Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

399 задач
ГеометріяДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-011

Чотирикутник з рівними сторонами і перпендикулярність OI до CD

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD такий, що AB=AC=BDAB = AC = BD. PP — точка перетину його діагоналей, OO та II — центри описаного та вписаного кіл трикутника ABPABP відповідно, причому точки OO та II не співпадають. Доведіть, що OI⊥CDOI \perp CD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Балтійський шляхBW-2024-011

Перпендикулярні діагоналі вписаного чотирикутника та дотична

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник із центром описаного кола OO такий, що відрізок ACAC перпендикулярний до BDBD. Точки XX і YY вибрано на описаному колі трикутника BODBOD так, що ∠AXO=∠CYO=90∘\angle AXO = \angle CYO = 90^\circ. Нехай MM — середина відрізка ACAC. Доведіть, що BDBD дотикається до описаного кола трикутника MXYMXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-019

Конкурентність прямих у трикутнику із серединними перпендикулярами

У гострокутному трикутнику △ABC\triangle ABC з ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC| серединні перпендикуляри до сторін ACAC і ABAB перетинають відрізок BCBC у точках DD і EE відповідно. Дотичні до ⊙(ABC)\odot(ABC) у точках BB і CC перетинають ⊙(ABD)\odot(ABD) і ⊙(ACE)\odot(ACE) у точках YY і ZZ відповідно. Припустимо, що прямі YDYD і ZEZE перетинаються в точці XX. Нехай UU і VV — точки перетину ⊙(DEX)\odot(DEX) з прямими ADAD і AEAE відповідно. Доведіть, що прямі UV,BCUV, BC і XAXA перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-020

Коло через середину бісектриси

У гострокутному трикутнику △ABC\triangle ABC з ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC| бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає сторону BCBC та ⊙(ABC)\odot(ABC) у точках DD і MAM_A відповідно. Нехай точки XX і YY — основи перпендикулярів з MAM_A на сторони ABAB і ACAC відповідно. Дотична до ⊙(BXMA)\odot(BXM_A) у точці XX і дотична до ⊙(CYMA)\odot(CYM_A) у точці YY перетинаються в точці TT. Припустимо, що прямі ATAT і BCBC перетинаються в точці SS. Доведіть, що ⊙(TSMA)\odot(TSM_A) проходить через середину відрізка ADAD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-023

Дотичні та рівнобедрений трикутник на колах

Нехай ω1\omega_1 і ω2\omega_2 — кола без спільних точок. Точки MM і NN вибрано на колах ω1\omega_1 і ω2\omega_2 відповідно так, що дотична до кола ω1\omega_1 у точці MM і дотична до кола ω2\omega_2 у точці NN перетинаються в точці PP, а △PMN\triangle PMN — рівнобедрений трикутник із вершиною PP. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 перетинають відрізок MNMN вдруге в точках AA і BB відповідно. Пряма PAPA перетинає коло ω1\omega_1 вдруге в точці CC, а пряма PBPB перетинає коло ω2\omega_2 вдруге в точці DD. Доведіть, що ∠BCN=∠ADM\angle BCN = \angle ADM.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2023-002

Пряма KL через ортоцентр гострокутного трикутника

Задано гострокутний трикутник ABCABC. Позначимо таку точку DD на його описаному колі, у якому ADAD — діаметр. Припустимо, що точки KK та LL належать відрізкам ABAB та ACAC відповідно, а прямі DKDK та DLDL дотикаються до описаного кола трикутника AKLAKL. Доведіть, що пряма KLKL проходить через ортоцентр трикутника ABCABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2022-005

Бісектриса, перпендикуляр до BC і коло через чотири точки

У трикутнику ABCABC, у якому AB<ACAB < AC, точка OO є центром описаного кола. Бісектриса кутів BACBAC перетинає сторону BCBC в точці DD. Пряма, що проходить через точку DD перпендикулярно до сторони BCBC, перетинає відрізок AOAO в точці XX. Нехай точка YY — це середина відрізка ADAD. Доведіть, що точки BB, CC, XX, YY лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-021

Точка перетину висот, середина EF і точка D

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник. Позначимо через EE і FF основи висот, проведених з BB і CC відповідно. Нехай HH — точка перетину прямих BEBE і CFCF. Нехай точка DD лежить з того самого боку від прямої BCBC, що й AA, і задовольняє умову: ∠DBC=∠DCB=∠BAC.\angle DBC = \angle DCB = \angle BAC. Нехай NN — середина відрізка EFEF. Доведіть, що точки HH, DD і NN лежать на одній прямій. Рисунок 23
10–11 класиКоло і подібність
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2021-004

Рівність сум сторін чотирикутників ADTX і CDYZ

Дано коло Γ\Gamma із центром у точці II. Опуклий чотирикутник ABCDABCD — описаний навколо кола Γ\Gamma. Коло ww — описане навколо трикутника AICAIC. Продовження відрізка BABA за точку AA перетинає коло ww у точці XX, продовження відрізка BCBC за точку CC перетинає коло ww у точці ZZ. Продовження відрізків ADAD і CDCD за точку DD перетинають коло ww у точках YY і TT відповідно. Доведіть, що AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.AD + DT + TX + XA = CD + DY + YZ + ZC.
10–11 класиДотична кола
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2021-002

Вписаний шестикутник з рівними сторонами і поділ діагоналі навпіл

Задано опуклий шестикутник ABCDEFABCDEF, вписаний у коло, у якому BC=EFBC = EF і CD=AFCD = AF. Діагоналі ACAC і BFBF перетинаються в точці QQ, а діагоналі CECE і DFDF — у точці PP. На відрізках DFDF і BFBF відмічено точки RR і SS відповідно так, що FR=PDFR = PD і BQ=FSBQ = FS. Відрізки RQRQ і PSPS перетинаються в точці TT. Доведіть, що пряма TCTC ділить діагональ DBDB навпіл.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-011

Бісектриса кута і дотик до кола

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB>ACAB > AC. Бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає сторону BCBC у точці DD. Кола з діаметрами BDBD і CDCD перетинають описане коло трикутника △ABC\triangle ABC вдруге у точках P≠BP \neq B і Q≠CQ \neq C відповідно. Прямі PQPQ і BCBC перетинаються у точці XX. Доведіть, що пряма AXAX є дотичною до описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-012

Дотична через перетин у вписаному п’ятикутнику

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п’ятикутник, вписаний у коло ω\omega, такий, що CD∥BECD \parallel BE. Пряма, дотична до кола ω\omega у точці BB, перетинає пряму ACAC у точці FF такій, що AA лежить між точками CC і FF. Прямі BDBD і AEAE перетинаються у точці GG. Доведіть, що пряма FGFG дотикається до описаного кола трикутника ADGADG.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-014

Дотична через перетин прямих на півколі

Нехай ω\omega — півколо з діаметром XYXY. Нехай MM — середина відрізка XYXY. Нехай AA — довільна точка на півколі ω\omega така, що AX<AYAX < AY. Нехай BB і CC — точки, що лежать на відрізках XMXM і YMYM відповідно, такі, що BM=CMBM = CM. Пряма через CC, паралельна ABAB, перетинає ω\omega у точці PP. Пряма через BB, паралельна ACAC, перетинає ω\omega у точці QQ. Пряма PQPQ перетинає пряму XYXY у точці SS. Доведіть, що пряма ASAS дотикається до півкола ω\omega.
10–11 класиТеорема Менелая
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2020-015

Бісектриса кута в конфігурації проекції дотичної

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega. Нехай ℓ\ell — дотична до кола ω\omega в точці AA. Нехай XX і YY — проекції BB на прямі ℓ\ell і ACAC відповідно. Нехай HH — ортоцентр трикутника BXYBXY. Нехай пряма CHCH перетинає ℓ\ell в точці DD. Доведіть, що пряма BABA є бісектрисою кута CBDCBD.
10–11 класиДотична кола2 розв’язки
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2020-004

Нерівнобедрений трикутник з бісектрисою та точкою S

У нерівнобедреному трикутнику ABCABC точка II — центр вписаного кола, а CNCN — бісектриса. Пряма CNCN удруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці MM. Пряма l∥ABl \parallel AB і дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC. Точка RR на прямій ll така, що CI⊥IRCI \perp IR. Описане коло трикутника MNRMNR удруге перетинає пряму IRIR у точці SS. Доведіть, що AS=BSAS = BS.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-018

Шестикутник з перпендикулярними діагоналями

Нехай ABCDEFABCDEF — опуклий шестикутник, у якому AB=AFAB = AF, BC=CDBC = CD, DE=EFDE = EF і ∠ABC=∠EFA=90∘\angle ABC = \angle EFA = 90^\circ. Доведіть, що AD⊥CEAD \perp CE.
10–11 класиРадикальна вісь
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-019

Рівносторонній трикутник з вписаного чотирикутника

Нехай XX, YY — точки на сторонах ABAB, ACAC трикутника ABCABC відповідно, такі, що BB, CC, XX, YY лежать на одному колі. Медіана трикутника ABCABC, проведена з AA, перетинає серединний перпендикуляр до відрізка XYXY у точці PP. Знайдіть ∠BAC\angle BAC, якщо трикутник PXYPXY — рівносторонній.
10–11 класиАнтипаралельні прямі
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2019-004

Пряма через точки на сторонах і вписане коло трикутника

Нехай трикутник ABCABC має інцентр у точці II. Коло, що проходить через точку BB та дотикається до прямої AIAI в точці II, перетинає сторону ABAB удруге в точці PP. Коло, що проходить через точку CC та дотикається до прямої AIAI в точці II, перетинає сторону ACAC удруге в точці QQ. Доведіть, що пряма PQPQ є дотичною до вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиДотична кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-005

Дотичні у точках перетину кола з трикутником

Нехай ABCABC — трикутник. Коло Γ\Gamma проходить через AA, перетинає відрізки ABAB і ACAC ще раз у точках DD і EE відповідно та перетинає відрізок BCBC у точках FF і GG так, що FF лежить між BB і GG. Дотична до кола BDFBDF у точці FF і дотична до кола CEGCEG у точці GG перетинаються в точці TT. Припустимо, що точки AA і TT різні. Доведіть, що пряма ATAT паралельна BCBC.
10–11 класиДотична кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-006

Рівні хорди в дотику вписаних кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD, EE і FF — основи висот, проведених з AA, BB і CC на сторони BCBC, CACA і ABAB відповідно. Позначимо через ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} вписані кола трикутників BDFBDF і CDECDE, і нехай ці кола дотикаються до відрізків DFDF і DEDE в точках MM і NN відповідно. Нехай пряма MNMN перетинає кола ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} вдруге в точках P≠MP \neq M і Q≠NQ \neq N відповідно. Доведіть, що MP=NQMP = NQ.
10–11 класиОзнаки подібності
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-002

Рівнобічна трапеція, середина діагоналі та дотичні до кіл

Дано рівнобічну трапецію ABCDABCD з основами ABAB і CDCD. Нехай точка EE — середина сторони ACAC, ω\omega та Ω\Omega — описані кола трикутників ABEABE та CDECDE відповідно. Точка PP — точка перетину дотичної до кола ω\omega у точці AA та дотичної до кола Ω\Omega у точці DD. Доведіть, що пряма PEPE дотикається до кола Ω\Omega.
10–11 класиДотична кола
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2018-001

Вписаний чотирикутник і дотик двох описаних кіл

Нехай чотирикутник ABCDABCD — вписаний, а точка PP лежить на стороні ABAB. Діагональ ACAC перетинає відрізок DPDP у точці QQ. Пряма, що проходить через точку PP паралельно стороні CDCD, перетинає продовження сторони CBCB за точку BB у точці KK, а пряма, що проходить через точку QQ паралельно діагоналі BDBD, перетинає продовження сторони CBCB за точку BB у точці LL. Доведіть, що описані кола трикутників BKPBKP та CLQCLQ дотикаються.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-006

Дотик із перетину дуги на колі

Нехай RR і SS — різні точки кола Ω\Omega, а tt позначає дотичну до кола Ω\Omega в точці RR. Точка R′R' симетрична точці RR відносно SS. Точку II вибрано на меншій дузі RSRS кола Ω\Omega так, що описане коло Γ\Gamma трикутника ISR′ISR' перетинає tt у двох різних точках. Позначимо через AA спільну точку кола Γ\Gamma і прямої tt, найближчу до RR. Пряма AIAI перетинає Ω\Omega знову в точці JJ. Доведіть, що пряма JR′JR' дотикається до кола Γ\Gamma.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-002

Вписаний чотирикутник, середини відрізків і дотична до кола

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, діагоналі ACAC та BDBD якого перетинаються в точці XX. Літерами C1C_1, D1D_1 та MM позначимо середини відрізків CXCX, DXDX та CDCD відповідно. Нехай YY — точка перетину прямих AD1AD_1 та BC1BC_1, а пряма MYMY перетинає діагоналі ACAC і BDBD у різних точках EE і FF відповідно. Доведіть, що пряма XYXY є дотичною до кола, що проходить через точки EE, FF та XX.
10–11 класиДотична кола
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-005

Вписаний шестикутник і радіуси трьох дотичних кіл

Опуклий шестикутник A1B1A2B2A3B3A_1B_1A_2B_2A_3B_3 вписано в коло Ω\Omega радіуса RR. Діагоналі A1B2A_1B_2, A2B3A_2B_3, A3B1A_3B_1 перетинаються в точці XX. Для i=1;2;3i = 1; 2; 3 позначимо через wiw_i коло, яке дотикається до відрізків XAiXA_i, XBiXB_i та дуги AiBiA_iB_i, що не містить інших вершин шестикутника, rir_i — радіус кола wiw_i. а) Доведіть, що R⩾r1+r2+r3R \geqslant r_1 + r_2 + r_3. б) Доведіть, що коли R=r1+r2+r3R = r_1 + r_2 + r_3, то 6 точок, де кола wiw_i дотикаються до діагоналей A1B2A_1B_2, A2B3A_2B_3, A3B1A_3B_1, лежать на одному колі.
10–11 класиКоло і подібність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.