Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

302 задачі
ГеометріяОзнаки подібності
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-003

Коло, відбиття центра та бісектриси кутів

Точки AA, BB і CC лежать на колі з центром MM. Образ точки MM при симетрії відносно прямої ABAB лежить усередині трикутника ABCABC і є перетином бісектрис кутів AA і BB. (Бісектриса кута — це пряма, яка ділить кут на два рівні кути.) Пряма AMAM перетинає коло вдруге в точці DD. Доведіть, що ∣CA∣⋅∣CD∣=∣AB∣⋅∣AM∣|CA| \cdot |CD| = |AB| \cdot |AM|.
10–11 класиОзнаки подібності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2019-012

Рівні відрізки від перетину медіани

Нехай ABCABC — трикутник, а MM — основа медіани, проведеної з AA. Нехай також ℓb\ell_{\mathrm{b}} — бісектриса кута AMB^\widehat{AMB}, а ℓc\ell_{c} — бісектриса кута AMC^\widehat{AMC}. Нарешті, нехай B′B' — ортогональна проєкція BB на пряму ℓb\ell_{b}, C′C' — ортогональна проєкція CC на пряму ℓc\ell_{c}, а A′A' — точка перетину прямих (AM)(AM) і (B′C′)(B'C'). Доведіть, що A′B′=A′C′A'B' = A'C'.
8–10 класиОзнаки подібності
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-006

Перетин у правильному п'ятикутнику з умовою на довжини

Нехай дано правильний п'ятикутник ABCDEABCDE. Нехай FF — точка перетину прямих BEBE і ACAC. Припустимо, що пряма, яка проходить через FF, перетинає сторони ABAB і CDCD у точках GG, HH відповідно, причому виконуються рівності BG=4BG = 4 і CH=5CH = 5. Знайдіть довжину відрізка AGAG. Тут через XYXY ми позначаємо також довжину відрізка XYXY.
10–11 класиОзнаки подібності
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2019-007

Шестикутник із конгруентними вписаними прямокутниками

Нехай ABCDEFABCDEF — опуклий шестикутник, що містить у своїй внутрішності точку PP таку, що PABCPABC і PDEFPDEF — конгруентні прямокутники, причому PA=BC=PD=EFPA = BC = PD = EF (а AB=PC=DE=PFAB = PC = DE = PF). Нехай ℓ\ell — пряма, що проходить через середину відрізка AFAF і центр описаного кола трикутника PCDPCD. Доведіть, що пряма ℓ\ell проходить через PP.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-031

Вкладені квадрати з вершиною на стороні

На рисунку нижче найбільший квадрат має площу 1 см21\ \text{см}^2, а середній квадрат — площу MM. Площа найменшого квадрата, який має одну вершину на стороні середнього квадрата, дорівнює NN. Виразіть NN через MM.
10–11 класиОзнаки подібності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-033

Квадрат у прямокутному рівнобедреному трикутнику

У прямокутному рівнобедреному трикутнику AOBA O B точки P,QP, Q і SS вибрано на сторонах OB,OAO B, O A і ABA B відповідно так, що PQRSP Q R S — квадрат. Якщо довжини OPO P і OQO Q дорівнюють aa і bb відповідно, а площа квадрата PQRSP Q R S становить 2/52/5 площі трикутника AOBA O B, знайдіть значення a/ba / b.
10–11 класиОзнаки подібності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-019

Відношення площ у квадраті із точкою на стороні

На прямій rr позначено точки AA і BB, а на прямій ss, паралельній rr, позначено точки CC і DD так, що ABCDA B C D — квадрат. На відрізку CDC D також позначено точку EE. а) Яке відношення площ трикутників ABEA B E і BCDB C D, якщо EE — середина сторони CDC D? б) Яким має бути відношення DEEC\frac{D E}{E C}, щоб площа трикутника BFEB F E була вдвічі більшою за площу трикутника DFED F E, де FF — точка перетину відрізків AEA E і BDB D?
8–9 класиВідношення площ трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2018-008

Центр описаного кола на медіані трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а OO — центр його описаного кола. Пряма OAOA перетинає висоту hbh_{b} в точці PP, а висоту hch_{c} в точці QQ. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Доведіть, що центр описаного кола трикутника PQHPQH лежить на медіані трикутника ABCABC, що проходить через AA.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2018-014

Висоти трикутника з рівними відстанями

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник і нехай DD — основа висоти з AA. На відрізку ADAD лежать різні точки EE і FF такі, що ∣AE∣=∣BE∣|AE| = |BE| і ∣AF∣=∣CF∣|AF| = |CF|. Точка T≠DT \neq D така, що ∠BTE=∠CTF=90∘\angle BTE = \angle CTF = 90^\circ. Доведіть, що ∣TA∣2=∣TB∣⋅∣TC∣|TA|^2 = |TB| \cdot |TC|. Розглядаємо конфігурацію з порядком точок як на малюнку.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2018-023

Відношення хорд за умов про середини

Нехай AA, BB, CC і DD — чотири точки, що лежать на колі в цьому порядку. Припустимо, що існує точка KK на відрізку ABA B, така, що BDB D ділить навпіл відрізок KCK C, а ACA C ділить навпіл відрізок KDK D. Знайдіть найменше можливе значення, якого може набувати ∣ABCD∣\left|\frac{A B}{C D}\right|.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-004

Згин прямокутника з суміщенням вершини із серединою сторони

Прямокутник ABCDABCD зі сторонами AB=240 смAB=240~\text{см} і BC=288 смBC=288~\text{см} зображує аркуш паперу, який згинають уздовж відрізка EFEF, де EE належить стороні ADAD, а FF належить стороні BCBC, так, щоб точка CC опинилася на середині сторони ABAB. a) Яка довжина відрізка CC′CC^{\prime}? b) Яка довжина відрізка EFEF?
8–9 класиОзнаки подібності
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-023

Центр описаного кола рівновіддалений від точок перетину кіл

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Позначимо через OO центр його описаного кола. Нехай ΓB\Gamma_{B} — коло, що проходить через AA і BB та дотикається до (AC)(AC), а ΓC\Gamma_{C} — коло, що проходить через AA і CC та дотикається до (AB)(AB). Пряма Δ\Delta, що проходить через AA, перетинає ΓB\Gamma_{B} повторно в точці XX, а ΓC\Gamma_{C} — в точці YY. Доведіть, що OX=OYOX = OY.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-010

Дотик описаних кіл у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний у коло. Позначимо через Δ1\Delta_{1} пряму, паралельну (BC)(BC), що проходить через AA, а через Δ2\Delta_{2} — пряму, паралельну (AD)(AD), що проходить через BB. Позначимо через EE точку перетину прямої Δ1\Delta_{1} з (CD)(CD), а через FF — точку перетину прямої Δ2\Delta_{2} з (CD)(CD). Пряма, перпендикулярна до Δ1\Delta_{1}, що проходить через AA, перетинає (BC)(BC) у точці PP, а пряма, перпендикулярна до Δ2\Delta_{2}, що проходить через BB, перетинає (AD)(AD) у точці QQ. Позначимо через Γ1\Gamma_{1} описане коло трикутника ADEADE, а через Γ2\Gamma_{2} — описане коло трикутника BFCBFC. Доведіть, що кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} дотикаються тоді й лише тоді, коли (DP)(DP) і (CQ)(CQ) перпендикулярні.
8–10 класиКола, що дотикаються
Відбіркові тести на IMOTST-2017-024

Паралельні прямі у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник із ∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}, а DD — основа висоти, проведеної з AA. Середини відрізків ADAD і ACAC позначимо відповідно EE і FF. Нехай MM — центр описаного кола △BEF\triangle BEF. Доведіть, що AC∥BMAC \parallel BM.
10–11 класиОзнаки подібності
Відбіркові тести на IMOTST-2017-032

Дотична і перетин в описаному колі трикутника

У трикутнику ABCA B C точка MM — середина сторони ABA B, а NN — середина відрізка CMC M. Нехай XX — точка, для якої ∠XMC=∠MBC\angle X M C=\angle M B C і ∠XCM=∠MCB\angle X C M=\angle M C B, причому XX і BB лежать по різні боки від прямої CMC M. Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника AMXA M X. a) Доведіть, що пряма CMC M дотикається до кола Ω\Omega. b) Доведіть, що прямі NXN X і ACA C перетинаються на колі Ω\Omega.
10–11 класиОзнаки подібності2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-005

Трикутник з дотичною та відстанню між серединами

Нехай ABCABC — трикутник, у якого AC>ABAC > AB. Нехай PP — точка перетину прямої BCBC і дотичної, проведеної через AA, до описаного кола трикутника ABCABC. Нехай QQ — точка на прямій ACAC, така, що виконується AQ=ABAQ = AB і AA лежить між CC і QQ. Нехай XX і YY — середини відрізків BQBQ і APAP відповідно. Нехай RR — точка на відрізку APAP, така, що виконується AR=BPAR = BP і RR лежить між AA і PP. Доведіть, що виконується BR=2XYBR = 2XY.
10–11 класиГомотерія і подібність
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2017-008

Рівнобедрений трикутник і перетин з колом

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з вершиною AA, причому AB>BCAB > BC. Нехай kk — коло з центром AA, яке проходить через BB і CC. Нехай HH — друга точка перетину кола kk з висотою трикутника ABCABC, проведеною через BB. Далі нехай GG — друга точка перетину кола kk з медіаною, проведеною через BB у трикутнику ABCABC. Нехай XX — точка перетину прямих ACAC і GHGH. Доведіть, що CC — середина відрізка AXAX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2016-003

Дотичні вписаного кола та відношення перетинів

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно. Нехай пряма EFEF перетинає прямі BIBI, CICI, BCBC, DIDI у точках KK, LL, MM, QQ відповідно, де II — інцентр △ABC\triangle ABC. Якщо пряма, що проходить через середину відрізка CLCL і MM, перетинає CKCK у точці PP, доведіть, що PQ=AB⋅KQBI.PQ = \frac{AB \cdot KQ}{BI}.
10–11 класиТеорема Менелая
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2015-004

Коло, дотичне до описаного кола BOC

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO. Нехай Γ\Gamma — коло з центром на висоті, проведеній з вершини AA трикутника ABCABC, яке проходить через вершину AA та точки PP і QQ на сторонах ABAB і ACAC. Припустімо, що BP⋅CQ=AP⋅AQBP \cdot CQ = AP \cdot AQ. Доведіть, що коло Γ\Gamma дотикається до описаного кола трикутника BOCBOC.
10–11 класиОзнаки подібності
Французька математична олімпіадаFRMO-2015-047

Гострокутний трикутник з перетином дотичної

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, такий, що AC>ABAC > AB, DD — точка на стороні BCBC, така, що AD=ABAD = AB і DD відмінна від BB. Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC, Δ\Delta — дотична до кола Γ\Gamma в точці CC, EE — перетин прямих (AD)(AD) і Δ\Delta. Доведіть, що CD2=AD⋅DE−BD⋅DCCD^{2} = AD \cdot DE - BD \cdot DC.
9–11 класиОзнаки подібності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-101

Відношення відрізків у квадраті з побудованими точками

Розглянемо квадрат 1×11 \times 1. Нехай A,B,C,DA, B, C, D — його вершини, а EE — середина відрізка CDCD. Крім того, нехай FF — точка на відрізку BCBC, для якої BF=2 CFBF = 2\,CF, а PP — перетин прямих AFAF і BEBE. Знайдіть відношення APPF\frac{AP}{PF}.
10–11 класиВідношення відрізків в подібних т…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-046

Коло, дотичне до трьох сторін вписаного чотирикутника

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник зі сторонами AB=10AB = 10, BC=8BC = 8, CD=25CD = 25 і DA=12DA = 12. Коло ω\omega дотикається до відрізків DADA, ABAB і BCBC. Знайдіть радіус кола ω\omega.
10–11 класиЗовнівписане коло
Відбіркові тести на IMOTST-2015-012

Коло через вершину і середину дуги з рівними кутами

У трикутнику ABCABC точка DD — перетин внутрішньої бісектриси кута ∠BAC\angle BAC зі стороною BCBC. Нехай PP — друга точка перетину зовнішньої бісектриси кута ∠BAC\angle BAC з описаним колом трикутника △ABC\triangle ABC. Коло, що проходить через точки AA і PP, перетинає відрізок BPBP у внутрішній точці EE та відрізок CPCP у внутрішній точці FF. Доведіть, що ∠DEP=∠DFP\angle DEP = \angle DFP.
10–11 класиОзнаки подібності
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2015-003

Чотирикутник з рівними сторонами і бісектрисою кута

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник такий, що AB=AC=ADAB = AC = AD і BC<CDBC < CD. Бісектриса кута BAD^\widehat{BAD} перетинає сторону CDCD у внутрішній точці MM і продовження сторони BCBC у точці NN. Доведіть, що a. чотирикутник ABCMABCM можна вписати в коло; b. трикутники ANBANB і ABMABM подібні.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2015-002

Дотичні до кола та паралельні прямі

Нехай три точки AA, BB, CC лежать на колі Γ\Gamma. Нехай PP — точка перетину дотичних до кола Γ\Gamma у точках BB і CC. Припустімо, що прямі ABAB і CPCP паралельні, а AB=3AB = 3 і BP=4BP = 4. Знайдіть довжину відрізка BCBC. Тут довжину відрізка XYXY також позначаємо через XYXY.
10–11 класиДотична кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.