вибираючи ґудзик, він може обміняти його на ґудзик іншого кольору за умови, що не виявиться двох ґудзиків однакового кольору в сусідніх вершинах. Щоб не міняти ґудзики без мети, він ставить за мету отримати кольори A,B,C,BA, B, C, B і CC за годинниковою стрілкою. Після багатьох обмінів Жоау не зміг дійти до бажаної кінцевої ситуації. Тоді він вирішив попросити допомоги у свого вчителя Піралду. Вчитель стверджує, що перейти від початкової конфігурації до бажаної кінцевої конфігурації неможливо. Щоб це довести, вчитель Піралду взяв кілька карток із числами 1,−11,-1 і 0. Далі він сказав Жоау покласти на кожну сторону п'ятикутника картку за таким правилом: i) Дивлячись за годинниковою стрілкою, якщо у вершинах будуть BB і AA або будуть AA і CC, покладіть картку з числом 1. ii) Також дивлячись за годинниковою стрілкою, якщо у вершинах будуть AA і BB або будуть CC і AA, покладіть картку з числом -1. iii) В інших випадках покладіть картку 0. Щоразу, коли робитимете обмін, змінюйте картки за цими вказівками. Після пояснення вчитель Піралду сказав, що, проаналізувавши поведінку карток, Жоау тепер зможе зрозуміти, чому досягти початкової мети неможливо. a) Роблячи всі можливі обміни ґудзиків, з AA на BB, з BB на CC чи з CC на AA і зворотні обміни, що відбувається із сумою карток, покладених на сторони за вказівками вчителя Піралду? b) Яка сума карток у початковій ситуації та в бажаній кінцевій ситуації? Зробіть висновок, що перейти від початкової конфігурації до бажаної кінцевої ситуації неможливо.
8–9 класиІнші інваріанти
Інші змаганняMISC-0000-160

Розбиття множини на ієрархічні підмножини

Розглянемо множину A={1,2,3,4,…,n}A=\{1,2,3,4, \ldots, n\}. Підмножина множини AA називається ієрархічною, якщо вона задовольняє такі дві властивості: - Підмножина містить більше одного числа. - Є число в підмножині, яке збігається із сумою інших чисел підмножини. Потрібно розбити множину AA на ієрархічні підмножини. a) Для n=13n=13 покажіть, що таке розбиття неможливе. b) Для n=12n=12 покажіть, що таке розбиття можливе.
8–9 класиПарність та непарність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.