Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

374 задачі
ГеометріяСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-014

Рівнобедрений трикутник з дотичним колом і відношенням відрізків

Точка LL — внутрішня точка сторони ACAC рівнобедреного трикутника ABCABC (AB=BCAB = BC). Коло ω\omega проходить через точку BB і дотикається до прямої ACAC в точці LL. Воно перетинає пряму ABAB у точках BB і DD, а пряму BCBC — у точках BB і EE. Нехай MM — середина відрізка DEDE, а N≠LN \neq L — перетин прямих BMBM і ACAC. Відомо, що ANCN=ALCL>1\frac{AN}{CN} = \frac{AL}{CL} > 1. Доведіть, що кут ALBALB дорівнює 60∘60^\circ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-017

Середина хорди та основа висоти

Припустимо, що всі кути трикутника ABCABC гострі. Нехай DD і EE — точки на сторонах ACAC і BCBC трикутника такі, що AA, BB, DD і EE лежать на одному колі. Крім того, припустимо, що коло через DD, EE і CC перетинає сторону ABAB у двох точках XX і YY. Доведіть, що середина відрізка XYXY є основою висоти з CC на сторону ABAB.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-018

Колінеарність перетинів дотичних у кінцях медіан

Нехай ABCABC — різносторонній і непрямокутний трикутник. Нехай A′A' — друга точка перетину медіани, проведеної з AA, з описаним колом трикутника. Нехай дотичні до описаного кола трикутника ABCABC у точках AA і A′A' перетинаються в точці A′′A''. Аналогічно визначимо точки B′′B'' і C′′C''. Доведіть, що точки A′′A'', B′′B'', C′′C'' колінеарні.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-019

Два кола через вершини квадрата і точка S

Нехай ABCDABCD — квадрат, а SS — точка перетину його діагоналей ACAC і BDBD. Два кола kk, k′k' проходять через AA, CC і BB, DD відповідно. Крім того, kk і k′k' перетинаються рівно у двох різних точках PP і QQ. Доведіть, що SS лежить на прямій PQPQ.
10–11 класиРадикальна вісь
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2010-004

Внутрішня точка трикутника з умовою SC = SP

Нехай PP — точка всередині трикутника ABCABC. Прямі APAP, BPBP і CPCP удруге перетинають коло Γ\Gamma, описане навколо трикутника ABCABC, у точках KK, LL і MM відповідно. Дотична до кола Γ\Gamma, проведена через точку CC, перетинає пряму ABAB у точці SS. Відомо, що SC=SPSC = SP. Доведіть, що MK=MLMK = ML.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Балтійський шляхBW-2008-014

Циклічні точки у конфігурації з паралелограмом

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Коло з діаметром ACAC перетинає пряму BDBD в точках PP і QQ. Перпендикуляр до прямої ACAC, що проходить через точку CC, перетинає прямі ABAB і ADAD в точках XX та YY відповідно. Доведіть, що точки PP, QQ, XX і YY лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-001

Шість точок кіл через ортоцентр на сторонах трикутника

Нехай HH – точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC. Коло з центром у середині сторони BCBC проходить через точку HH та перетинає пряму BCBC у точках A1A_1 та A2A_2. Аналогічно, коло з центром у середині сторони CACA проходить через точку HH та перетинає пряму CACA у точках B1B_1 та B2B_2, коло з центром у середині сторони ABAB проходить через точку HH та перетинає пряму ABAB у точках C1C_1 та C2C_2. Доведіть, що точки A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-005

Трапеція та умова належності описаним колам

Дано трапецію ABCDA B C D з паралельними сторонами ABA B і CDC D. Припустимо, що існують точки EE на прямій BCB C поза відрізком BCB C та FF всередині відрізка ADA D такі, що ∠DAE=∠CBF\angle D A E=\angle C B F. Позначимо через II точку перетину прямих CDC D і EFE F, а через JJ — точку перетину прямих ABA B і EFE F. Нехай KK — середина відрізка EFE F; припустимо, що вона не лежить на прямій ABA B. Доведіть, що II належить описаному колу трикутника ABKA B K тоді й лише тоді, коли KK належить описаному колу трикутника CDJC D J.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2007-004

Дотичні й січна: відношення відрізків

Пряма, що проходить через точку AA, перетинає коло у двох точках, BB і CC, так, що точка BB лежить між AA і CC. З точки AA проведено дві дотичні до кола, які дотикаються до кола в точках SS і TT. Нехай PP — точка перетину прямих STS T і ACA C. Доведіть, що AP/PC=2⋅AB/BCA P / P C = 2 \cdot A B / B C.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-006

Точки на одному колі в побудові з трапецією

Нехай ABCDABCD — трапеція з паралельними сторонами AB>CDAB > CD. Точки KK і LL лежать на відрізках ABAB і CDCD відповідно так, що AK/KB=DL/LCAK / KB = DL / LC. Припустимо, що на відрізку KLKL існують точки PP і QQ, які задовольняють ∠APB=∠BCDі∠CQD=∠ABC.\angle APB = \angle BCD \quad \text{і} \quad \angle CQD = \angle ABC. Доведіть, що точки PP, QQ, BB і CC лежать на одному колі.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-007

Зовнівписане коло і перпендикулярність

У трикутнику ABCA B C нехай JJ — центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони BCB C в точці A1A_{1}, а до продовжень сторін ACA C і ABA B — у точках B1B_{1} і C1C_{1} відповідно. Припустимо, що прямі A1B1A_{1} B_{1} і ABA B перпендикулярні й перетинаються в точці DD. Нехай EE — основа перпендикуляра, проведеного з C1C_{1} до прямої DJD J. Знайдіть кути ∠BEA1\angle B E A_{1} і ∠AEB1\angle A E B_{1}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2005-004

Точки на одному колі з дотичних побудов

Коло C1\mathcal{C}_1 міститься всередині кола C2\mathcal{C}_2, причому кола дотикаються одне до одного в точці AA. Пряма через точку AA перетинає C1\mathcal{C}_1 також у точці BB, а C2\mathcal{C}_2 — також у точці CC. Дотична до кола C1\mathcal{C}_1 в точці BB перетинає C2\mathcal{C}_2 в точках DD і EE. Дотичні до кола C1\mathcal{C}_1, що проходять через точку CC, дотикаються до кола C1\mathcal{C}_1 в точках FF і GG. Доведіть, що точки DD, EE, FF і GG лежать на одному колі.
10–11 класиДотична кола
Балтійський шляхBW-2003-012

Точки на одному колі в конструкції з прямокутником

Нехай ABCDABCD — прямокутник і BC=2⋅ABBC = 2 \cdot AB. Нехай EE — середина сторони BCBC, а PP — довільна внутрішня точка сторони ADAD. Нехай FF і GG — основи перпендикулярів, проведених відповідно з AA до прямої BPBP і з DD до прямої CPCP. Доведіть, що точки E,F,P,GE, F, P, G лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Балтійський шляхBW-2003-014

Вписаний чотирикутник з дотичним колом

Нехай PP — точка перетину діагоналей ACAC і BDBD вписаного чотирикутника. Коло, що проходить через PP, дотикається до сторони CDCD у її середині MM і перетинає відрізки BDBD і ACAC у точках QQ і RR відповідно. Нехай SS — точка на відрізку BDBD така, що BS=DQBS = DQ. Пряма, що проходить через SS паралельно до ABAB, перетинає ACAC у точці TT. Доведіть, що AT=RCAT = RC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Балтійський шляхBW-2001-009

Трикутник з умовою на довжину бісектриси

У трикутнику ABCA B C бісектриса кута ∠BAC\angle B A C перетинає сторону BCB C в точці DD. Відомо, що ∣BD∣⋅∣CD∣=∣AD∣2|B D| \cdot |C D| = |A D|^{2} і ∠ADB=45∘\angle A D B = 45^{\circ}. Визначте кути трикутника ABCA B C.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1998-002

Прямокутник, утворений перетином двох кіл

Нехай C1C_{1} і C2C_{2} — два кола, що перетинаються в точках AA і BB. Нехай SS і TT — центри кіл C1C_{1} і C2C_{2} відповідно. Нехай PP — точка відрізка ABAB така, що ∣AP∣≠∣BP∣|AP| \neq |BP| і P≠A,P≠BP \neq A, P \neq B. Через точку PP проведемо пряму, перпендикулярну до прямої SPSP, і позначимо через CC і DD точки її перетину з колом C1C_{1}. Так само через точку PP проведемо пряму, перпендикулярну до прямої TPTP, і позначимо через EE і FF точки її перетину з колом C2C_{2}. Доведіть, що C,D,EC, D, E і FF є вершинами прямокутника.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Балтійський шляхBW-1997-013

Центри описаних кіл і перпендикулярні прямі

П'ять різних точок A,B,C,DA, B, C, D і EE лежать на прямій, причому ∣AB∣=∣BC∣=∣CD∣=∣DE∣.|A B|=|B C|=|C D|=|D E|. Точка FF лежить поза цією прямою. Нехай GG — центр описаного кола трикутника ADFA D F, а HH — центр описаного кола трикутника BEFB E F. Доведіть, що прямі GHG H і FCF C перпендикулярні.
10–11 класиРадикальна вісь
Балтійський шляхBW-1991-015

Добуток відстаней між точками перетину трьох кіл

Трохи збільшимо три кола, що попарно дотикаються зовні, так, щоб виникли три пари точок перетину. Позначимо через A1,B1,C1A_{1}, B_{1}, C_{1} три так одержані «зовнішні» точки, а через A2,B2,C2A_{2}, B_{2}, C_{2} — відповідні «внутрішні» точки. Доведіть рівність ∣A1B2∣⋅∣B1C2∣⋅∣C1A2∣=∣A1C2∣⋅∣C1B2∣⋅∣B1A2∣.|A_{1} B_{2}| \cdot |B_{1} C_{2}| \cdot |C_{1} A_{2}| = |A_{1} C_{2}| \cdot |C_{1} B_{2}| \cdot |B_{1} A_{2}|.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-065

Відстань до середини у вписаній трапеції

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція, у якій CD>AB=4CD > AB = 4. Нехай EE — точка на прямій CDCD така, що DE=2DE = 2, причому DD лежить між EE і CC. Нехай MM — середина відрізка AE‾\overline{AE}. Відомо, що точки AA, BB, CC, DD і MM лежать на колі радіуса 55. Обчисліть довжину відрізка MDMD.
10–11 класиСиметрія
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-008

Гострокутний трикутник з основами перпендикулярів

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO, а DD — основа перпендикуляра з AA на пряму BCBC. Припустимо, що виконуються рівності ∠AOD=90∘\angle AOD = 90^\circ і OD=47OD = 4\sqrt{7}. Нехай EE і FF — основи перпендикулярів з DD на сторони ABAB і ACAC відповідно, а прямі AOAO і EFEF перетинаються в точці PP. Якщо AP=11AP = 11, знайдіть довжину відрізка EFEF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-046

Дотичні та коло через точки трикутника

Висоти гострокутного трикутника ABCABC перетинаються в точці HH. Дотична в точці AA до описаного кола трикутника AHBAHB перетинає пряму CHCH в точці KK. Дотична в точці AA до описаного кола трикутника AHCAHC перетинає пряму BHBH в точці LL. Доведіть, що точки BB, CC, KK, LL лежать на одному колі.
11 класДотична кола2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-053

Дотичні й середина відрізка точок дотику зовнівписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, а A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1} — точки дотику відповідно AA-зовнівписаного кола, позначеного ωA\omega_{A}, зі стороною BCBC та променями [AC)[AC) і [AB)[AB). Нехай PP — середина відрізка [B1C1][B_{1}C_{1}]. Пряма (A1P)(A_{1}P) вдруге перетинає коло ωA\omega_{A} у точці XX. Дотична до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA і дотична до кола ωA\omega_{A} у точці XX перетинаються в точці RR. Доведіть, що RX=RPRX = RP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-125

Хорда, розбита колами, що перетинаються

Нехай Ω\Omega і ω\omega — кола з радіусами 123123 і 6161 відповідно, такі, що центр кола Ω\Omega лежить на колі ω\omega. Хорда кола Ω\Omega розбивається колом ω\omega на три відрізки, довжини яких відносяться як 1:2:31:2:3 у такому порядку. Відомо, що ця хорда не є діаметром кола Ω\Omega. Обчисліть довжину цієї хорди.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-127

Коло, дотичне до бічної сторони трапеції

Нехай ABCDABCD — опукла трапеція, така, що ∠DAB=∠ABC=90∘\angle DAB = \angle ABC = 90^{\circ}, DA=2DA = 2, AB=3AB = 3 і BC=8BC = 8. Нехай ω\omega — коло, що проходить через AA і дотикається до відрізка CD‾\overline{CD} в точці TT. Припустімо, що центр кола ω\omega лежить на прямій BCBC. Обчисліть довжину відрізка CTCT.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-009

Гіпербола через центри трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник з центром описаного кола OO та симедіанною точкою KK. Нехай XX — точка на описаному колі трикутника BOCBOC така, що ∠AXO=90∘\angle AXO = 90^{\circ}. Припустимо, що X≠KX \neq K. Гіпербола, що проходить через B,C,O,KB, C, O, K і XX, перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках UU і VV, відмінних від BB і CC. Доведіть, що пряма UVUV — серединний перпендикуляр до відрізка AXAX. Симедіанна точка трикутника ABCABC — це перетин відображень BB-медіани та CC-медіани відносно бісектрис кутів ∠ABC\angle ABC та ∠ACB\angle ACB відповідно.
10–11 класиПроєктивна геометрія3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.