Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 456 задач
КомбінаторикаКонструкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-050

Монотонна бієкція на тривимірній цілочисельній решітці

Нехай SS — множина точок (x,y,z)(x, y, z) у R3\mathbb{R}^3, для яких x,yx, y, а також zz — натуральні числа, не більші за 100100. Нехай ff — бієкція між SS та {1,2,…,1000000}\{1,2, \ldots, 1000000\}, яка задовольняє таку властивість: якщо x1≤x2,y1≤y2x_1 \leq x_2, y_1 \leq y_2, а також z1≤z2z_1 \leq z_2, то f(x1,y1,z1)≤f(x2,y2,z2)f\left(x_1, y_1, z_1\right) \leq f\left(x_2, y_2, z_2\right). Позначимо Ai=∑j=1100∑k=1100f(i,j,k),Bi=∑j=1100∑k=1100f(j,i,k), і Ci=∑j=1100∑k=1100f(j,k,i)\begin{aligned} A_i & =\sum_{j=1}^{100} \sum_{k=1}^{100} f(i, j, k), \\ B_i & =\sum_{j=1}^{100} \sum_{k=1}^{100} f(j, i, k), \\ \text{ і } C_i & =\sum_{j=1}^{100} \sum_{k=1}^{100} f(j, k, i) \end{aligned} Знайдіть найменше можливе значення Ai+1−Ai+Bj+1−Bj+Ck+1−CkA_{i+1}-A_i+B_{j+1}-B_j+C_{k+1}-C_k.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-071

Незалежні множини в регулярному графі

Незалежною множиною графа GG називається множина вершин графа GG, у якій жодні дві вершини не з’єднані ребром. Якщо GG має 20002000 вершин, а кожна вершина має степінь 1010, знайдіть найбільшу можливу кількість незалежних множин, яку може мати GG.
10–11 класиДвочасткові графи
Відбіркові тести на IMOTST-2011-009

Роздільність замощення прямокутника доміно

Розглянемо замощення прямокутної дошки m×nm \times n плитками 1×21 \times 2. Плитки можуть лежати як горизонтально, так і вертикально, але вони не можуть перекриватися і виступати за межі дошки. Усі клітинки дошки мають бути покриті плиткою. a) Доведіть, що за будь-якого замощення дошки 4×20104 \times 2010 плитками 1×21 \times 2 існує пряма лінія, яка ділить дошку на дві частини так, що кожна плитка цілком лежить усередині однієї з частин. b) Доведіть, що існує замощення дошки 5×20105 \times 2010 плитками 1×21 \times 2 таке, що немає прямої лінії, яка ділить дошку на дві частини так, що кожна плитка цілком лежить усередині однієї з частин.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2011-041

Перестановка з циклічними модулями різниць

Вершини і сторони правильного nn-кутника занумеровано за годинниковою стрілкою числами від 1 до nn так, що за вершиною № ii йде сторона № ii (1≤i≤n1 \leq i \leq n). Тепер вершинам приписано невід'ємні цілі числа eie_{i}, а сторонам — невід'ємні цілі числа kik_{i} так, що виконується: (1) nn-набір (e1,e2,…,en)(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}) є перестановкою nn-набору (k1,k2,…,kn)(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}). (2) Для кожного i∈Ni \in \mathbb{N} з 1≤i≤n1 \leq i \leq n виконується ki=∣ei+1−ei∣k_{i} = |e_{i+1} - e_{i}|, де en+1=e1e_{n+1} = e_{1}. a) Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn, n≥3n \geq 3, існують такі nn-набори, відмінні від (0,…,0)(0, \ldots, 0). b) Визначте для кожного додатного натурального числа mm найменше натуральне число nn з такою властивістю: у кожному з nn-наборів (e1,e2,…,en)(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}) і (k1,k2,…,kn)(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}) трапляються всі натуральні числа від 00 до mm.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-029

Різні рядки та червоні стовпці на дошці

На клітчастій дошці з mm рядками та nn стовпцями, де m≤nm \le n, деякі клітинки пофарбовано в чорний колір так, що жодні два рядки не збігаються. Знайдіть найбільше ціле число kk таке, що для будь-якого початкового розфарбування завжди можна пофарбувати kk стовпців повністю в червоний колір так, щоб жодні два рядки й надалі не збігалися. Відповідь: n−m+1n-m+1.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…3 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-001

Мінімальна кількість місць для інтервальних бронювань

Нехай nn — натуральне число. Потяг зупиняється на 2n2 n станціях, включно з початковою та кінцевою, пронумерованих по порядку від першої до 2n2 n-ї. Відомо, що в певному вагоні для кожної пари цілих чисел i,ji, j таких, що 1≤i<j≤2n1 \leq i<j \leq 2 n, заброньовано рівно одне місце для поїздки між ii-ю та jj-ю станціями. Очевидно, різні бронювання не можуть накладатися. Визначте залежно від nn мінімальну кількість місць, які мають бути доступними в цьому вагоні, щоб описана ситуація була можливою.
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-001

Найбільший добуток за умови різних цифр

Нехай xx — двоцифрове натуральне число, а yy — одноцифрове натуральне число. Припустімо, що цифра десятків числа xx, цифра одиниць числа xx і yy попарно різні. Знайдіть найбільше можливе значення добутку xyxy.
7–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-016

Перестановка чисел з умовою на остачі сум

Нехай nn — ціле число, не менше за 22. Розглянемо способи вишикувати зліва направо n2n^2 чисел, які складаються з nn чисел кожного виду з {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\}. Чи можна вишикувати їх так, щоб виконувалася така умова? Умова: Для будь-якого цілого kk з 1≤k≤n2−11 \le k \le n^2 - 1 остача від ділення суми перших kk чисел зліва на nn відрізняється від остачі від ділення kk на nn.
7–9 класиЖадібний алгоритм
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2011-006

Проміжок із заданою кількістю повних квадратів

Визначте найменше натуральне число nn, для якого існує рівно 23 повні квадрати, не менші за nn і не більші за n+2011n + 2011.
7–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2011-014

Досягнення неспадної послідовності замінами

Нехай NN — натуральне число. NN клітинок розташовано підряд зліва направо. Учні A і B грають у гру за такими правилами: (1) Спочатку A записує по одному невід'ємному цілому числу в кожну з NN клітинок. (2) Гра закінчується, коли досягнуто такої умови: для кожного ii, що задовольняє 1≤i≤N−11 \le i \le N - 1, число в ii-й клітинці зліва менше або дорівнює числу в (i+1)(i+1)-й клітинці зліва. Доки цю умову не виконано, гра триває повторенням такої процедури: (a) A називає одне невід'ємне ціле число. (b) B вибирає одну з NN клітинок і замінює число в цій клітинці числом, названим A в пункті (a). Чи може B завершити гру незалежно від того, як грає A?
10–11 класиНапівінваріанти
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2011-004

Максимум поличок на цілочисельній дошці

Дано прямокутну дошку m×nm \times n з mm клітинками в кожному рядку та nn клітинками в кожному стовпці. У кожну клітинку запишемо ціле число. Прямокутник RR, що складається з однієї або кількох клітинок, називається поличкою, якщо існує ціле число hh, яке задовольняє такі дві умови: 1. Число в кожній клітинці прямокутника RR більше за hh. 2. Число в клітинці поза прямокутником RR, яка має спільну сторону або вершину з RR, не перевищує hh. (Припускаємо, що поличка RR містить усі внутрішні клітинки прямокутника.) Яка кількість поличок, якщо ми розставимо цілі числа так, щоб максимізувати кількість поличок?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-002

Розподіл наліпок із відсутньою наліпкою

33 друзі збирають наліпки для альбому з 2011 наліпок. Розподіл наліпок між 33 друзями є неповним, коли існує наліпка, якої не має жоден із друзів. Знайдіть найменше mm з такою властивістю: кожен розподіл наліпок між 33 друзями, за якого для будь-яких двох друзів є принаймні mm наліпок, яких не має жоден із них, є неповним.
10–11 класиПідрахунок двома способами2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-009

Числа, у яких сума квадратів цифр — точний квадрат

Назвемо число пал, якщо воно не має цифри нуль і сума квадратів його цифр є точним квадратом. Наприклад, 21155222115522 — пал (бо 22+12+12+52+52+22+22=822^2 + 1^2 + 1^2 + 5^2 + 5^2 + 2^2 + 2^2 = 8^2), а 304304 і 1212 — не пал. a. Яке найбільше двозначне пал-число? b. Чи існує 20112011-цифрове пал-число?
6–7 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-004

Послідовність з НСД, що дорівнює різниці

Чи існують 20112011 натуральних чисел a1<a2<⋯<a2011a_1 < a_2 < \dots < a_{2011} таких, що НСД(ai,aj)=aj−ai\text{НСД}(a_i, a_j) = a_j - a_i для будь-яких i,ji, j таких, що 1≤i<j≤20111 \le i < j \le 2011?
10–11 класиНСД та НСК
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-006

Обмеження циклічного добутку різниць

Нехай a1,a2,…,a2011a_1, a_2, \dots, a_{2011} — невід’ємні дійсні числа із сумою 20112\frac{2011}{2}. Доведіть, що ∣∏cyc(an−an+1)∣=∣(a1−a2)(a2−a3)…(a2011−a1)∣≤3316.\left| \prod_{cyc} (a_n - a_{n+1}) \right| = \left| (a_1 - a_2)(a_2 - a_3) \dots (a_{2011} - a_1) \right| \le \frac{3\sqrt{3}}{16}.
10–11 класиНерівність Коші
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-005

Підмножини з фіксованими перетинами

Нехай AA — множина з ∣A∣=225|A| = 225, тобто AA має 225225 елементів. Припустимо далі, що існує одинадцять підмножин A1,…,A11A_1, \dots, A_{11} множини AA таких, що ∣Ai∣=45|A_i| = 45 для 1≤i≤111 \le i \le 11 і ∣Ai∩Aj∣=9|A_i \cap A_j| = 9 для 1≤i<j≤111 \le i < j \le 11. Доведіть, що ∣A1∪A2∪⋯∪A11∣≥165|A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_{11}| \ge 165, і наведіть приклад, для якого досягається рівність.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2010-001

Строго зростаюча послідовність натуральних чисел з нерівністю на суми

Розгляньмо послідовності натуральних чисел a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots. Знайдіть найменше можливе значення a2010a_{2010}, якщо відомо, що: (i) an<an+1a_{n}<a_{n+1} для всіх n≥1n \geq 1, (ii) ai+al>aj+aka_{i}+a_{l}>a_{j}+a_{k} для всіх четвірок (i,j,k,l)(i, j, k, l) таких, що 1≤i<j≤k<l1 \leq i<j \leq k<l.
10–11 класиМетод математичної індукції
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-021

Розбиття правильного многокутника на трикутники

Правильний 20102010-кутник поділено на частини трикутної форми. Знайдіть найменшу можливу кількість частин.
10 класКути багатокутника. Зовнішні кути
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-016

Триангуляція з розкидом сум не більше одиниці

У правильному nn-кутнику в кожній вершині написано або 00, або 11. За допомогою діагоналей, що не перетинаються, Юку розбиває цей многокутник на трикутники. Потім у кожний трикутник він вписує суму чисел, які стоять у його вершинах. Доведіть, що Юку може вибрати діагоналі так, щоб найбільше та найменше з чисел, вписаних у трикутники, відрізнялися не більше ніж на 11. (Старша ліга.)
10–11 класиКонструкція за індукцією
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-007

Знакова сума з обмеженими доданками

Нехай n≥2n \ge 2. Дано натуральні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n з парною сумою, які задовольняють ai≤ia_i \le i для кожного i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n. Доведіть, що можна вибрати знаки у виразі a1±a2±⋯±ana_1 \pm a_2 \pm \dots \pm a_n так, щоб його значення стало 00. (Старша ліга.)
10–11 класиМетод математичної індукції3 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-026

Розрізання збільшеної L-фігури на одиничні L-фігури

Одинична L-фігура складається з трьох одиничних квадратів, як показано на малюнку. Доведіть, що для будь-якого натурального числа kk подібну L-фігуру, довжини сторін якої у kk разів більші, можна розрізати на одиничні L-фігури.
11 класРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-121

Можливі фіналісти турніру на вибування

16 прогеймерів грають у турнірі на вибування. Кожен гравець має різний рівень майстерності, і коли двоє грають один проти одного, завжди перемагає сильніший. У кожному раунді кожен прогеймер грає матч проти іншого, а той, хто програв, вибуває. Так триває, доки не залишиться лише один. Скільки різних прогеймерів можуть вийти до раунду, у якому залишаються 2 гравці?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-127

Найбільший єгипетський дріб рангу 3 менший від чверті

Ранг раціонального числа qq — це єдине kk, для якого q=1a1+⋯+1akq = \frac{1}{a_{1}} + \cdots + \frac{1}{a_{k}}, де кожне aia_{i} — найменше натуральне число таке, що q≥1a1+⋯+1aiq \geq \frac{1}{a_{1}} + \cdots + \frac{1}{a_{i}}. Нехай qq — найбільше раціональне число, менше за 14\frac{1}{4}, рангу 33, і припустімо, що подання числа qq має вигляд 1a1+1a2+1a3\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}}. Знайдіть впорядковану трійку (a1,a2,a3)\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right).
10–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-006

Мінімальна кількість людей за фруктовими вподобаннями

У групі людей 1313 люблять яблука, 99 люблять лохину, 1515 люблять канталупу, а 66 люблять фініки. (Одна людина може любити більше ніж 11 вид фруктів.) Кожна людина, яка любить лохину, любить також рівно один з двох фруктів: яблука чи канталупу. Кожна людина, яка любить канталупу, любить також рівно один з двох фруктів: лохину чи фініки. Знайдіть найменшу можливу кількість людей у групі.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-074

Многочлен із коефіцієнтами 1 або -1

Многочлен PP має вигляд ±x6±x5±x4±x3±x2±x±1\pm x^{6} \pm x^{5} \pm x^{4} \pm x^{3} \pm x^{2} \pm x \pm 1. Відомо, що P(2)=27P(2)=27. Чому дорівнює P(3)P(3)?
10–11 класиСистеми числення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.