Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 538 задач
Теорія чиселТеорія подільності, основні поняття
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-033

Найменша кількість чорних трикутників у тріангуляції

Нехай nn — ціле число, n≥3n \ge 3. Розглянемо всі розбиття опуклого nn-кутника на трикутники за допомогою n−3n-3 діагоналей, які не мають спільних точок усередині многокутника, та всі розфарбування трикутників у чорний і білий кольори так, щоб трикутники зі спільною стороною завжди були різного кольору. Знайдіть найменшу можливу кількість чорних трикутників.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-040

Число з двома різними цифрами, кратне 2010

Доведіть, що існує ціле число, яке ділиться на 20102010 і десятковий запис якого містить рівно дві різні цифри.
10–11 класиТеорема Ейлера2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-044

Квадрати лише з непарних цифр

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що десятковий запис числа n2n^2 складається лише з непарних цифр.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-045

Розбиття послідовних чисел на дві частини з рівними добутками

З'ясуйте, чи існує множина з 88 послідовних натуральних чисел, яку можна розбити на дві підмножини з однаковими добутками елементів.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-046

Ходи на гратчастій дошці з фіксованою відстанню

Нехай rr — натуральне число. На прямокутній дошці, поділеній на 20×1220 \times 12 одиничних клітинок, відбувається така гра. Дозволено переміщати фішку з однієї клітинки в іншу, якщо відстань між (центрами) цих клітинок дорівнює r\sqrt{r}. Мета — знайти послідовність ходів, що веде з лівої нижньої кутової клітинки в праву нижню кутову клітинку. a) Покажіть, що мети неможливо досягти, якщо rr ділиться на 2 або на 3. b) Доведіть, що мети можна досягти, якщо r=73r = 73. c) Чи існує якийсь розв’язок, якщо r=97r = 97?
10–11 класиПарність та непарність
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-007

Прапори з одноколірною діагоналлю

На деякій планеті є 2N2^{N} країн (N≥4)(N \geq 4). Кожна країна має прапор NN одиниць завширшки та одну одиницю заввишки, складений із NN полів розміру 1×11 \times 1, кожне з яких або жовте, або синє. Жодні дві країни не мають однакового прапора. Будемо казати, що множина з NN прапорів є різноманітною, якщо ці прапори можна розташувати у квадрат N×NN \times N так, щоб усі NN полів на його головній діагоналі були одного кольору. Знайдіть найменше натуральне число MM таке, що серед будь-яких MM різних прапорів знайдуться NN прапорів, які утворюють різноманітну множину.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-002

Рекурентна послідовність з невід'ємними частковими сумами

Послідовність x1,x2,…x_{1}, x_{2}, \ldots визначено умовами x1=1x_{1}=1 та x2k=−xkx_{2k}=-x_{k}, x2k−1=(−1)k+1xkx_{2k-1}=(-1)^{k+1} x_{k} для всіх k≥1k \geq 1. Доведіть, що x1+x2+⋯+xn≥0x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \geq 0 для всіх n≥1n \geq 1.
10–11 класиМетод математичної індукції2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-010

Хороші пари кубічних многочленів

Нехай a,ba, b — цілі числа, і нехай P(x)=ax3+bxP(x) = a x^{3} + b x. Для будь-якого натурального числа nn кажемо, що пара (a,b)(a, b) є nn-хорошою, якщо з n∣P(m)−P(k)n \mid P(m) - P(k) випливає n∣m−kn \mid m - k для всіх цілих чисел m,km, k. Кажемо, що (a,b)(a, b) є дуже хорошою, якщо (a,b)(a, b) є nn-хорошою для нескінченно багатьох натуральних чисел nn. a. Знайдіть пару (a,b)(a, b), яка є 5151-хорошою, але не є дуже хорошою. b. Доведіть, що всі 20102010-хороші пари є дуже хорошими.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-008

Покриття цілих чисел арифметичними прогресіями

Нехай P1,…,PsP_{1}, \ldots, P_{s} — арифметичні прогресії цілих чисел, які задовольняють такі умови: (i) кожне ціле число належить принаймні одній з них; (ii) кожна прогресія містить число, яке не належить іншим прогресіям. Позначимо через nn найменше спільне кратне кроків цих прогресій; нехай n=p1α1…pkαkn=p_{1}^{\alpha_{1}} \ldots p_{k}^{\alpha_{k}} — його розклад на прості множники. Доведіть, що s≥1+∑i=1kαi(pi−1)s \geq 1+\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i}\left(p_{i}-1\right)
10–11 класиКласичні теореми теорії графів2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2010-003

Кнопки і лампочки: встановлення відповідності

Перед Лаурою 20102010 лампочок, з'єднаних із 20102010 кнопками. Для кожної кнопки вона хоче знати відповідну лампочку. Для цього вона спостерігає, які лампочки світяться, коли Річард натискає певний набір кнопок. (Не натискати нічого — теж можливий набір.) Річард завжди натискає кнопки одночасно, тож лампочки теж світяться одночасно. а) Якщо Річард вибирає кнопки, які треба натискати, яка найбільша кількість різних комбінацій кнопок, які він може натиснути, доки Лаура не зможе правильно зіставити кнопки з лампочками? б) Якщо ж Лаура вибиратиме комбінації кнопок, які треба натискати, яка найменша кількість спроб, яку їй доведеться зробити, доки вона не зможе правильно зіставити кнопки з лампочками?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-003

Функції Єнсена та середні багатьох змінних

Знайдіть усі натуральні числа nn з такою властивістю. Кожна функція f:R→Rf: \mathbf{R} \to \mathbf{R} така, що f(a+b2)=f(a)+f(b)2для всіх a,b∈R,f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \frac{f(a)+f(b)}{2} \quad \text{для всіх } a, b \in \mathbf{R}, задовольняє також умову f(x1+x2+⋯+xnn)=f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)nf\left(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\right) = \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n} для всіх x1,x2,…,xn∈Rx_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbf{R}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-023

Максимальна множина з обмеженими попарними сумами

Знайдіть найбільше nn, для якого існує множина з nn чисел таких, що ці числа не діляться на 77, 1111 і 1313, але сума будь-яких двох з них ділиться або на 77, або на 1111, або на 1313.
10–11 класиДвочасткові графи
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-025

Різні ідентифікатори міст у повному графі

Нехай n>2n > 2 — натуральне число. У країні є nn міст, і кожні два з них сполучені прямою дорогою. Пронумеруємо дороги числами 1,2,…,m1, 2, \ldots, m (можна присвоювати те саме число кільком дорогам, навіть якщо вони виходять з того самого міста), де mm — натуральне число. ID міста — це сума чисел, приписаних дорогам, що виходять з нього. Знайдіть найменше mm, для якого можна так пронумерувати дороги, щоб ID усіх міст були попарно різними.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-037

НСД різниць степенів

Нехай aa, bb і nn — натуральні числа, причому НСД(a,b)=2009\text{НСД}(a, b) = 2009. Доведіть, що НСД(na−1,nb−1)=n2009−1.\text{НСД}(n^a - 1, n^b - 1) = n^{2009} - 1.
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-038

Розбиття послідовних чисел з рівними добутками

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує розбиття множини {n,n+1,n+2,…,n+8}\{n, n+1, n+2, \dots, n+8\} на дві підмножини таке, що добуток усіх елементів першої підмножини збігається з добутком усіх елементів другої підмножини.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2009-006

Порядок стрибків коника поза точками множини M

Дані попарно різні натуральні числа a1a_1, a2a_2,..., ana_n, а також множина MM, яка складається з (n−1)(n - 1) натурального числа, але не містить число s=a1+a2+...+ans = a_1 + a_2 + ... + a_n. Коник має зробити nn стрибків праворуч вздовж числової прямої, починаючи з точки з координатою 00. При цьому довжини його стрибків мають дорівнювати числам a1a_1, a2a_2,..., ana_n, узятим у деякому порядку. Доведіть, що цей порядок можна вибрати таким чином, щоб коник жодного разу не приземлився у точці, яка має координату з множини MM.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-014

Орієнтований граф із модульною умовою на ребра

Соціальний клуб має nn членів. Вони мають членські номери 1,2,…,n1, 2, \ldots, n відповідно. Час від часу члени надсилають подарунки іншим членам, у тому числі речі, які вони вже отримали як подарунки від інших членів. Щоб уникнути незручної ситуації, коли член може отримати подарунок, який він сам надсилав іншим членам, клуб на одних зі своїх щорічних загальних зборів додає до статуту таке правило: «Член із членським номером aa може надіслати подарунок членові із членським номером bb тоді й лише тоді, коли a(b−1)a(b-1) кратне nn.» Доведіть, що якщо кожен член дотримується цього правила, то ніхто не отримає від іншого члена подарунок, який він сам уже надсилав іншим членам. Інше формулювання: Нехай GG — орієнтований граф з nn вершинами v1,v2,…,vnv_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}, такий, що ребро з vav_{a} до vbv_{b} існує тоді й лише тоді, коли aa і bb різні та a(b−1)a(b-1) кратне nn. Доведіть, що цей граф не містить орієнтованого циклу.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-009

Симетрія рекурентно заданих послідовностей

Нехай nn — натуральне число. Задано послідовність ε1,…,εn−1\varepsilon_{1}, \ldots, \varepsilon_{n-1}, де εi=0\varepsilon_{i}=0 або εi=1\varepsilon_{i}=1 для кожного i=1,…,n−1i=1, \ldots, n-1; послідовності a0,…,ana_{0}, \ldots, a_{n} і b0,…,bnb_{0}, \ldots, b_{n} будуються за такими правилами: a0=b0=1,a1=b1=7ai+1={2ai−1+3ai, якщо εi=0,3ai−1+ai, якщо εi=1, для кожного i=1,…,n−1,bi+1={2bi−1+3bi, якщо εn−i=0,3bi−1+bi, якщо εn−i=1, для кожного i=1,…,n−1\begin{gathered} a_{0}=b_{0}=1, \quad a_{1}=b_{1}=7 \\ a_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll} 2 a_{i-1}+3 a_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{i}=0, \\ 3 a_{i-1}+a_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{i}=1, \end{array}\right. \quad \text{ для кожного } i=1, \ldots, n-1, \\ b_{i+1}=\left\{\begin{array}{ll} 2 b_{i-1}+3 b_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{n-i}=0, \\ 3 b_{i-1}+b_{i}, & \text{ якщо } \varepsilon_{n-i}=1, \end{array}\right. \text{ для кожного } i=1, \ldots, n-1 \end{gathered} Доведіть, що an=bna_{n}=b_{n}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист IMOIMOSL-2009-013

Функція розбиття і подвоєння цифр

Для будь-якого цілого n≥2n \geq 2 обчислюємо ціле число h(n)h(n), застосовуючи таку процедуру до його десяткового запису. Нехай rr — остання (крайня права) цифра числа nn. (1) Якщо r=0r=0, то десятковий запис числа h(n)h(n) одержується з десяткового запису числа nn вилученням цієї останньої (крайньої правої) цифри 00. (2) Якщо 1≤r≤91 \leq r \leq 9, розбиваємо десятковий запис числа nn на максимальну праву частину RR, що складається лише з цифр, не менших за rr, і на ліву частину LL, яка або порожня, або закінчується цифрою, строго меншою за rr. Тоді десятковий запис числа h(n)h(n) складається з десяткового запису LL, за яким ідуть дві копії десяткового запису R−1R-1. Наприклад, для числа n=17,151,345,543n=17,151,345,543 матимемо L=17,151L=17,151, R=345,543R=345,543 і h(n)=17,151,345,542,345,542h(n)=17,151,345,542,345,542. Доведіть, що, починаючи з довільного цілого n≥2n \geq 2, ітероване застосування hh дає ціле число 11 за скінченну кількість кроків.
10–11 класиНапівінваріанти3 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2009-002

Вільний член у розкладі многочлена на множники

На вицвілому аркуші паперу можна, доклавши зусиль, розібрати таке: (x2+x+a)(x15−…)=x17+x13+x5−90x4+x−90\left(x^{2}+x+a\right)\left(x^{15}-\ldots\right)=x^{17}+x^{13}+x^{5}-90 x^{4}+x-90 Деякі частини втрачено: частково вільний член першого множника в лівій частині, частково основна частина другого множника. Можна було б відновити многочлен, що утворює другий множник, але ми обмежимося запитанням: чому дорівнює значення вільного члена aa? Ми припускаємо, що усі многочлени в наведеній вище рівності мають лише цілі коефіцієнти.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Балтійський шляхBW-2008-003

Многочлен з цілими коефіцієнтами і п'ятьма значеннями 5

Многочлен PP має цілі коефіцієнти і P(x)=5P(x)=5 для п'яти різних цілих xx. Доведіть, що не існує цілого xx такого, що −6≤P(x)≤4-6 \leq P(x) \leq 4 або 6≤P(x)≤166 \leq P(x) \leq 16.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Балтійський шляхBW-2008-006

Пари єгипетських дробів для 3/2008

Скільки пар (m,n)(m, n) натуральних чисел, де m<nm < n, задовольняють рівняння 32008=1m+1n?\frac{3}{2008} = \frac{1}{m} + \frac{1}{n} ?
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Балтійський шляхBW-2008-007

Множина чисел із добутком-повним квадратом

Розглянемо множину AA натуральних чисел таку, що найменший елемент множини AA дорівнює 10011001, а добуток усіх елементів множини AA є повним квадратом. Яке найменше можливе значення найбільшого елемента множини AA?
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Балтійський шляхBW-2008-010

Підмножина без суми 169 містить повний квадрат

Розглянемо підмножину AA з 84 елементів множини {1,2,…,169}\{1,2, \ldots, 169\} таку, що жодні два її елементи в сумі не дають 169. Доведіть, що AA містить повний квадрат.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-011

Рівність цілих чисел із симетричних степенів

Нехай nn — натуральне число, а pp — просте число. Доведіть, що якщо a,b,ca, b, c — цілі числа (не обов’язково додатні), які задовольняють рівняння an+pb=bn+pc=cn+pa,a^{n}+p b=b^{n}+p c=c^{n}+p a, то a=b=ca=b=c.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.