Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-001

Відношення сторін до хорд дотичного трикутника

Дано довільний трикутник ABCABC з площею TT і периметром LL. Нехай PP, QQ, RR — точки дотику вписаного кола до сторін BCBC, CACA, ABAB відповідно. Доведіть нерівність (ABPQ)3+(BCQR)3+(CARP)3≥23⋅L2T\left(\frac{AB}{PQ}\right)^3 + \left(\frac{BC}{QR}\right)^3 + \left(\frac{CA}{RP}\right)^3 \geq \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{L^2}{T}
10–11 класиІнші класичні нерівності
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-005

Циклічний чотирикутник із центрів трикутника

Нехай II, OO, HH — відповідно інцентр, центр описаного кола й ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC, а вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC дотикається до сторони BCBC в точці DD. Припустимо, що ∠B<∠C\angle B < \angle C, а пряма AOAO паралельна прямій HDHD. Доведіть, що чотири точки EE, FF, II, OO лежать на одному колі, де EE — точка перетину прямих ODOD і AHAH, а FF — середина відрізка CICI.
10–11 класиПряма Ейлера
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-002

Колінеарність у побудові з колами на трапеції

Для трапеції ABCDABCD, у якій AB//CDAB // CD, припустимо, що AA, BB, CC, DD розташовані за годинниковою стрілкою. Нехай Γ1\Gamma_1 — коло з центром у AA, яке проходить через BB. Нехай Γ2\Gamma_2 — коло з центром у CC, яке проходить через DD. Нехай PP — точка перетину (відмінна від BB, DD) прямої BDBD і кола Γ1\Gamma_1. Нехай Γ\Gamma — коло з діаметром PDPD. Нехай XX — точка перетину (відмінна від PP) кіл Γ\Gamma і Γ1\Gamma_1. Нехай YY — точка перетину (відмінна від DD) кіл Γ\Gamma і Γ2\Gamma_2. Нехай QQ — точка перетину кола Γ2\Gamma_2 й описаного кола трикутника XBYXBY. Доведіть, що BB, DD, QQ лежать на одній прямій.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-009

Центр описаного кола трикутника в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а Γ\Gamma — описане коло трикутника ABDABD. Прямі BCBC і CDCD перетинають Γ\Gamma у точках E≠BE \ne B та F≠DF \ne D відповідно. Доведіть, що центр описаного кола трикутника CEFCEF лежить на колі Γ\Gamma.
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-012

Вписаний чотирикутник і перетин діагоналей

Нехай OO — точка перетину діагоналей вписаного чотирикутника ABCDABCD. Описані кола трикутників AOBAOB і CODCOD перетинають прямі BCBC і ADAD ще раз у точках MM, NN, PP і QQ. Доведіть, що чотирикутник MNPQMNPQ вписано в коло з центром OO.
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-003

Вписаний чотирикутник у конструкції з вписаним колом

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB≠ACAB \neq AC, а II — центр вписаного кола. Вписане коло дотикається до сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно в точках DD, EE та FF. Нехай MM — середина відрізка EFEF. Пряма ADAD перетинає вписане коло в точці P≠DP \neq D. Доведіть, що PMIDPMID — вписаний чотирикутник.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-004

Дотичні кола і вписаний чотирикутник

Нехай gg — пряма на площині. Кола k1k_{1} і k2k_{2} лежать з одного боку від прямої gg і дотикаються до прямої gg в точках AA відповідно BB. Ще одне коло k3k_{3} дотикається до кола k1k_{1} в DD і до кола k2k_{2} в CC. Доведіть, що: (a) Чотирикутник ABCDA B C D є вписаним. (b) Прямі BCB C і ADA D перетинаються на колі k3k_{3}.
10–11 класиКола, що дотикаються3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-013

Перетин кіл у концентричній конфігурації

Нехай kk і k′k' — два концентричні кола з центром OO. Коло k′k' більше за коло kk. Пряма через OO перетинає kk в AA, а k′k' в BB так, що OO лежить між AA і BB. Інша пряма через OO перетинає kk в EE, а k′k' в FF так, що EE лежить між OO і FF. Доведіть, що описане коло трикутника OAEO A E, коло з діаметром ABA B і коло з діаметром EFE F перетинаються в одній точці.
10–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2010-014

Тріангуляція опуклого многокутника з покривними описаними колами

Нехай n≥3n \geq 3 і нехай PP — опуклий nn-кутник. Доведіть, що PP за допомогою n−3n-3 діагоналей, які не перетинаються, можна розбити на трикутники так, щоб описане коло кожного з цих трикутників містило весь PP. Коли існує рівно одне таке розбиття?
10–11 класиОписане коло
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2010-001

Основи перпендикулярів і вписаний п'ятикутник

Нехай AXYZBAXYZB — опуклий п'ятикутник, вписаний у півколо з діаметром ABAB. Позначимо через P,Q,R,SP, Q, R, S основи перпендикулярів, опущених із точки YY на прямі AXAX, BXBX, AZAZ, BZBZ відповідно. Доведіть, що гострий кут, утворений прямими PQPQ та RSRS, дорівнює половині величини ∠XOZ\angle XOZ, де OO — середина відрізка ABAB.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-102

Радіус вписаного кола рівнобедреного трикутника

Розглянемо рівнобедрений трикутник TT з основою 1010 і висотою 1212. Визначимо послідовність кіл ω1,ω2,…\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots так, що ω1\omega_{1} — вписане коло трикутника TT, а ωi+1\omega_{i+1} дотикається до кола ωi\omega_{i} й обох бічних сторін рівнобедреного трикутника при i≥1i \geq 1. 1. Знайдіть радіус кола ω1\omega_{1}.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-103

Відношення радіусів вкладених кіл трикутника 10 на 12

Знайдіть відношення радіуса кола ωi+1\omega_{i+1} до радіуса кола ωi\omega_{i}, де ω1\omega_{1} — вписане коло рівнобедреного трикутника TT з основою 1010 і висотою 1212, а коло ωi+1\omega_{i+1} дотикається до кола ωi\omega_{i} та обох бічних сторін трикутника при i>1i > 1.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-107

Найкоротший шлях в обхід кола

Нехай CC — коло радіуса 1212 з центром у точці (0,0)(0,0). Яка довжина найкоротшого шляху на площині між точками (83,0)(8 \sqrt{3}, 0) і (0,122)(0,12 \sqrt{2}), що не проходить через внутрішність кола CC?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-084

Найбільша куля над тором, дотична до площини

Тор (бублик) із внутрішнім радіусом 22 і зовнішнім радіусом 44 лежить на плоскому столі. Який радіус найбільшої сферичної кулі, яку можна покласти зверху в центр тора так, щоб куля все ще торкалася горизонтальної площини? (Якщо площина xx-yy — це стіл, то тор утворено обертанням кола в площині xx-zz з центром у точці (3,0,1)(3,0,1) і радіусом 11 навколо осі zz. Сферична куля має центр на осі zz і спирається або на стіл, або на бублик.)
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-129

Змій із вписаним колом та умовою дотику

Змій — це чотирикутник, діагоналі якого перпендикулярні. Нехай змій ABCDABCD такий, що ∠B=∠D=90∘\angle B = \angle D = 90^{\circ}. Нехай MM і NN — точки дотику вписаного кола чотирикутника ABCDABCD до сторін ABAB і BCBC відповідно. Нехай ω\omega — коло з центром у CC, дотичне до сторін ABAB і ADAD. Побудуємо інший змій AB′C′D′AB' C' D', подібний до ABCDABCD, вписаним колом якого є ω\omega. Нехай N′N' — точка дотику сторони B′C′B' C' до кола ω\omega. Якщо MN′∥ACMN' \parallel AC, то чому дорівнює відношення AB:BCAB : BC?
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-130

Геометричне місце центрів кіл з умовою дотику

Коло BB має радіус 676 \sqrt{7}. Коло AA з центром у точці CC має радіус 7\sqrt{7} і міститься всередині кола BB. Нехай LL — геометричне місце центрів CC таких, що існує точка DD на межі кола BB з такою властивістю: якщо дотичні з DD до кола AA перетинають коло BB знову в точках XX і YY, то пряма XYX Y також дотикається до кола AA. Знайдіть площу, обмежену межею LL.
10–11 класиОписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-131

Найбільший обернений радіус вписаного кола решітчастого трикутника

Нехай ABCABC — трикутник у координатній площині з вершинами в точках цілочисельної решітки, причому AB=1AB=1. Припустимо, що периметр трикутника ABCABC менший за 1717. Знайдіть найбільше можливе значення 1/r1/r, де rr — радіус вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-132

Відстань між основами перпендикулярів

У △ABC\triangle ABC DD — середина сторони BCBC, EE — основа перпендикуляра з AA на BCBC, а FF — основа перпендикуляра з DD на ACAC. Відомо, що BE=5BE = 5, EC=9EC = 9, а площа трикутника ABCABC дорівнює 8484; обчисліть ∣EF∣|EF|.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-087

Сумарна довжина кіл при заповненні трикутника колами

Вписане коло ω\omega рівностороннього трикутника ABCABC має радіус 11. Три менші кола вписано так, що вони дотикаються до кола ω\omega і до сторін трикутника ABCABC, як показано. Потім вписано ще три менші кола, що дотикаються до попередніх кіл і до кожної з двох сторін трикутника ABCABC. Цей процес повторюють нескінченну кількість разів. Чому дорівнює сумарна довжина всіх кіл?
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-134

Трикутник з перетином бісектрис

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=16AB = 16 і AC=5AC = 5. Припустимо, що бісектриси кутів ∠ABC\angle ABC і ∠BCA\angle BCA перетинаються в точці PP всередині трикутника. Відомо, що AP=4AP = 4, обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиТеорема про тризуб
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-082

Дельтоїд з вписаним колом і умовою паралельності

Дельтоїд — це чотирикутник, діагоналі якого перпендикулярні. Нехай дельтоїд ABCDABCD такий, що ∠B=∠D=90∘\angle B = \angle D = 90^{\circ}. Нехай MM і NN — точки дотику вписаного кола дельтоїда ABCDABCD до сторін ABAB і BCBC відповідно. Нехай ω\omega — коло з центром у точці CC, дотичне до прямих ABAB і ADAD. Нехай AB′C′D′AB' C' D' — інший дельтоїд, подібний до ABCDABCD, вписаним колом якого є ω\omega. Нехай N′N' — точка дотику сторони B′C′B' C' до кола ω\omega. Якщо MN′∥ACMN' \parallel AC, то чому дорівнює відношення AB:BCAB : BC?
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-135

Дотичні із зовнішньої точки до кола

Точки AA і BB лежать на колі ω\omega. Точка PP лежить на продовженні відрізка ABA B за точку BB. Пряма ℓ\ell проходить через PP і дотикається до кола ω\omega. Дотичні до кола ω\omega у точках AA і BB перетинають ℓ\ell у точках DD і CC відповідно. Відомо, що AB=7A B=7, BC=2B C=2 і AD=3A D=3. Знайдіть довжину відрізка BPB P.
10–11 класиТеорема Менелая
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-035

Коло через точки, дотичне до прямої

Коло проходить через точки (2,0)(2,0) і (4,0)(4,0) та дотикається до прямої y=xy = x. Знайдіть суму всіх можливих значень координати yy центра кола.
10–11 класиМетод координат
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-044

Паралельні дотичні до дотичних кіл

Коло радіуса r1r_{1} з центром у точці NN дотикається до кола радіуса r2r_{2} з центром у точці MM. Нехай ll і jj — дві спільні зовнішні дотичні до цих двох кіл. Коло з центром у точці PP радіуса r2r_{2} зовні дотикається до кола NN в точці дотику прямої ll до кола NN, а пряма kk — зовнішня дотична до кіл PP і NN така, що точки MM, NN і PP лежать по один бік від прямої kk. При якому відношенні r1/r2r_{1} / r_{2} прямі jj і kk паралельні?
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-049

Очікувана кількість проєкцій на сторони трикутника

Чотири точки AA, BB, CC і DD вибрано випадково на колі незалежно з рівномірним розподілом. Чому дорівнює очікувана кількість сторін трикутника ABCA B C, для яких проєкція точки DD на пряму, що містить сторону, лежить між двома вершинами?
10–11 класиПравила суму та добутку

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.