Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-022

Відстані між перетинами концентричних кіл

Для кожного натурального числа nn є коло з центром у початку координат радіуса nn. Рейнбоу Деш стартує десь на площині, але не на колі. Вона рушає в деякому напрямку прямолінійним шляхом. Вона проходить 55\frac{\sqrt{5}}{5} одиниць, перш ніж перетнути коло, потім 5\sqrt{5} одиниць, потім 355\frac{3 \sqrt{5}}{5} одиниць. Яку відстань вона пройде, перш ніж перетне наступне коло?
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Відбіркові тести на IMOTST-2012-002

Нерухома точка на описаному колі

У гострокутному трикутнику ABCABC виконуються нерівності ∠A<∠B\angle A < \angle B і ∠A<∠C\angle A < \angle C. Нехай PP — змінна точка на стороні BCBC. Точки DD і EE лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно так, що BP=PDBP = PD і CP=PECP = PE. Доведіть, що коли PP рухається вздовж сторони BCBC, описане коло трикутника ADEADE проходить через нерухому точку, відмінну від AA.
10–11 класиОписане коло2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-009

Бісектриса кута в рівнобедреному трикутнику

Нехай Γ\Gamma — описане коло рівнобедреного при CC трикутника ABCA B C. У внутрішності сторони BC‾\overline{B C} лежить точка MM. Нехай NN — точка на промені AMA M, для якої MM лежить між AA і NN і яка задовольняє ∣AN∣=∣AC∣|A N|=|A C|. Описане коло трикутника CMNC M N перетинає Γ\Gamma у двох різних точках CC і PP. Прямі ABA B і CPC P перетинаються в точці QQ. Доведіть, що ∡BMQ=∡QMN\measuredangle B M Q=\measuredangle Q M N.
10–11 класиТочка перетину бісектрис
Відбіркові тести на IMOTST-2012-007

Коло з центром на BC через точку O

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай kk — коло з такими властивостями: (1) Центр KK кола kk лежить у внутрішності сторони BCBC. (2) Коло kk дотикається до сторони ABAB в точці B′B' і до сторони ACAC в точці C′C'. (3) OO лежить на меншій з двох дуг B′C′B'C' кола kk. Доведіть, що описане коло трикутника ABCABC і коло kk перетинаються у двох різних точках.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2012-010

Вписані точки з паралельної побудови

Нехай ABCABC — трикутник, а XX — точка всередині трикутника. Прямі XAXA, XBXB і XCXC перетинають описане коло трикутника △ABC\triangle ABC вдруге відповідно в точках P,QP, Q і RR. Нехай UU — точка на промені XPXP (тобто на прямій XPXP така, що PP і UU лежать з одного боку від XX). Пряма через UU, паралельна до ABAB, перетинає BQBQ в точці VV. Пряма через UU, паралельна до ACAC, перетинає CRCR в точці WW. Доведіть, що точки Q,R,VQ, R, V і WW лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2012-035

Дотичні до кіл і відношення дуг

Два кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинаються в точках AA і BB. Пряма ll дотикається до кола ω1\omega_1 у точці PP і до кола ω2\omega_2 у точці QQ, причому точка AA лежить ближче до прямої ll, ніж точка BB. Нехай XX і YY — точки на великих дугах PA^\widehat{PA} (на колі ω1\omega_1) і AQ^\widehat{AQ} (на колі ω2\omega_2) відповідно, такі, що AX/PX=AY/QY=cAX/PX = AY/QY = c. Відрізки PAPA і QAQA продовжено за точку AA до точок RR і SS відповідно так, що AR=AS=c⋅PQAR = AS = c \cdot PQ. Відомо, що центр описаного кола трикутника ARSARS лежить на прямій XYXY. Доведіть, що ∠XPA=∠AQY\angle XPA = \angle AQY.
10–11 класиПоворотна гомотетія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-013

Вписаний чотирикутник і середина діагоналі

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник з описаним колом kk. Нехай SS — точка перетину прямих ABAB і CDCD, а TT — точка перетину дотичних до кола kk в точках AA і CC. Доведіть, що ADTSADTS є вписаним чотирикутником тоді й лише тоді, коли BDBD ділить відрізок ACAC навпіл.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Відбіркові тести на IMOTST-2012-020

Чевіани через одну точку і прямий кут

Дано трикутник ABCA B C. Бісектриса кута ∠CAB\angle C A B перетинає BCB C в точці LL. На сторонах ACA C і ABA B лежать відповідно внутрішні точки MM і NN такі, що ALA L, BMB M і CNC N проходять через одну точку і ∠AMN=∠ALB\angle A M N=\angle A L B. Доведіть, що ∠NML=90∘\angle N M L=90^{\circ}.
10–11 класиТеорема Чеви
Відбіркові тести на IMOTST-2012-018

Точка перетину кола з відрізком на бісектрисі

У трикутнику ABCABC нехай ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^{\circ}. Нехай EE — точка на прямій ABAB, така, що BB лежить між AA і EE і виконується BE=BCBE = BC. Аналогічно нехай FF — точка на прямій ACAC, така, що CC лежить між AA і FF і виконується CF=BCCF = BC. Описане коло трикутника ACEACE перетинає EFEF у точці KK. Доведіть, що KK лежить на бісектрисі кута ∠BAC\angle BAC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2012-037

Перпендикулярність через середини сторін і ортоцентр

Гострокутний трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Нехай HH і OO — його ортоцентр і центр описаного кола відповідно. Нехай MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC відповідно. Промені MHMH і NHNH перетинають ω\omega у точках PP і QQ відповідно. Прямі MNMN і PQPQ перетинаються в точці RR. Доведіть, що OA⊥RAOA \perp RA.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові тести на IMOTST-2012-025

Перпендикулярність у вписаному чотирикутнику

У вписаному чотирикутнику ABCDABCD діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Нехай EE і FF — основи перпендикулярів, опущених з точки PP на прямі ABAB і CDCD відповідно. Відрізки BFBF і CECE перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі PQPQ і EFEF перпендикулярні.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-032

Центр вписаного кола і перпендикулярність до діаметра

Нехай II — центр вписаного кола, а ADAD — діаметр описаного кола трикутника ABCABC. Нехай EE і FF — точки на променях BABA і CACA такі, що BE=CF=AB+BC+CA2BE = CF = \frac{AB + BC + CA}{2} Доведіть, що прямі EFEF і DIDI перетинаються під прямим кутом.
10–11 класиВписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-016

Відстань до точки, рівновіддаленої від вершин трикутника

Аліса, Берто і Карло мають закопати скарб і вирішують закопати його в точці, рівновіддаленій від усіх трьох. Відомо, що вони знаходяться у вершинах прямокутного трикутника з кутом 30∘30^{\circ} і периметром 6 м6~\text{м}. Якою буде відстань скарбу від кожного з них? (A) 1 м1~\text{м} (B) 32 м\frac{3}{2}~\text{м} (C) 2 м2~\text{м} (D) 3−3 м3-\sqrt{3}~\text{м} (E) 3 м3~\text{м}.
10–11 класиОписане коло
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-004

Геометричне місце точок із сумою кутів у квадраті

Нехай ABCDABCD — квадрат. Опишіть геометричне місце точок PP площини, відмінних від A,B,C,DA, B, C, D, для яких APB^+CPD^=180∘.\widehat{APB} + \widehat{CPD} = 180^{\circ} \text{.}
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-029

Рівні кути видимості з перехрестя

Три особи A,B,CA, B, C перебувають поблизу перехрестя двох перпендикулярних доріг. AA перебуває точно на перехресті, тоді як BB і CC перебувають на двох різних дорогах. На полі поблизу перехрестя (всередині прямого кута CA^BC \widehat{A} B) є рекламний щит, який тримається на двох стовпах, вбитих у землю в точках DD і EE, відстань між якими становить рівно один метр. A,BA, B і CC всі бачать лицьовий бік щита. Відомо, що кути DA^E,DB^ED \widehat{A} E, D \widehat{B} E і DC^ED \widehat{C} E мають величину по 30 градусів. Яка відстань (по прямій) між BB і CC? (A) 32 м\frac{3}{2} \text{ м} (B) 1+52 м\frac{1+\sqrt{5}}{2} \text{ м} (C) 3 м\sqrt{3} \text{ м} (D) 2 м2 \text{ м} (E) Неможливо визначити.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-033

Котіння монети навколо трьох дотичних монет

Марія має три червоні монети й одну синю, всі однакового радіуса та з гумовим краєм. Вона кладе на стіл три червоні монети у вершинах рівностороннього трикутника так, щоб вони попарно дотикалися, потім кладе на стіл і синю так, щоб вона дотикалася до однієї з червоних монет. Тепер, тримаючи червоні монети нерухомо, вона котить синю так, щоб та залишалася весь час прилеглою щонайменше до однієї з червоних монет і гумові краї не ковзали. Після повного обходу навколо групи з трьох червоних монет синя монета повертається у вихідну точку; скільки обертів вона зробила навколо себе? (A) 3 (B) 1 (C) π\pi (D) 3π4\frac{3 \pi}{4} (E) 92\frac{9}{2}.
10–11 класиКола, що дотикаються
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-010

Центр описаного кола і подібні трикутники в гострокутному трикутнику

У гострокутному трикутнику ABCABC з AB<ACAB < AC бісектриса, проведена з AA, перетинає сторону BCBC у точці PP. Пряма, що проходить через PP паралельно стороні ABAB, перетинає сторону ACAC у точці QQ; на цій прямій нехай RR — точка, що лежить на промені з початком у QQ, який не містить PP, і така, що QR=QAQR = QA. Позначимо далі через SS ортогональну проєкцію RR на пряму BCBC, а через TT — перетин сторони ACAC з прямою, що проходить через PP і перпендикулярна до APAP. a. Доведіть, що центром описаного кола трикутника APRAPR є QQ; b. Доведіть, що трикутник STCSTC подібний до трикутника APCAPC.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2012-009

Перетин висоти з описаним колом і рівність трикутників

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник; нехай OO — центр його описаного кола, а P,QP, Q — точки (відмінні від AA), в яких відповідно висота, проведена з вершини AA, і продовження відрізка AOAO перетинають описане коло трикутника ABCABC. a. Доведіть, що кути BA^PB\widehat{A}P і QA^CQ\widehat{A}C рівні; b. Доведіть, що трикутники BCPBCP і CBQCBQ рівні; c. Доведіть, що, якщо MM і NN — середини сторін ABAB і ACAC, то площа чотирикутника ABPCABPC у чотири рази більша за площу чотирикутника AMONAMON.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-011

П'ятикутник із квадратом та умовою вписаності

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п'ятикутник, у якому чотирикутник ABCDABCD є квадратом. Якщо ∠AEC+∠BED=180∘\angle AEC + \angle BED = 180^\circ, доведіть, що п'ятикутник ABCDEABCDE вписаний у коло. Тут під опуклим п'ятикутником ми розуміємо п'ятикутник, у якого кожен із внутрішніх кутів менший від 180∘180^\circ.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-014

Трикутник з кутом 30° і кут PMQ

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому ∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ. Виберемо точку XX всередині трикутника ABCABC так, щоб ∠XBC=∠XCB=30∘\angle XBC = \angle XCB = 30^\circ. Також візьмемо точки PP і QQ на прямих BXBX і CXCX відповідно так, щоб виконувалися рівності AP=BPAP = BP і AQ=CQAQ = CQ. Нехай MM — середина відрізка BCBC. Доведіть, що ∠PMQ=90∘\angle PMQ = 90^\circ.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2012-010

Радіуси дотичних кіл у чотирикутнику

Коло XX вписане в чотирикутник PQRSPQRS. Побудовано 4 кола A,B,C,DA, B, C, D, кожне з яких дотикається до 3 із 4 прямих, визначених сторонами чотирикутника, як показано на рисунку нижче. Припустимо, що радіуси кіл A,B,C,XA, B, C, X дорівнюють 22, 11, 44, 33 відповідно. Знайдіть радіус кола DD.
7–9 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-013

Перпендикулярність через симетрії відносно дотичної

Для трикутника ABCABC дотична до його описаного кола в точці AA і пряма BCBC перетинаються в точці PP. Нехай QQ і RR — точки, симетричні точці PP відносно прямих ABAB і ACAC відповідно. Доведіть, що прямі BCBC і QRQR перетинаються перпендикулярно.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-002

Вписаний чотирикутник з кутами дотичних

Нехай точки AA, BB, CC, DD розташовані на колі в цьому порядку, як показано на рисунку нижче. Нехай кут, утворений дотичною до кола в точці BB і прямою ABAB, дорівнює 30∘30^\circ, а кут, утворений дотичною до кола в точці CC і прямою CDCD, дорівнює 10∘10^\circ. Нехай далі прямі ABAB і DCDC паралельні та розташовані по різні боки одна від одної відносно центра кола. Визначте величину кута ∠BDC\angle BDC.
10–11 класиДотична кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-016

Ортоцентр і середина центрів кіл

Трикутники PABPAB і PCDPCD розміщено на площині. Припустимо, що виконуються рівності PA=PBPA = PB, PC=PDPC = PD і що 3 точки PP, AA, CC лежать на одній прямій у цьому порядку, і те саме справджується для 3 точок BB, PP, DD. Припустимо далі, що коло S1S_1, яке проходить через AA, CC, і коло S2S_2, яке проходить через BB, DD, перетинаються у 2 різних точках XX і YY. Доведіть, що ортоцентр трикутника PXYPXY збігається із серединою відрізка, що сполучає центри кіл S1S_1 і S2S_2. Тут для відрізка ZWZW його довжину також позначаємо через ZWZW.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2012-007

Центр описаного кола як середина відрізка

Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Точки DD і EE вибрано на відрізках ABAB і ACAC відповідно так, що середина відрізка DEDE збігається з точкою OO. Якщо AD=8AD = 8, BD=3BD = 3 і AO=7AO = 7, визначте значення CECE. Тут для відрізка XYXY через XYXY також позначаємо його довжину.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.