Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 443 задачі
ГеометріяКола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-095

Еліптична крива, дотична до кола

Еліптична крива y2=x3+1y^{2}=x^{3}+1 дотикається до кола з центром у точці (4,0)(4,0) у точці (x0,y0)(x_{0}, y_{0}). Визначте суму всіх можливих значень x0x_{0}.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-079

Хорда через точку дотику вписаного кола в прямокутному трикутнику

Трикутник ABCABC має ∠A=90∘\angle A = 90^{\circ}, сторону BC=25BC = 25, AB>ACAB > AC і площу 150150. Коло ω\omega вписане в трикутник ABCABC, причому MM — його точка дотику на стороні ACAC. Пряма BMBM перетинає ω\omega вдруге в точці LL. Знайдіть довжину відрізка BLBL.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-001

Критерій вписаності описаного чотирикутника

Нехай вписане коло чотирикутника ABCDABCD дотикається до сторін ABAB, BCBC, CDCD і ADAD у точках PP, QQ, RR і SS відповідно. Доведіть, що чотирикутник ABCDABCD є вписаним тоді й лише тоді, коли PR⊥QSPR \perp QS.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-080

Діагональ чотирикутника 7, 7, 5, 3 з кутом 60°

Опуклий чотирикутник ABCDA B C D має сторони AB=BC=7A B = B C = 7, CD=5C D = 5 і AD=3A D = 3. Крім того, відомо, що m∠ABC=60∘m \angle A B C = 60^{\circ}. Знайдіть довжину відрізка BDB D.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-081

Кут ACE у чотирикутнику з рівними відрізками

ABCDABCD — опуклий чотирикутник, причому AB<ADAB < AD. Діагональ AC‾\overline{AC} є бісектрисою ∠BAD\angle BAD, а m∠ABD=130∘m \angle ABD = 130^{\circ}. Нехай EE — внутрішня точка відрізка AD‾\overline{AD}, а m∠BAD=40∘m \angle BAD = 40^{\circ}. Відомо, що BC=CD=DEBC = CD = DE. Знайдіть m∠ACEm \angle ACE у градусах.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-065

Відношення діагоналей вписаного чотирикутника

Вписаний чотирикутник ABCDABCD має довжини сторін AB=1AB = 1, BC=2BC = 2, CD=3CD = 3 і AD=4AD = 4. Знайдіть відношення AC/BDAC / BD.
10–11 класиКоло і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-002

Умова біцентричності педального чотирикутника

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, а PP — точка перетину його діагоналей. Точки RR, SS, TT і UU — основи перпендикулярів, опущених із PP на сторони ABAB, BCBC, CDCD і ADAD відповідно. Доведіть, що чотирикутник RSTURSTU є біцентричним тоді й лише тоді, коли AC⊥BDAC \perp BD. (Зауважимо, що чотирикутник називається описаним, якщо він має вписане коло; чотирикутник називається біцентричним, якщо він одночасно є вписаним і описаним.)
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-015

Найбільший кут з перпендикуляром до прямої

Точки AA, BB і CC лежать у такому порядку на прямій ℓ\ell, причому AB=3AB = 3 і BC=2BC = 2. Точка HH така, що відрізок CHCH перпендикулярний до прямої ℓ\ell. Знайдіть довжину CHCH, за якої ∠AHB\angle AHB є найбільшим.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-017

Чотирикутник з рівними сторонами і прямими кутами

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має прямі кути ∠A\angle A і ∠C\angle C, причому AB=BCAB = BC і AD=CDAD = CD. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці MM. Точки PP і QQ лежать на описаному колі трикутника AMBAMB і на відрізку CDCD відповідно, причому точки PP, MM і QQ лежать на одній прямій. Припустимо, що m∠ABC=160∘m \angle ABC = 160^\circ і m∠QMC=40∘m \angle QMC = 40^\circ. Знайдіть MP⋅MQMP \cdot MQ, якщо MC=6MC = 6.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-024

Коло, дотичне до діагоналі вписаного чотирикутника

ABCDABCD — вписаний чотирикутник, у якому AB=4AB = 4, BC=3BC = 3, CD=2CD = 2 і AD=5AD = 5. Діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці XX. Коло ω\omega проходить через AA і дотикається до діагоналі BDBD у точці XX. Коло ω\omega перетинає сторони ABAB і ADAD у точках YY і ZZ відповідно. Обчисліть відношення YZ/BDYZ / BD.
10–11 класиКоло і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-026

Радіус кола вписаного шестикутника зі сторонами 2, 9, 12

Обчисліть радіус описаного кола вписаного шестикутника ABCDEFA B C D E F зі сторонами AB=BC=2A B = B C = 2, CD=DE=9C D = D E = 9 і EF=FA=12E F = F A = 12.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-030

Коло, дотичне до трьох описаних кіл трикутника

Трикутник ABCA B C має AB=4A B=4, BC=6B C=6 і AC=5A C=5. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCA B C. Коло Γ\Gamma дотикається до описаних кіл трикутників AOBA O B, BOCB O C і AOCA O C та охоплює їх. Знайдіть діаметр кола Γ\Gamma.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2007-034

Дотичні до вписаного кола і перетини кіл

Нехай ω\omega позначає вписане коло трикутника ABCABC. Відрізки BCBC, CACA і ABAB дотикаються до кола ω\omega у точках DD, EE і FF відповідно. Точка PP лежить на відрізку EFEF так, що відрізок PDPD перпендикулярний до сторони BCBC. Пряма APAP перетинає BCBC у точці QQ. Кола ω1\omega_1 і ω2\omega_2 проходять через BB і CC відповідно та дотикаються до прямої AQAQ у точці QQ; перше з них перетинає ABAB вдруге в точці XX, а друге перетинає ACAC вдруге в точці YY. Пряма XYXY перетинає BCBC у точці ZZ. Відомо, що AB=15AB=15, BC=14BC=14 і CA=13CA=13. Знайдіть ⌊XZ⋅YZ⌋\lfloor XZ \cdot YZ\rfloor.
10–11 класиТеорема Менелая
Відбіркові тести на IMOTST-2007-001

Вписаний чотирикутник у трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якої AB∥CDAB \parallel CD та AB>CDAB > CD. Точки KK і LL лежать на сторонах ABAB та CDCD відповідно, причому AKKB=DLLC\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{DL}{LC}. Точки PP і QQ лежать на відрізку KLKL так, що ∠APB=∠BCDі∠CQD=∠ABC\angle APB = \angle BCD \quad \text{і} \quad \angle CQD = \angle ABC Доведіть, що точки PP, QQ, BB і CC лежать на одному колі.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-009

Точка з рівними різницями кутів

Нехай точка PP лежить усередині трикутника ABCA B C і задовольняє умову ∡BPC−∡BAC=∡CPA−∡CBA=∡APB−∡ACB.\varangle B P C-\varangle B A C=\varangle C P A-\varangle C B A=\varangle A P B-\varangle A C B . Доведіть, що тоді виконується: PA‾⋅BC‾=PB‾⋅AC‾=PC‾⋅AB‾\overline{P A} \cdot \overline{B C}=\overline{P B} \cdot \overline{A C}=\overline{P C} \cdot \overline{A B} Спочатку зауважимо, що ∡BPC=60∘+α,∡CPA=60∘+β,∡APB=60∘+γ\varangle B P C=60^{\circ}+\alpha, \varangle C P A=60^{\circ}+\beta, \varangle A P B=60^{\circ}+\gamma. З міркувань симетрії достатньо показати одну з двох стверджуваних рівностей. (Вказівка: для кута ∡XYZ\varangle X Y Z, де 0∘<∡XYZ<180∘0^{\circ}<\varangle X Y Z<180^{\circ}, у математично додатному напрямі покладемо ∡ZYX:=180∘−∡XYZ\varangle Z Y X:= 180^{\circ}-\varangle X Y Z. За цією домовленістю, наприклад, для чотирьох попарно різних точок W,X,Y,ZW, X, Y, Z на колі завжди ∡XYZ=∡XWZ\varangle X Y Z=\varangle X W Z).
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2007-012

Подібні трикутники у конструкції з дотичними

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Дотичні до кола ω\omega у точках BB і CC перетинаються в точці TT. Точка SS лежить на промені BCBC, причому AS⊥ATAS \perp AT. Точки B1B_1 і C1C_1 лежать на промені STST (причому C1C_1 лежить між B1B_1 і SS) так, що B1T=BT=C1TB_1T = BT = C_1T. Доведіть, що трикутники ABCABC і AB1C1AB_1C_1 подібні.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2007-021

Дотик зовнівписаного кола й ортогональні проєкції

У трикутнику ABCA B C нехай JJ — центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони BCB C у точці A1A_{1} та до продовжень сторін ACA C і ABA B у точках B1B_{1} і C1C_{1} відповідно. Пряма A1B1A_{1} B_{1} перетинає пряму ABA B під прямим кутом у точці DD. Нехай EE — проєкція точки C1C_{1} на пряму DJD J. Визначте величини кутів ∠BEA1\angle B E A_{1} і ∠AEB1\angle A E B_{1}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2007-005

Діаметр кола й паралельна хорда

Дано коло з діаметром ABA B і центром OO. Нехай CC — точка на колі (відмінна від AA і від BB), і проведено пряму rr, яка паралельна до ACA C і проходить через OO. Нехай DD — та точка перетину прямої rr з колом, яка лежить з протилежного від CC боку відносно прямої ABA B. i) Доведіть, що DOD O є бісектрисою кута C{^D}BC \widehat\{D\} B. ii) Доведіть, що трикутник CDBC D B подібний до трикутника AODA O D.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-018

Перетин в одній точці прямих через дотик напіввписаних кіл

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Нехай ΓA\Gamma_A — коло, яке дотикається до прямих ABAB, ACAC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо, ΓB\Gamma_B — коло, яке дотикається до прямих ABAB, BCBC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо, а ΓC\Gamma_C — коло, яке дотикається до прямих ACAC, BCBC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо. Нехай кола ΓA,ΓB,ΓC\Gamma_A, \Gamma_B, \Gamma_C дотикаються до кола Γ\Gamma у точках P,Q,RP, Q, R. Доведіть, що прямі AP,BQ,CRAP, BQ, CR перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2007-001

Коло, дотичне до описаного кола та сторони

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а OO — його описане коло. Нехай O′O' — коло, яке дотикається до кола OO в точці AA і дотикається до сторони BCBC в точці DD. Коло O′O' перетинає прямі ABAB і ACAC в точках EE і FF відповідно. Коло O′O' перетинає прямі OO′OO' і EO′EO' в точках A′(≠A)A' (\neq A) і G(≠E)G (\neq E) відповідно. Прямі BOBO і A′GA'G перетинаються в точці HH. Доведіть, що DF2=AF⋅GHDF^2 = AF \cdot GH.
10–11 класиКола, що дотикаються
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2007-003

Рівнобедрений трикутник з основ висот

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а точки DD, EE і FF — основи висот, проведених з вершин AA, BB і CC відповідно. Нехай SS — точка перетину прямої EFEF з перпендикуляром до сторони ACAC, проведеним через точку DD. Доведіть, що трикутник DESDES рівнобедрений.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2007-005

Хорди кола з рівними відстанями

На колі kk лежать п'ять різних точок A,M,B,CA, M, B, C і DD у такому порядку та виконується MA=MBM A = M B. Прямі ACA C і MDM D перетинаються в точці PP, а прямі BDB D і MCM C перетинаються в точці QQ. Пряма PQP Q перетинає kk у точках XX і YY. Доведіть, що MX=MYM X = M Y.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2007-002

Покриття цілочисельної решітки великими кругами

Квадратна решітка на евклідовій площині складається з усіх точок (m,n)(m, n), де mm і nn — цілі числа. Чи можна покрити всі точки решітки нескінченною сім'єю кругів з попарно неперетинними внутрішностями, якщо кожен круг цієї сім'ї має радіус щонайменше 55?
10–11 класиПокриття, пакування, фарбування
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2006-005

Рівносторонній трикутник з дотичних до кола

Вершини прямокутного трикутника ABCABC, вписаного в коло, ділять коло на три дуги. Прямий кут при AA, тому протилежна дуга BCBC — півколо, тоді як дуги ABAB і ACAC разом становлять півколо. До кожної з трьох дуг проводимо дотичну так, щоб її точка дотику була серединою тієї частини дотичної, яку відтинають продовжені прямі ABAB і ACAC. Точніше, точка DD на дузі BCBC є серединою відрізка, що сполучає точки D′D' і D′′D'', де дотична в точці DD перетинає продовжені прямі ABAB і ACAC. Аналогічно для EE на дузі ACAC і FF на дузі ABAB. Доведіть, що трикутник DEFDEF рівносторонній.
10–11 класиЦентральні і вписані кути2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2006-086

Пряма через точки на хордах AB і CD

Нехай AA, BB, CC і DD — точки на колі такі, що AB=11AB = 11 і CD=19CD = 19. Точка PP лежить на відрізку ABAB так, що AP=6AP = 6, а QQ — на відрізку CDCD так, що CQ=7CQ = 7. Пряма, що проходить через PP і QQ, перетинає коло в точках XX і YY. Якщо PQ=27PQ = 27, знайдіть довжину хорди XYXY.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.