Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

294 задачі
КомбінаторикаСиметрія та розбиття на пари
Балтійський шляхBW-2004-010

Послідовність підмножин з умовою перетину

25 держав-членів Європейського Союзу створюють комітет з такими правилами: (1) комітет має засідати щодня; (2) на кожному засіданні має бути представлена принаймні одна держава-член; (3) на будь-яких двох різних засіданнях мають бути представлені різні множини держав-членів; та (4) на nn-му засіданні, для кожного k<nk < n, множина представлених держав має містити принаймні одну державу, яка була представлена на kk-му засіданні. Протягом скількох днів комітет може проводити свої засідання?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Балтійський шляхBW-2003-006

Підмножина без добутку двох різних елементів

Нехай XX — підмножина множини {1,2,3,…,10000}\{1,2,3, \ldots, 10000\} з такою властивістю: якщо a,b∈X,a≠ba, b \in X, a \neq b, то a⋅b∉Xa \cdot b \notin X. Яка найбільша можлива кількість елементів множини XX?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Балтійський шляхBW-1999-007

Обхід короля з парністю суміжності

Дві клітинки на 8×88 \times 8 шаховій дошці називаються суміжними, якщо вони мають спільну сторону або спільний кут. Чи може король почати з деякої клітинки й відвідати всі клітинки рівно по одному разу так, щоб усі ходи, крім першого, вели в клітинки, суміжні з парною кількістю вже відвіданих клітинок?
10–11 класиПарність і непарність
Балтійський шляхBW-1999-008

Пошук середньої монети порівнянням трійок

Дано 19991999 монет. Жодні дві монети не мають однакової ваги. Є машина, яка за одну операцію дозволяє для будь-яких трьох монет визначити, яка з них має середню вагу. Доведіть, що монету, яка є 10001000-ю за вагою, можна визначити, використавши не більше ніж 10000001000000 операцій, і що це єдина монета, чиє місце за вагою можна визначити за допомогою цієї машини.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Балтійський шляхBW-1997-015

Гра конем на дошці 5 на 5

На шаховій дошці 5×55 \times 5 двоє гравців грають у таку гру. Перший гравець ставить коня на деяку клітинку. Потім гравці по черзі ходять конем за шаховими правилами, починаючи з другого гравця. Не дозволяється ходити конем на клітинку, яка вже була відвідана. Гравець, який не може зробити хід, програє. Хто з двох гравців має виграшну стратегію?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Балтійський шляхBW-1996-015

Хрестики-нулики на нескінченній дошці

На нескінченній клітинній дошці двоє гравців по черзі позначають по одній непозначеній клітинці. Один із них використовує ×\times, інший — oo. Той, хто першим заповнить квадрат 2×22 \times 2 своїми символами, перемагає. Чи може гравець, який починає, завжди вигравати?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-077

Випадкові блукання зі злиттям на колі

Коло поділено на 4545 дуг, кожна довжиною 11. Спочатку є 1515 змій, кожна довжиною 11, які займають кожну третю дугу. Щосекунди кожна змія незалежно рухається на одну дугу вліво або на одну дугу вправо, кожен варіант з імовірністю 12\frac{1}{2}. Якщо дві змії коли-небудь торкнуться, вони зливаються в одну змію, яка займає дуги обох попередніх змій, і злита змія рухається як одна змія. Обчисліть математичне сподівання кількості секунд до моменту, коли залишиться лише одна змія.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-003

Кількість незвідних многочленів за десятизначними числами

Нехай NN — кількість натуральних чисел із 10 цифр d9d8⋯d1d0‾\overline{d_{9} d_{8} \cdots d_{1} d_{0}} у десятковому записі (де 0≤di≤90 \leq d_{i} \leq 9 для всіх ii і d9>0d_{9}>0), для яких многочлен d9x9+d8x8+⋯+d1x+d0d_{9} x^{9}+d_{8} x^{8}+\cdots+d_{1} x+d_{0} є незвідним над Q\mathbb{Q}. Доведіть, що NN — парне. (Многочлен є незвідним над Q\mathbb{Q}, якщо його не можна розкласти в добуток двох несталих многочленів з раціональними коефіцієнтами.)
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-012

Гра з цукерками з ходами за віком

Сьогодні, 23 вересня 2023 року, близнюки Марі та Юрі отримали загалом 50005000 цукерок на свій 1010-й день народження. Починаючи з цього дня, мама дозволяє їм обом брати цукерки раз на день так, щоб кількість цукерок, взятих будь-якою дитиною будь-якого дня, була меншою за їхній вік у повних роках (у день народження вони вже використовують свій новий вік). Жодна дитина не може втриматися, щоб не взяти хоча б одну цукерку щодня. Юрі дозволяє Марі брати цукерки першою кожного дня. Діти домовилися, що той, хто візьме останню цукерку, муситиме купувати нові цукерки. Яка дитина може забезпечити собі, що їй не доведеться купувати нові цукерки, незалежно від того, як братиме цукерки інша дитина?
8–10 класиСиметрія та розбиття на пари
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-035

Розфарбування сітки з обмеженням на сусідні клітинки

Юку та Міку грають у таку гру на дошці розміром n×mn \times m: спочатку всі одиничні клітинки білі. Кожен гравець своїм ходом фарбує одну білу одиничну клітинку на власний вибір у червоний або синій колір, але жодні дві одиничні клітинки зі спільною стороною або спільною вершиною не можна фарбувати в той самий колір. Гравці ходять по черзі, причому починає Юку. Гравець, який не може зробити дозволений хід, програв. Чи може Юку виграти гру незалежно від того, як гратиме Міку, якщо: a) n=2023n = 2023 і m=2023m = 2023; b) n=2023n = 2023 і m=2024m = 2024; c) n=2024n = 2024 і m=2024m = 2024?
8 класСиметрія та розбиття на пари
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-045

Сума квадратів синусів по колу

Нехай nn — натуральне число, що ділиться на 44. Доведіть, що sin⁡2(1⋅360∘n)+sin⁡2(2⋅360∘n)+sin⁡2(3⋅360∘n)+⋯+sin⁡2(n⋅360∘n)=n2.\sin^2\left(1 \cdot \frac{360^\circ}{n}\right) + \sin^2\left(2 \cdot \frac{360^\circ}{n}\right) + \sin^2\left(3 \cdot \frac{360^\circ}{n}\right) + \dots + \sin^2\left(n \cdot \frac{360^\circ}{n}\right) = \frac{n}{2}.
11 класПеретворення тригонометричних вир…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-002

Цілі числа, різниця квадрата яких — квадрат

Обчисліть суму всіх цілих чисел nn таких, що n2−3000n^{2}-3000 є повним квадратом.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-106

Потрійна сума з цілою частиною

Обчисліть ∑i=14∑t=14∑e=14⌊ite5⌋\sum_{i=1}^{4} \sum_{t=1}^{4} \sum_{e=1}^{4}\left\lfloor\frac{i t e}{5}\right\rfloor
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-091

Сума цифр чисел, кратних 9

Альберт записує всі числа, кратні 99, від 99 до 999999 включно. Обчисліть суму записаних ним цифр.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-101

Максимальна кількість ходів для прибирання машинок з дошки

На кожній клітинці дошки 200×200200 \times 200 стоїть машинка, яка дивиться на північ, південь, схід або захід. За один хід обирають машинку, перед якою безпосередньо немає іншої машинки, і зсувають її на одну клітинку вперед. Якщо хід мав би вивести машинку за межі дошки, машинку натомість прибирають. Машинки розставлено так, що існує послідовність ходів, яка зрештою прибирає всі машинки з дошки. Серед усіх таких початкових розставлень визначте найбільшу можливу кількість ходів, за яку це можна зробити.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-064

Очікуваний об’єм після випадкових змін вимірів

Прямокутний паралелепіпед із чудо-порошку має розміри 20×24×2520 \times 24 \times 25. Чарівник Джеррі застосовує до коробки 10 сеансів гідроксиляції, кожен з яких збільшує один вимір чудо-порошку на 1 і зменшує інший його вимір на 1, причому кожен можливий вибір вимірів рівноймовірний і незалежний від усіх попередніх виборів. Обчисліть математичне сподівання об’єму чудо-порошку після процедури Джеррі.
10–11 класиІнші інваріанти
Відбіркові тести на IMOTST-2024-002

Середнє дільників і взаємно простих чисел

Для натурального числа nn визначимо α(n)\alpha(n) як середнє арифметичне всіх додатних дільників числа nn, а β(n)\beta(n) — як середнє арифметичне всіх натуральних чисел k≤nk \le n таких, що НСД(k,n)=1\text{НСД}(k, n) = 1. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких α(n)=β(n)\alpha(n) = \beta(n).
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові тести на IMOTST-2024-010

Двійкова гра на дошці з подільністю на 4 і на 3

Гравець Зеро та гравець Ван грають у гру на дошці n×nn \times n (n≥1)(n \geq 1). Стовпці цієї дошки n×nn \times n пронумеровано степенями двійки, тобто маємо стовпець 1, стовпець 2, стовпець 4 аж до стовпця 2n−12^{n-1}. По черзі гравці ставлять своє власне число (тобто Зеро — 0, а Ван — 1) в одну з порожніх клітинок. Починає гравець Зеро. Коли дошка заповнена, гра закінчується, і в кожному рядку утворюється (обернене двійкове) число додаванням значень клітинок, у яких стоїть 1. Тобто якщо n=4n=4, то рядку з 0101 відповідає число 0⋅1+1⋅2+0⋅4+1⋅8=100 \cdot 1+1 \cdot 2+0 \cdot 4+1 \cdot 8=10. a) Для яких натуральних чисел nn гравець Ван завжди може забезпечити, що принаймні один із рядків ділиться на 4? б) А для яких натуральних чисел nn гравець Ван завжди може забезпечити, що принаймні один із рядків ділиться на 3?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Відбіркові тести на IMOTST-2024-008

Гра на дошці з двійковими вагами

Гравець Нуль і гравець Один грають у гру на дошці n×nn \times n (n≥1n \ge 1). Стовпці цієї дошки n×nn \times n пронумеровано степенями двійки, тож маємо стовпець 1, стовпець 2, стовпець 4 аж до стовпця 2n−12^{n-1}. По черзі гравці ставлять своє число (тобто Нуль — 0, а Один — 1) в одну з порожніх клітинок. Починає гравець Нуль. Коли дошка заповнена, гра закінчується, і в кожному рядку утворюється (обернено-двійкове) число додаванням значень клітинок, у яких стоїть 1. Так, якщо n=4n = 4, то рядок з 0101 містить число 0⋅1+1⋅2+0⋅4+1⋅8=100 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 8 = 10. a) Для яких натуральних чисел nn гравець Один завжди може забезпечити, що принаймні один з рядків ділиться на 4? b) А для яких натуральних чисел nn гравець Один завжди може забезпечити, що принаймні один з рядків ділиться на 3?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2023-004

Гра на суму діагоналей X-діаграми

Ара та Беа грають у гру, де по черзі поміщають числа від 11 до 55 у клітинки XX-подібної діаграми праворуч. Кожне число має бути використане рівно один раз, і в одній клітинці не може бути більше одного числа. Мета Ари полягає в тому, щоб дві діагоналі XX-діаграми мали однакову суму після закінчення гри; мета Беа полягає в тому, щоб ці дві суми були нерівними. a) Покажіть, що Ара завжди може виграти, якщо він ходить першим. b) Покажіть, що Беа завжди може виграти, якщо вона ходить першою.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-058

Блокування червоних квадратів 2×2 у грі на дошці

Німата й Таніма грають у гру на шахівниці 8×88 \times 8. По черзі, починаючи з Німати, кожен гравець вибирає клітинку, яку ще не вибрано, і зафарбовує її у свій колір (червоний для Німати, синій для Таніми). Доведіть, що Таніма завжди може домогтися того, щоб Німата не змогла зафарбувати жоден квадрат 2×22 \times 2 повністю в червоний колір.
8–10 класиСиметрія та розбиття на пари
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-016

Гра зі зростаючими стрибками на квадраті

Чарівники Альбус і Браян грають у гру на квадраті зі стороною 2n+12n+1 метрів, оточеному лавою. У центрі квадрата сидить жаба. За хід чарівник обирає напрям, паралельний стороні квадрата, і зачаровує жабу. Це змушує жабу стрибнути на dd метрів в обраному напрямі, де dd спочатку дорівнює 11 і збільшується на 11 після кожного стрибка. Чарівник, який відправить жабу в лаву, програє. Альбус починає, і вони ходять по черзі. Залежно від nn визначте, який чарівник має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-109

Площі у грі на вершинах восьмикутника

Правильний восьмикутник вписано в коло радіуса 22. Аліса і Боб грають у гру, по черзі вибираючи собі вершини восьмикутника, причому першою ходить Аліса. Гравець перемагає, щойно обрані ним три точки утворять прямий кут. Якщо всі точки вже вибрано, а жоден із гравців не переміг, гра закінчується внічию. Вважаючи, що обидва гравці грають оптимально, знайдіть усі можливі площі опуклого многокутника, утвореного точками Аліси наприкінці гри.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-047

Квадратичні лишки, упорядковані за остачею

Знайдіть кількість пар цілих чисел (a,b)(a, b), для яких 1≤a<b≤571 \leq a < b \leq 57, а a2a^{2} має меншу остачу, ніж b2b^{2}, при діленні на 5757.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2022-009

Групові фото та розподіл по кімнатах

Клас із n≥2n \geq 2 дітей робить кілька групових фотографій. Для кожної групи, що складається принаймні з однієї дитини, існує рівно одна фотографія, на якій зображено саме цю групу. Фотографії потім розвішують у різних кімнатах школи так, щоб кожна дитина була зображена не більш ніж на одному фото в кожній кімнаті. a. Доведіть, що це можливо, якщо школа має 2n−12^{n-1} кімнат. b. Доведіть, що це неможливо, якщо школа має менше ніж 2n−12^{n-1} кімнат.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.