Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

261 задача
КомбінаторикаКонструкція за індукцією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-140

Ходи на дошці з трьома літерами

Аліса пише на дошці 10011001 літеру, кожну незалежно та рівноймовірно обираючи з множини S={a,b,c}S=\{a, b, c\}. Хід полягає у стиранні з дошки двох різних літер і заміні їх третьою літерою з SS. Яка ймовірність того, що Аліса зможе послідовністю ходів залишити на дошці одну літеру?
10–11 класиПарність і непарність
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-006

Гра на шахівниці з блокувальною стратегією

Джозі та Росс грають у гру на шахівниці 20×2020 \times 20. Спочатку шахівниця порожня. Двоє гравців ходять по черзі, причому першою ходить Джозі. Своїм ходом Джозі вибирає будь-які дві різні порожні клітинки і ставить у кожну з них по білому камінцю. Своїм ходом Росс вибирає будь-який білий камінець, що вже є на дошці, і замінює його чорним камінцем. Якщо в якийсь момент знайдеться 8 послідовних клітинок в лінію (горизонтально або вертикально), кожна з яких містить білий камінець, Джозі перемагає. Чи можливо, що Росс завадить Джозі перемогти — незалежно від того, як гратиме Джозі?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-013

Замощення сходів мінімальною кількістю квадратів

Нехай nn — невід'ємне ціле число. Сходи розміру nn складаються з маленьких квадратів 1×11 \times 1: 1 квадрат для першої сходинки, 2 квадрати для другої сходинки і так далі, аж до nn квадратів для nйn^{\text{й}} сходинки. Маємо квадратні камені (з цілою стороною) усіх розмірів, щоб побудувати ці сходи, і позначаємо через f(n)f(n) найменшу кількість каменів, яку треба використати для сходів розміру nn. Наприклад, f(2)=3f(2)=3 і f(4)=7f(4)=7, як показано нижче. 1. Знайдіть усі цілі числа n⩾0n \geqslant 0 такі, що f(n)=nf(n)=n. 2. Знайдіть усі цілі числа n⩾0n \geqslant 0 такі, що f(n)=n+1f(n)=n+1.
8–10 класиРозрізання, покриття та замощення
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-026

Трикутники у колі з обмеженням на периметр

Нехай C\mathcal{C} — коло радіуса 11, а TT — дійсне число. Кажуть, що множина трикутників є TT-мірною, якщо вона задовольняє такі три умови: ▹\triangleright вершини кожного трикутника належать колу C\mathcal{C}; ▹\triangleright трикутники попарно мають неперетинні внутрішності (але два трикутники можуть мати спільну сторону або вершину); ▹\triangleright кожен трикутник має периметр, строго більший за T\mathbf{T}. Знайти всі дійсні T\mathbf{T} такі, що для кожного цілого n⩾1\mathrm{n} \geqslant 1 існує TT-мірна множина, яка містить рівно nn трикутників.
8–10 класиКонструкція за індукцією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-009

Розбиття відрізків сітки на трійки зі спільною вершиною

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що одиничні відрізки сітки n×nn \times n з одиничних квадратів можна розбити на групи по три так, щоб відрізки кожної групи мали спільну вершину.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2019-025

Зображуваність сумою членів показникової послідовності

Означимо послідовність (an)n≥0\left(a_{n}\right)_{n \geq 0} цілих чисел формулою an:=2n+2⌊n/2⌋a_{n}:=2^{n}+2^{\lfloor n / 2\rfloor}. Доведіть, що існує нескінченно багато членів послідовності, які можна подати у вигляді суми принаймні двох різних членів послідовності, а також існує нескінченно багато членів послідовності, які в такому вигляді подати не можна.
10–11 класиСуми послідовностей
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-006

Вмикання лампочок із простим відношенням номерів

Є 4037 лампочок, розташованих у ряд і пронумерованих від 1 до 4037. Спочатку кожна лампочка може бути ввімкненою або вимкненою. Хід полягає у виборі двох лампочок з номерами a,ba, b таких, що a/ba / b або b/ab / a є простим числом, і зміні стану обох. Доведіть, що за скінченну кількість ходів можна зробити лампочки від 1 до 2019 усі ввімкненими незалежно від початкової конфігурації.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-021

Мультисомічні перетворення натуральних чисел

Лю і Лія граються біля класної дошки. Один із них пише два натуральні числа, а інший має МУЛЬТИСОМІЧНИМИ перетвореннями перетворити менше на більше. МУЛЬТИСОМІЧНЕ перетворення — це заміна числа a=m+na = m + n на m⋅nm \cdot n, наприклад, ми можемо замінити 1010 на 2⋅8=162 \cdot 8 = 16. a) Лю пише на дошці 66 і 1515. Покажіть, як Лія може перетворити 66 на 1515. b) Лія пише 55 і 20192019. Покажіть, як Лю може виконати перетворення. c) Учительці сподобалася гра, і вона вирішила взяти участь, написавши 77 і xx, і запитала, скільки є можливих значень xx, щоб перетворити 77 на xx рівно двома МУЛЬТИСОМІЧНИМИ перетвореннями. Якою має бути відповідь Лю і Лії?
8–9 класиРозбиття на випадки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-001

Середини фішок і степені двійки

Розглянемо розташування фішок на площині, не обов'язково в різних точках. Дозволено виконувати послідовність ходів такого виду: вибрати пару фішок у точках AA і BB та перемістити обидві до середини відрізка з кінцями в точках AA і BB. Кажемо, що розташування з nn фішок є стягуваним, якщо після скінченної кількості ходів можна зібрати всі nn фішок в одній точці. Доведіть, що кожне розташування з nn фішок є стягуваним тоді й лише тоді, коли nn є степенем двійки.
10–11 класиІнші інваріанти
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-003

Кругове розташування просто-пов'язаних дільників

Два додатні цілі числа aa і bb є «просто-пов'язаними», якщо a=pba = p b або b=pab = p a для деякого простого числа pp. Знайдіть усі додатні цілі числа nn, такі, що nn має щонайменше три дільники, і всі дільники можуть бути розташовані без повторень по колу так, що будь-які два сусідні дільники є просто-пов'язаними. Зауважимо, що 11 і nn включені як дільники.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-022

Різні дільники своєї суми

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує nn попарно різних цілих чисел r1,…,rnr_{1}, \ldots, r_{n} таких, що кожне rir_{i} ділить r1+⋯+rnr_{1}+\cdots+r_{n}.
9–11 класиКонструкція за індукцією
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-023

Факторіал як значення функції Ейлера

Нехай nn — натуральне число. Доведіть, що існує натуральне число mm таке, що n!=φ(m)n! = \varphi(m), де φ\varphi — функція Ейлера. (Нагадаємо, що якщо m=p1α1⋯pkαkm = p_{1}^{\alpha_{1}} \cdots p_{k}^{\alpha_{k}} де p1,…,pkp_{1}, \ldots, p_{k} — попарно різні прості числа, то φ(m)=m(1−1p1)⋯(1−1pk)\varphi(m) = m \left(1 - \frac{1}{p_{1}}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_{k}}\right).)
9–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-024

Подвоєння рядків і віднімання у стовпцях до нулів

Розглянемо таблицю розміру 2018×20182018 \times 2018, у кожній клітинці якої міститься відмінне від нуля натуральне число. Ноемі змінює ці числа на свій розсуд, застосовуючи такі операції: ▹\triangleright вибрати рядок, а потім помножити на 2 всі числа, що містяться в цьому рядку; ▹\triangleright вибрати стовпець, а потім відняти 1 від усіх чисел, що містяться в цьому стовпці. Доведіть, що, застосовуючи ці операції, Ноемі може домогтися того, щоб отримати таблицю, у кожній клітинці якої міститься число 0.
9–11 класиКонструкція за індукцією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-082

Розбиття прямокутника з однією рожевою клітинкою

У квадратній таблиці n×nn \times n з клітинок 1×11 \times 1 принаймні одна клітинка пофарбована в рожевий колір. Доведіть, що квадрат завжди можна розбити на прямокутники вздовж меж клітинок так, щоб кожен прямокутник містив рівно одну рожеву клітинку.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2018-036

Найбільша сума стрибків, довжини яких — степені двійки

Нехай nn — натуральне число. Жаба стартує на числовій прямій у точці 00. Припустімо, вона робить скінченну послідовність стрибків за двох умов: жаба відвідує лише точки з {1,2,…,2n−1}\{1, 2, \dots, 2^n - 1\}, причому кожну щонайбільше один раз; довжина кожного стрибка належить множині {20,21,22,… }\{2^0, 2^1, 2^2, \dots\}. (Стрибки можуть бути в будь-який бік, ліворуч чи праворуч.) Нехай SS — сума (додатних) довжин усіх стрибків у послідовності. Яке найбільше можливе значення SS?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2018-002

Гра з упорядкованим розміщенням плиток

Аліса і Барбара вигадали таку гру. Вони мають дошку 1×20181 \times 2018, з клітинками, пронумерованими від 11 до 20182018 зліва направо, і 20182018 плиток, пронумерованих також від 11 до 20182018. Партія починається з порожньої дошки, і дві гравчині ходять по черзі; гравчиня, чия черга ходити, може зробити одне з двох: - вибрати плитку, ще не поставлену на дошку, і покласти її на вільну клітинку, за умови, що числа на поставлених плитках, якщо читати їх зліва направо, йдуть у порядку зростання; - вибрати плитку, вже поставлену на дошку, і пересунути її на сусідню клітинку так, щоб плитка наблизилася до клітинки з тим самим номером, що й плитка, за умови, що клітинка прибуття вільна (приклад: якщо плитка з номером 77 знаходиться на клітинці номер 1212, її можна пересунути вліво, але не вправо; якщо ж плитка вже знаходиться в клітинці зі своїм же номером, її більше не можна буде пересунути). (a) Доведіть, що в кожному ході, якщо не всі плитки на дошці, існує дозволений хід. (b) Якщо починає Аліса і виграє та, хто поставить останню плитку, хто має виграшну стратегію?
9–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2017-003

Розрізання квадрата на квадрати

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що квадрат можна розрізати на nn квадратних частин.
9 класРозрізання, покриття та замощення
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-030

Підмножина натуральних чисел без степенів у сумах

Чи існує нескінченна підмножина AA множини N\mathbb{N}, яка задовольняє таку властивість: будь-яка скінченна сума різних елементів із AA ніколи не є степенем цілого числа (тобто цілим числом вигляду aba^{b}, де aa і bb — цілі числа, не менші від 2)?
8–10 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2017-023

Розбиття непарних чисел із заданим відношенням сум

Нехай k>2k > 2 — ціле число. Додатне ціле число ℓ\ell назвемо kk-пабельним, якщо числа 1,3,5,…,2k−11, 3, 5, \ldots, 2k-1 можна розбити на дві множини AA і BB так, щоб сума елементів множини AA була рівно в ℓ\ell разів більшою за суму елементів множини BB. Доведіть, що найменше kk-пабельне число взаємно просте з kk.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-036

Максимальна кількість людей у ряду стільців

У ряд стоїть 2017 вільних стільців. Щохвилини приходить людина й сідає на один із вільних стільців і, у той самий момент, якщо сусідній стілець зайнятий, людина із сусіднього стільця встає й іде. Яка найбільша кількість людей, які можуть одночасно сидіти в ряду стільців?
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2016-001

Усереднення послідовних натуральних чисел

Числа 11, 22, 33, …\ldots, 20162016 записано на дошці. Можна вибрати будь-які два числа на дошці й замінити їх їхнім середнім арифметичним. Наприклад, можна замінити 11 і 22 на 1.51.5, або можна замінити 11 і 33 на другу копію 22. Після 20152015 таких замін на дошці залишиться лише одне число. a. Доведіть, що існує послідовність замін, за якої останнє число дорівнюватиме 22. b. Доведіть, що існує послідовність замін, за якої останнє число дорівнюватиме 10001000.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-140

Суми підмножин, що покривають відрізок

Крістофф планує перевезти з північної гори до Аренделлу кілька неподільних крижаних брил з натуральними вагами. Він знає, що коли він дістанеться Аренделлу, принцеса Анна і королева Ельза назвуть впорядковану пару (p,q)(p, q) невід'ємних цілих чисел, що задовольняє p+q≤2016p+q \leq 2016. Тоді Крістофф повинен дати принцесі Анні рівно pp кілограмів льоду. Після цього він повинен дати королеві Ельзі рівно qq кілограмів льоду. Яка найменша кількість крижаних брил, яку Крістофф повинен взяти з собою, щоб гарантовано виконати вимоги Анни й Ельзи, незалежно від того, які pp і qq буде обрано?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2016-004

Танцювальні пари з улюбленим партнером

Нехай nn — натуральне число. У селі живуть nn хлопців та nn дівчат. Для щорічного балу треба утворити nn танцювальних пар, кожна з яких складається з одного хлопця та однієї дівчини. Кожна дівчина подає список, що складається з імені хлопця, з яким вона хотіла б танцювати найбільше, плюс нуля або більше імен інших хлопців, з якими вона також хотіла б танцювати. Виявляється, що можна утворити nn танцювальних пар так, щоб кожна дівчина танцювала з хлопцем зі свого списку. Доведіть, що можна утворити nn танцювальних пар так, щоб кожна дівчина танцювала з хлопцем зі свого списку і при цьому принаймні одна дівчина танцювала з хлопцем, з яким вона хоче танцювати найбільше.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2016-011

Неперетинне сполучення точок кола із сумою

На колі лежать 2n2n різних точок. Числа від 11 до 2n2n навмання розподілено по цих точках. Кожну точку з'єднано рівно з однією іншою точкою так, щоб жодні два з утворених сполучних відрізків не перетиналися. Якщо відрізок з'єднує числа aa і bb, то надамо цьому відрізку значення ∣a−b∣|a-b|. Доведіть, що відрізки можна вибрати так, щоб сума цих значень дорівнювала n2n^{2}.
10–11 класиКонструкція за індукцією2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-052

Розкладання кольорових предметів у коробки

Нехай nn і kk — натуральні числа. Є nkn k предметів (однакового розміру) і kk коробок, кожна з яких може вмістити nn предметів. Кожен предмет пофарбовано в один із kk можливих кольорів. Доведіть, що предмети можна розкласти по коробках так, щоб кожна коробка містила предмети не більш ніж 2 різних кольорів.
10–11 класиКонструкція за індукцією

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.