Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

276 задач
КомбінаторикаПерестановки
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-018

Перестановки з умовою про впорядковану підпослідовність

Кажуть, що дев’ятицифрове число є цікавим, якщо кожна цифра від 1 до 9 трапляється в ньому рівно один раз, цифри від 1 до 5 трапляються в ньому по порядку, а цифри від 1 до 6 — ні, наприклад 189236457. Скільки існує цікавих чисел?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-136

Перестановки з нульовою знакозмінною сумою

Скільки існує впорядкувань (a1,…,a8)\left(a_{1}, \ldots, a_{8}\right) чисел (1,2,…,8)(1,2, \ldots, 8) таких, що a1−a2+a3−a4+a5−a6+a7−a8=0a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}-a_{6}+a_{7}-a_{8}=0?
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-022

Розташування різнокольорових кубиків з точністю до повороту

Маємо 8 одиничних кубиків різних кольорів, які треба склеїти в куб 2×2×22 \times 2 \times 2. Скільки різних кубів 2×2×22 \times 2 \times 2 можна отримати? Повороти того самого куба не вважаються різними, а віддзеркалення — вважаються.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-140

Сума четвертих степенів кількості нерухомих точок

Нехай σ\sigma — перестановка множини {1,2,…,2013}\{1,2, \ldots, 2013\}, а f(σ)f(\sigma) — кількість нерухомих точок перестановки σ\sigma, тобто кількість таких k∈{1,2,…,2013}k \in \{1,2, \ldots, 2013\}, що σ(k)=k\sigma(k) = k. Якщо SS — множина всіх можливих перестановок σ\sigma, обчисліть ∑σ∈Sf(σ)4\sum_{\sigma \in S} f(\sigma)^4 (Тут перестановка σ\sigma — це бієктивне відображення з {1,2,…,2013}\{1,2, \ldots, 2013\} в {1,2,…,2013}\{1,2, \ldots, 2013\}.)
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2013-045

Класи еквівалентності повних рядків за простої операції

Нехай SS — множина з nn змінних, бінарна операція ×\times на SS називається простою, якщо вона задовольняє (x×y)×z=x×(y×z)(x \times y) \times z = x \times (y \times z) для всіх x,y,z∈Sx, y, z \in S і x×y∈{x,y}x \times y \in \{x, y\} для всіх x,y∈Sx, y \in S. Для простої операції ×\times на SS будь-який рядок з елементів SS можна звести до одного елемента, наприклад xyz→x×(y×z)xyz \rightarrow x \times (y \times z). Рядок зі змінних з SS називається повним, якщо він містить кожну змінну з SS принаймні один раз, а два рядки називаються еквівалентними, якщо вони дають ту саму змінну незалежно від того, яку просту операцію ×\times обрано. Наприклад, xxxxxx, xxxx і xx еквівалентні, але вони повні лише якщо n=1n = 1. Нехай TT — множина рядків така, що будь-який повний рядок еквівалентний рівно одному елементу з TT. Визначте кількість елементів множини TT.
10–11 класиПерестановки
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2013-003

Тотожність для множин інверсій перестановки

Нехай f:{1,2,…,n}→{1,2,…,n}f : \{1, 2, \dots, n\} \to \{1, 2, \dots, n\} — взаємно однозначна відповідність для деякого натурального числа nn. Визначимо чотири множини AA, BB, CC, DD так: A={i∣i>f(i)}A = \{i \mid i > f(i)\} B={(i,j)∣i<j≤f(j)<f(i) або f(j)<f(i)<i<j}B = \{(i, j) \mid i < j \le f(j) < f(i) \text{ або } f(j) < f(i) < i < j\} C={(i,j)∣i<j≤f(i)<f(j) або f(i)<f(j)<i<j}C = \{(i, j) \mid i < j \le f(i) < f(j) \text{ або } f(i) < f(j) < i < j\} D={(i,j)∣i<j і f(i)>f(j)}D = \{(i, j) \mid i < j \text{ і } f(i) > f(j)\} Доведіть, що ∣A∣+2∣B∣+∣C∣=∣D∣|A| + 2|B| + |C| = |D|, де ∣X∣|X| — кількість усіх елементів множини XX.
10–11 класиПерестановки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2012-004

Перестановки з умовою на суму індексів

Нехай nn — натуральне число, кратне 4. Розглянемо перестановки (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) чисел (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n) з такою властивістю: для кожного jj виконується: якщо взяти i=aji=a_{j}, то ai+j=n+1a_{i}+j=n+1. Доведіть, що існує рівно (12n)!(14n)!\frac{\left(\frac{1}{2} n\right)!}{\left(\frac{1}{4} n\right)!} таких перестановок.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-049

Найбільший добуток логарифмів перестановки

Нехай π\pi — перестановка чисел від 22 до 20122012. Знайдіть найбільше можливе значення log⁡2π(2)⋅log⁡3π(3)⋯log⁡2012π(2012)\log_{2} \pi(2) \cdot \log_{3} \pi(3) \cdots \log_{2012} \pi(2012).
10–11 класиПеретворення показникових і логар…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-050

Імовірність подвійного застосування перестановки

Нехай π\pi — навмання вибрана перестановка чисел від 11 до 20122012. Знайдіть імовірність того, що π(π(2012))=2012\pi(\pi(2012)) = 2012.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-040

Три тури, що не б'ють одна одну, на дошці 6×6

Скільки існує способів розставити три нерозрізнювані тури на дошці 6×66 \times 6 так, щоб жодні дві тури не били одна одну? (Дві тури б'ють одна одну тоді й лише тоді, коли вони стоять в одному рядку або в одному стовпці.)
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-106

Сума транспозиційних відстаней для перестановок семи елементів

Для перестановки σ\sigma чисел 1,2,…,71,2, \ldots, 7 транспозицією називається обмін двох елементів місцями. (Наприклад, до перестановки 3,7,1,4,5,6,23,7,1,4,5,6,2 можна застосувати транспозицію й отримати 3,7,6,4,5,1,23,7,6,4,5,1,2, помінявши місцями 11 і 66.) Нехай f(σ)f(\sigma) — найменша кількість транспозицій, необхідна, щоб перетворити σ\sigma на перестановку 1,2,3,4,5,6,71,2,3,4,5,6,7. Знайдіть суму f(σ)f(\sigma) за всіма перестановками σ\sigma чисел 1,2,…,71,2, \ldots, 7.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-016

Випадковий чотирикутник з усіма додатними нахилами

Нехай AA, BB, CC і DD — точки, вибрані незалежно й рівномірно всередині одиничного квадрата. Яка ймовірність того, що всі шість прямих AB‾\overline{AB}, AC‾\overline{AC}, AD‾\overline{AD}, BC‾\overline{BC}, BD‾\overline{BD} і CD‾\overline{CD} мають додатний нахил?
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-027

Комутативні нетривіальні перестановки множини

Нехай SS — множина {1,2,…,2012}\{1,2, \ldots, 2012\}. Перфектутацією назвемо бієктивну функцію hh з SS в себе таку, що існує a∈Sa \in S з h(a)≠ah(a) \neq a, і що для будь-якої пари цілих чисел a∈Sa \in S і b∈Sb \in S таких, що h(a)≠a,h(b)≠bh(a) \neq a, h(b) \neq b, існує натуральне число kk таке, що hk(a)=bh^{k}(a)=b. Нехай nn — кількість впорядкованих пар перфектутацій (f,g)(f, g) таких, що f(g(i))=g(f(i))f(g(i))=g(f(i)) для всіх i∈Si \in S, але f≠gf \neq g. Знайдіть остачу від ділення nn на 2011.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-031

Префікс перестановки як початковий відрізок

Нехай S7S_{7} позначає всі перестановки чисел 1,2,…,71,2, \ldots, 7. Для будь-якої π∈S7\pi \in S_{7} нехай f(π)f(\pi) — найменше натуральне число ii таке, що π(1),π(2),…,π(i)\pi(1), \pi(2), \ldots, \pi(i) є перестановкою чисел 1,2,…,i1,2, \ldots, i. Обчисліть ∑π∈S7f(π)\sum_{\pi \in S_{7}} f(\pi).
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-146

Розсадка учнів без сусідів тієї самої статі

У класі 30 учнів і 30 парт, розташованих у 5 рядів по 6. Якщо в класі 15 хлопців і 15 дівчат, скількома способами можна розсадити учнів за парти так, щоб жоден хлопець не сидів спереду, ззаду чи збоку від іншого хлопця, і жодна дівчина не сиділа спереду, ззаду чи збоку від іншої дівчини?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-123

Розсадка учнів без сусідів однієї статі

У класі 30 учнів і 30 парт, розташованих у 5 рядів по 6. Серед учнів — 15 хлопців і 15 дівчат. Скількома способами можна розсадити учнів за партами так, щоб жоден хлопець не сидів спереду, ззаду чи поруч з іншим хлопцем, і жодна дівчина не сиділа спереду, ззаду чи поруч з іншою дівчиною?
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-109

Сума зростаючих підпослідовностей за перестановками

Для будь-якої скінченної послідовності натуральних чисел π\pi нехай S(π)S(\pi) — кількість строго зростаючих підпослідовностей послідовності π\pi завдовжки 2 або більше. Наприклад, у послідовності π={3,1,2,4}\pi=\{3,1,2,4\} є п'ять зростаючих підпослідовностей: {3,4},{1,2},{1,4},{2,4}\{3,4\},\{1,2\},\{1,4\},\{2,4\} і {1,2,4}\{1,2,4\}, отже S(π)=5S(\pi)=5. У грі Fish на вісьмох гравців Джой отримала шість карт із різними значеннями, які вона розкладає зліва направо в руці у випадковому порядку π\pi. Знайдіть ∑πS(π)\sum_{\pi} S(\pi) де суму взято за всіма можливими порядками π\pi значень карт.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-079

Перестановки з обмеженням на сусідів за зростом

П'ятеро людей зростом 65,66,67,6865, 66, 67, 68 та 6969 дюймів стоять обличчям уперед у шерензі. Скількома способами вони можуть вишикуватися в ряд, якщо жодна людина не може стояти безпосередньо перед людиною або після людини, яка рівно на 11 дюйм вища або рівно на 11 дюйм нижча за неї?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-090

Розфарбування пар літер з обмеженнями

Джулія вчиться писати літеру CC. У неї є 66 олівців різних кольорів, і вона хоче написати Cc Cc Cc Cc CcCc\ Cc\ Cc\ Cc\ Cc. Скількома способами вона може написати десять літер CC так, щоб кожна велика літера CC була іншого кольору, кожна мала літера CC була іншого кольору, і в кожній парі велика літера CC та мала літера CC були різних кольорів?
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-029

Упорядкування з обмеженням на різницю складності

Джо написав 5 запитань різної складності для тесту із задачами під номерами від 1 до 5. Він хоче забезпечити, щоб задача ii була складнішою за задачу jj, коли i−j≥3i-j \geq 3. Скількома способами він може впорядкувати задачі для свого тесту?
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-030

Ймовірність правильного порядку одягання

Так одягає свого кота на прогулянку. Він має чотири нерозрізнювані шкарпетки, чотири нерозрізнювані черевики та чотири нерозрізнювані снігоступи. Поспішаючи, Так навмання витягує предмети одягу із шухляди й намагається надягнути їх на навмання вибрану лапу свого кота; проте Так ніколи не намагається надягати більше ніж один предмет кожного типу на кожну лапу кота. Яка ймовірність того, що після завершення на кожній лапі кота снігоступ буде поверх черевика, а черевик — поверх шкарпетки?
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-004

Мінімальні покривальні підмножини в групі перестановок

Позначимо {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} через [n][n], а через SS — множину всіх перестановок [n][n]. Назвемо підмножину TT множини SS хорошою, якщо кожну перестановку σ\sigma з SS можна записати у вигляді t1t2t_{1} t_{2} для елементів t1t_{1} і t2t_{2} з TT, де добуток двох перестановок визначено як їх композицію. Назвемо підмножину UU множини SS надзвичайно хорошою, якщо кожну перестановку σ\sigma з SS можна записати у вигляді s−1uss^{-1} u s для елементів ss з SS і uu з UU. Нехай τ\tau — найменше значення ∣T∣/∣S∣|T| /|S| серед усіх хороших підмножин TT, а vv — найменше значення ∣U∣/∣S∣|U| /|S| серед усіх надзвичайно хороших підмножин UU. Доведіть, що v≥τ\sqrt{v} \geq \tau.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-036

Сортування одним переміщенням картки

Маленька рибка тримає 17 карток, позначених від 1 до 17, які вона перетасувала у випадковому порядку. Потім вона помічає, що хоча картки зараз не впорядковано за зростанням, вона може впорядкувати їх за зростанням, вийнявши одну картку й повернувши її на інше місце (на початок, між якимись двома картками або в кінець). У скількох можливих порядках можуть зараз бути її картки?
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-063

Перестановки з великим зсувом

Нехай A={1,2,3,…,9}A=\{1,2,3, \ldots, 9\}. Знайдіть кількість бієктивних функцій f:A→Af: A \rightarrow A, для яких існує принаймні одне i∈Ai \in A таке, що ∣f(i)−f−1(i)∣>1\left|f(i)-f^{-1}(i)\right|>1
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-070

Вишукані перестановки без зростаючих і спадних підпослідовностей

Нехай w=w1,w2,…,w6w = w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{6} — перестановка цілих чисел {1,2,…,6}\{1, 2, \ldots, 6\}. Якщо не існує індексів i<j<ki < j < k таких, що wi<wj<wkw_{i} < w_{j} < w_{k}, або індексів i<j<k<li < j < k < l таких, що wi>wj>wk>wlw_{i} > w_{j} > w_{k} > w_{l}, то ww називається вишуканою. Знайдіть кількість вишуканих перестановок.
10–11 класиБієкції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.