Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Відбіркові тести на IMOTST-2011-007

Перпендикулярність із колом і паралельними прямими

Пряма gg перетинає коло kk у точках AA і BB. Серединний перпендикуляр до відрізка ABA B перетинає kk ще раз у точках CC і DD. Нехай тепер PP — ще одна точка на прямій gg, що лежить поза колом kk. Прямі, паралельні до CAC A і CBC B, проведені через PP, перетинають прямі CBC B і CAC A у точках XX і YY. Доведіть, що пряма XYX Y перпендикулярна до прямої PDP D.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-014

Дотична з центра до описаного кола

Нехай Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — два кола, що перетинаються, з центрами відповідно O1O_{1} і O2O_{2}, такі, що Γ2\Gamma_{2} перетинає відрізок O1O2O_{1} O_{2} в точці AA. Точки перетину кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} — це CC і DD. Пряма ADA D перетинає Γ1\Gamma_{1} вдруге в точці SS. Пряма CSC S перетинає O1O2O_{1} O_{2} в точці FF. Нехай Γ3\Gamma_{3} — описане коло трикутника ADFA D F. Позначимо через EE другу точку перетину кіл Γ1\Gamma_{1} і Γ3\Gamma_{3}. Доведіть, що пряма O1EO_{1} E дотикається до кола Γ3\Gamma_{3}.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2011-013

Кола, що перетинаються, і дотична хорда

Кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} перетинаються в точках DD і PP. Спільна дотична до цих двох кіл, найближча до точки DD, дотикається до кола Γ1\Gamma_{1} в точці AA і до кола Γ2\Gamma_{2} в точці BB. Пряма ADA D перетинає Γ2\Gamma_{2} вдруге в точці CC. Нехай MM — середина відрізка BCB C. Доведіть, що ∠DPM=∠BDC\angle D P M=\angle B D C.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2011-024

Трапеція з перетином бісектрис

Дано трапецію ABCDA B C D, у якій BC∥ADB C \| A D. Припустімо, що бісектриси кутів BADB A D і CDAC D A перетинаються на серединному перпендикулярі до відрізка BCB C. Доведіть, що ∣AB∣=∣CD∣|A B|=|C D| або ∣AB∣+∣CD∣=∣AD∣|A B|+|C D|=|A D|.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2011-030

Конкурентність прямих і спільний інцентр у трикутнику

Нехай ABCABC — гострокутний різносторонній трикутник, вписаний у коло Ω\Omega. Коло ω\omega з центром OO проходить через BB і CC та перетинає сторони ABAB і ACAC в точках EE і DD відповідно. Точка PP лежить на більшій дузі BAC^\widehat{BAC} кола Ω\Omega. Доведіть, що прямі BDBD, CECE, OPOP перетинаються в одній точці тоді й лише тоді, коли трикутники PBDPBD і PCEPCE мають спільний інцентр.
10–11 класиРадикальна вісь2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-035

Дотична до описаного кола в трикутнику

У трикутнику ABCA B C, у якому AB≠ACA B \neq A C, нехай DD — проєкція точки AA на пряму BCB C. Крім того, нехай E,FE, F — середини відрізків ADA D та BCB C відповідно, а GG — проєкція точки BB на пряму AFA F. Доведіть, що пряма EFE F є дотичною в точці FF до описаного кола трикутника GFCG F C.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-005

Довжина дугової планки між сусідніми штабинами

Коваль виготовляє горизонтальну залізну огорожу, утворену з багатьох вертикальних паралельних між собою штабин, кожна з яких розміщена на відстані 18 см18~\text{см} від двох сусідніх. Коваль з'єднує кінці кожної пари сусідніх штабин вигнутою планкою у вигляді дуги кола, що лежить у площині штабин, найвища точка якої розташована на відстані 33 см3 \sqrt{3}~\text{см} від прямої (показаної штриховою лінією на рисунку), яка проходить через верхні кінці всіх штабин і перпендикулярна до самих штабин. Яка довжина кожної з планочок, використаних для побудови арок? (A) 8π(3−1) см8 \pi(\sqrt{3}-1)~\text{см} (B) 6π3 см6 \pi \sqrt{3}~\text{см} (C) 12π(3−1) см12 \pi(\sqrt{3}-1)~\text{см} (D) 4π3 см4 \pi \sqrt{3}~\text{см} (E) 8π3 см8 \pi \sqrt{3}~\text{см}.
9–11 класиМетричні співвідношення в колі
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-016

Найбільший кут з точки на промені

З точки LL виходять дві прямолінійні дороги, що утворюють гострий кут α\alpha. Вздовж однієї з двох доріг стоять два ліхтарі, розташовані в PP і QQ, такі, що LP=40 мL P=40~\text{м} і LQ=90 мL Q=90~\text{м}. Єва перебуває в EE на іншій дорозі й бачить два ліхтарі під кутом PE^QP \widehat{E} Q. На якій відстані від LL перебуває Єва, якщо PE^QP \widehat{E} Q має найбільшу можливу величину? (A) 40 м40~\text{м} (B) 60 м60~\text{м} (C) 65 м65~\text{м} (D) 90 м90~\text{м} (E) відстань залежить від α\alpha.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-002

Вписаний чотирикутник із середин висот трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а D,ED, E — основи висот, проведених з A,BA, B. Нехай A′A' — середина висоти ADAD, B′B' — середина висоти BEBE. Пряма CA′CA' перетинає BEBE в XX, CB′CB' перетинає ADAD в YY. Доведіть, що існує коло, яке проходить через точки A′,B′,X,YA', B', X, Y.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-012

Паралельні сторони вписаного шестикутника

Шестикутник ABCDEFABCDEF вписано в коло. Якщо сторони ABAB і DEDE паралельні, а також сторони BCBC і EFEF паралельні, доведіть, що сторони CDCD і FAFA також паралельні.
7–9 класиЦентральні і вписані кути
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-014

Рівні відрізки з побудови з ортоцентром

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а DD — перетин двох прямих AHAH, BCBC. Нехай EE — точка перетину описаного кола трикутника ABDABD і прямої CHCH, що лежить поза трикутником ABCABC. А нехай FF — точка перетину описаного кола трикутника ACDACD і прямої BHBH, що лежить поза трикутником ABCABC. Доведіть, що відрізки AEAE і AFAF мають однакову довжину.
7–9 класиСтепінь точки відносно кола
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-007

Площа трикутника ABQ для двох прямокутних трикутників

Нехай трикутники ABCABC і PQRPQR — прямокутні рівнобедрені з ∠ACB=∠PQR=90∘\angle ACB = \angle PQR = 90^\circ і AB=5AB = 5, PR=3PR = 3. Припустимо далі, що 3 точки A,P,QA, P, Q лежать на одній прямій у вказаному порядку, те саме справджується для 3 точок B,Q,RB, Q, R, а також для 3 точок R,C,PR, C, P. Знайдіть площу трикутника ABQABQ. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-011

Інцентр і центр описаного кола під прямим кутом

Нехай II і OO — відповідно інцентр і центр описаного кола трикутника ABCABC. Якщо AB=2AB = 2, AC=3AC = 3 і ∠AIO=90∘\angle AIO = 90^\circ, чому дорівнює площа трикутника ABCABC? Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-013

Перпендикуляр з ортоцентра на медіану

Нехай HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а MM — середина сторони BCBC. Нехай PP — точка перетину прямої AMAM і прямої, що проходить через HH та перпендикулярна до прямої AMAM. Доведіть, що виконується рівність AM⋅PM=BM2AM \cdot PM = BM^2. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-004

Сектор круга з рівними відрізками

Нехай OABOAB — сектор круга з центром OO, як на рисунку нижче. Точка QQ вибрана на хорді ABAB. Нехай PP — точка перетину дуги кругового сектора та прямої OQOQ. Якщо AQ=5AQ = 5, BQ=6BQ = 6, OQ=PQOQ = PQ, знайдіть значення радіуса цього сектора. Тут для відрізка XYXY його довжину також позначено через XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-015

Конгруентні трикутники з рівними вписаними колами

На площині лежать 4 точки так, що жодні 3 з них не лежать на одній прямій. Розглянемо 4 трикутники, утворені 3 із 4 заданих точок. Якщо радіуси 4 вписаних кіл цих 4 трикутників мають однакову довжину, доведіть, що всі ці трикутники рівні.
10–11 класиВписане коло
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-001

Рівні відрізки та середина сторони в гострокутному трикутнику

Нехай PP — точка на стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC. Нехай HH — ортоцентр △ABC\triangle ABC, а DD — основа перпендикуляра з HH на пряму APAP. Нехай Γ1,Γ2\Gamma_1, \Gamma_2 — описані кола △ABD,△ACD\triangle ABD, \triangle ACD відповідно. Нехай ll — пряма, паралельна стороні BCBC, що проходить через DD. Пряма ll перетинає Γ1\Gamma_1 і Γ2\Gamma_2 у точках XX і YY, відмінних від DD, відповідно. Пряма ll перетинає ABAB і ACAC у точках EE і FF відповідно. Дві прямі XBXB і YCYC перетинаються в точці ZZ. Доведіть, що BP=CPBP = CP тоді й лише тоді, коли ZE=ZFZE = ZF.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-005

Бісектриси кутів перетинаються на стороні трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а HH — його ортоцентр. Нехай DD — перетин прямих BHBH і ACAC, а EE — перетин прямих CHCH і ABAB. Описане коло трикутника ADEADE перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці F≠AF \neq A. Доведіть, що бісектриси кутів ∠BFC\angle BFC і ∠BHC\angle BHC перетинаються в точці на прямій BCBC.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2010-001

Відстані від точки до дотичних і хорди

Нехай AA, BB, PP — три точки на колі. Доведіть, що якщо aa і bb — відстані від PP до дотичних у точках AA і BB, а cc — відстань від PP до хорди ABAB, то c2=abc^2 = ab.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2010-003

Дотична з вершини квадрата до кола

Дано квадрат ABCDABCD з описаним колом Γ1\Gamma_{1}. Нехай PP — точка на дузі ACAC, на якій також лежить BB. Коло Γ2\Gamma_{2} дотикається внутрішньо до кола Γ1\Gamma_{1} в точці PP і, крім того, дотикається до діагоналі ACAC в точці QQ. Нехай RR — точка на колі Γ2\Gamma_{2} така, що пряма DRDR дотикається до кола Γ2\Gamma_{2}. Доведіть, що ∣DR∣=∣DA∣|DR| = |DA|.
10–11 класиГомотерія і подібність
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-009

Опуклий чотирикутник з рівними сторонами та умовами на кути

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD з ∣AD∣=∣BD∣=∣CD∣|AD| = |BD| = |CD| і ∠ADB=∠DCA\angle ADB = \angle DCA, ∠CBD=∠BAC\angle CBD = \angle BAC, знайдіть величини кутів чотирикутника. (Молодша група.)
8–10 класиРівнобедрений та рівносторонній т…2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-017

Коло через центри трикутника

Коло cc проходить через вершини AA і BB рівнобедреного трикутника ABCABC, причому пряма ACAC дотикається до нього. Доведіть, що коло cc проходить через центр описаного кола або центр вписаного кола або ортоцентр трикутника ABCABC. (Старша ліга.)
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-102

Найбільша відстань у фігурі з шестикутника й півкола

На рисунку нижче правильний шестикутник зі стороною 11 приєднано до півкола діаметром 11. Яка найбільша відстань між будь-якими двома точками фігури?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-137

Об'єднання півкругів діаметра 2 на осях

Для 0≤y≤20 \leq y \leq 2 нехай DyD_{y} — півкруг діаметра 22 з одним кінцем у точці (0,y)(0, y), другим кінцем на додатній частині xx-осі, причому криволінійна межа розташована далі від початку координат, ніж прямолінійна. Знайдіть площу об'єднання півкругів DyD_{y} для всіх 0≤y≤20 \leq y \leq 2.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-072

Шестикутник із трикутника дотичними до вписаного кола

У трикутнику ABCA B C маємо AB=5A B=5, BC=7B C=7 і CA=8C A=8. Проведено нові прямі, паралельні до сторін ABA B, BCB C і CAC A, які з ними не збігаються, дотичні до вписаного кола трикутника ABCA B C. Чому дорівнює площа шестикутника, утвореного сторонами вихідного трикутника та новопроведеними прямими?
10–11 класиПлощі подібних фігур

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.