Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

1 010 задач
КомбінаторикаІгри і стратегії
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-115

Найменший номер фірми після чотирирічних злиттів

Спочатку в бізнесцентрі базувалися 1616 фірм, кожна з яких займала певну площу. По завершенні кожного року всі фірми певним чином розбивалися на пари, потім фірми в кожній парі зливалися в одну, при цьому фірма, що займала більшу площу, поглинала фірму з меншою площею. По завершенні 44 років лишилася одна фірма. Виявилося, що в процесі об’єднань жодного разу не було двох фірм, що займали однакову площу. Із самого початку фірми були занумеровані в порядку збільшення площ числами 1,2,…,161, 2, \ldots, 16. З яким найменшим номером могла бути фірма, яка зрештою залишилася єдиною?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-022

Важкі ящики та машини на 6 і 9 тонн

Відомо, що декілька важких ящиків можна вивезти на 77 машинах вантажопідйомністю 66 тонн, але не можна вивезти такими самими машинами кількістю менше ніж 77. Доведіть, що цей вантаж не вдасться вивезти на 33 машинах, які можуть перевозити по 99 тонн вантажу кожна.
7–8 класиЖадібний алгоритм
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-030

Гра з n каменями у чорній та білій коробках

Петрик і Василько грають у таку гру. У них є n⩾2n \geqslant 2 однакових каменів, а також дві коробки — чорна та біла. У кожну вміщується рівно по 12n\frac{1}{2}n каменів при парному nn; при непарному nn у чорну вміщується рівно 12(n+1)\frac{1}{2}(n+1) каменів, а в білу — рівно 12(n−1)\frac{1}{2}(n-1) каменів. Гравці роблять ходи по черзі, розпочинає Петрик. Він вибирає будь-який камінь, не покладений досі в жодну з коробок, пише на ньому додатне число та кладе його в будь-яку з іще не заповнених коробок. Василько бачить усі записані на каменях числа, своїм ходом він може або перекласти будь-який камінь з однієї коробки в іншу, якщо та не заповнена, або не перекладати. Гра завершується, коли обидві коробки заповнені. Якщо в чорній коробці сума чисел на каменях більша за суму чисел на каменях у білій коробці, то перемагає Петрик, інакше — перемагає Василько. Хто з гравців має виграшну стратегію?
7–8 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-033

Фішка на смужці з ходами на 3 та 4

Петрик і Василько грають у гру на смужці розміром 1×N1 \times N. Першим ходом Петрик ставить фішку на будь-яку клітинку дошки. Далі вони ходять по черзі, першим — Василько, пересуваючи фішку на 33 чи на 44 клітинки в будь-який бік. Двічі ставити фішку в клітинку, де вона вже була, не можна. Програє той, хто не може за правилами зробити хід. Чи має хтось із гравців виграшну стратегію?
7–8 класиСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-040

Два банки, що забирають половину грошей один в одного

Нехай b>a>c>0b > a > c > 0. Два банки грають у таку гру. На початку гри один банк має aa євро, другий банк — bb євро. Своїм ходом кожний банк забирає з рахунків іншого банку половину від усіх євро, що там є. Перший хід робить той банк, де грошей менше. Якщо в банку лишається не більше ніж cc євро, то він — банкрут, і тоді гра завершується. Доведіть, що якщо перший гравець не банкрут із самого початку, то він банкрутом і не стане.
7–8 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-092

Розфарбування ребер піраміди у грі Аліси і Боба

Маємо kk різних кольорів і піраміду, в основі якої лежить 20162016-кутник. Аліса та Боб вибирають по черзі ще незафарбоване ребро піраміди та фарбують його в один із заданих кольорів так, щоб жодні два суміжних ребра (ті, що мають спільну вершину) не були пофарбовані в однаковий колір. Розпочинає фарбування Аліса. При якому найменшому kk Боб зможе належним чином зафарбувати всі ребра піраміди?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-093

Максимальна кількість очок при заповненні таблиці n×n

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — непарне число. Ми проводимо заповнення таблиці n×nn \times n, що поділена на n2n^2 комірок 1×11 \times 1, числами 1,2,…,n21, 2, \ldots, n^2. Числа ставимо по одному в довільному порядку в будь-яку порожню на даний момент комірку. При цьому на кожному ході, коли ми ставимо певне число в комірку, розташовану на перетині ii-го рядка та jj-го стовпця, рахуємо суми чисел, що стоять на даний момент у відповідному рядку та відповідному стовпці. Якщо якась із них кратна nn, то ми отримуємо 11 очко за кожну таку лінію, де сума кратна nn. За один хід можна отримати 00, 11 чи 22 очки. Яку максимальну кількість очок можна отримати, заповнивши всю таблицю?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-094

Натуральні n зі степенями для сторін трикутника

Знайдіть усі натуральні nn, які мають таку властивість: для будь-якої трійки додатних дійсних чисел (a,b,c)(a, b, c) існує така трійка цілих невід'ємних чисел (k,l,m)(k, l, m), що числа ankan^k, bnlbn^l, cnmcn^m є сторонами деякого невиродженого трикутника.
9 класНерівність трикутника
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-22-23-051

Годинник зі 150 стрілками і час відпадання 74-ї

Дивакуватий майстер зробив годинник зі 150150 стрілками. Перша стрілка обертається зі швидкістю 11 оберт за годину, друга робить 22 оберти за годину й так далі, 150150-та стрілка робить 150150 обертів за годину. Годинник запустили, коли всі стрілки були напрямлені строго вгору (на число 1212). Коли в ході роботи годинника стикаються дві чи більше стрілок, то ці стрілки миттєво відпадають. Через який час після початку роботи годинника відпаде стрілка, що обертається зі швидкістю 7474 оберти за годину?
6 класСиметрія та розбиття на пари
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-012

33 числа a, b, c та найбільше число N

На дошці написано 3333 числа aa, 3333 числа bb та 3333 числа cc, де 0<a,b,c<10 < a, b, c < 1. Петрик за один хід може витерти два довільних написаних числа xx, yy та замість них написати одне число x+y−2xyx + y - 2xy. Процес завершиться, коли на дошці лишиться написаним єдине число NN. Якого найбільшого значення може набувати число NN залежно від значень aa, bb, cc?
8 класІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-050

Найбільше число з простими чи квадратними сусідніми парами

На дошці написано натуральне число, усі цифри якого попарно різні. Петрик побачив, що коли підкреслити довільні дві сусідні цифри, то утворене число буде або простим числом, або квадратом цілого числа. Яке найбільше число могло бути написане на дошці?
6–7 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-053

Гра з турою, що зафарбовує клітинки дошки

Петрик і Василь грають у гру на клітчастій дошці розміром n×nn \times n, де n>1n > 1. На початку гри вся дошка біла, за винятком кутової чорної клітинки, на якій стоїть тура. Гравці роблять ходи по черзі, пересуваючи туру по горизонталі чи по вертикалі. При цьому всі клітинки, якими пересувається тура, включно з тією, куди вона потрапляє, перефарбовують у чорний колір. Тура має пересуватися таким чином, щоб її шлях не перетинав чорні клітинки. Програє той, хто не зможе зробити свій хід; першим ходить Петрик. Хто перемагає за правильної гри обох гравців?
6–7 класиІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-070

Гра з n монет зі взаємно простим забиранням

Петрик і Василь грають у таку гру. На столі лежать nn монет. За один хід гравець може прибрати зі стола kk монет, де kk — взаємно просте число із числом монет, що на цей момент лежать на столі. Ходи роблять по черзі, розпочинає Петрик. Програє той, після чийого ходу на столі лишиться рівно одна монета. Хто виграє за умови правильної гри, якщо кожен прагне перемогти?
6–7 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Новорічний індивідуальний «Математичний занзібар»NYZ-22-23-017

Вісім фішок на дошці 3×4 та стрибки через фішку

Петрик грає на дошці розміром 3×43 \times 4, де розставлено вісім фішок, як це показано на рис. 11.2. Можна робити такі ходи: узяти довільну фішку (xx) та перестрибнути по вертикалі чи горизонталі через поле, на якому стоїть інша фішка (yy), якщо поле через одну клітинку на цей момент вільне. При цьому фішку (yy) прибирають з дошки. Наприклад, першим ходом Петрик може пересунути фішку 22 у верхній рядок, прибравши при цьому фішку 77. За сім ходів Петрика на дошці лишилася рівно одна фішка. Який номер могла мати та фішка? Укажіть усі можливі відповіді.
6 класІнші інваріанти
Новорічний індивідуальний «Математичний занзібар»NYZ-22-23-040

Гра до числа N з подвоєнням і додаванням

Задано натуральне число NN. Петрик та Василь грають у таку гру: по черзі змінюють число, написане на дошці. Першим ходить Петрик, він записує на дошці число 11. Кожним наступним ходом учасник витирає записане число nn і пише замість нього або число n+1n + 1, або число 2n2n, за умови, що воно не перевищує NN. Гравець, що напише на дошці число NN, перемагає. При скількох значеннях NN від 11 до 20232023 перемагає Василь, якщо кожен із гравців прагне перемогти?
10 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-21-22-014

Найбільша кількість пар вищий хлопчик – нижча дівчинка

Є 2626 хлопчиків та дівчаток, що вишикувалися за спаданням їхнього зросту в ряд: х х х д д х х х д д д х х д д д д д х х х х д х д д Яку найбільшу кількість танцювальних пар вони можуть утворити так, щоб у кожній парі хлопчик був вищим за дівчинку?
4 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-090

2015 точок з різними відстанями та 22 сусідами

На площині задано 20152015 точок, які мають попарно різні відстані між кожною парою. Для кожної точки найближчі до неї 2222 точки назвемо її сусідніми. Скільки щонайбільше точок можна вважати сусідніми до деякої точки? Примітка. Якщо для точки AA точка BB є сусідньою, то не обов’язково для точки BB точка AA також є сусідньою.
9 класГеометричні конфігурації точок
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-057

Гарантований крок появи всіх чисел на дошці

Петрик вибирає два різних числа з множини {0,1,2,…,600}\{0, 1, 2, \ldots, 600\} та записує їх на дошці. Далі знову вибирає два різних числа із цієї множини (може, навіть ті самі, що й першого разу) та додає кожне з вибраних чисел до кожного числа, записаного на дошці. Після цього він записує всі отримані суми на дошці, а попередньо записані числа витирає. Наприклад, якщо на початку були вибрані числа 22 та 33, а далі числа 22 та 44, то після другого вибору на дошці будуть записані числа 44, 55, 66 і 77. При цьому якщо якась сума чисел перевищуватиме 600600, то Петрик замінить її остачею від ділення на 601601. І так далі: він знову вибирає два числа, додає кожне з них до кожного записаного числа, записує на дошці утворені суми й витирає попередній набір чисел. Після якого кроку на дошці буде гарантовано записане, принаймні один раз, кожне із чисел початкової множини {0,1,2,…,600}\{0, 1, 2, \ldots, 600\}?
6–7 класиНапівінваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-097

Обнулення таблиці ходами по рядках, стовпцях і діагоналях

У кожній одиничній комірці таблиці розміром m×nm \times n, m,n⩾3m, n \geqslant 3, записано ціле число. Діагоналлю назвемо групу комірок, у яких різниця між номером рядка та номером стовпчика є сталим числом. Наприклад, комірки (1,5)(1, 5), (2,6)(2, 6), (3,7)(3, 7), …\ldots утворюють діагональ, а от комірки (1,5)(1, 5), (2,4)(2, 4), (3,3)(3, 3), …\ldots діагональ не утворюють. Зазначимо, що окрема права верхня комірка таблиці сама також утворює діагональ. Ми можемо робити такі ходи: вибираємо деякий рядок, стовпчик або діагональ та додаємо 11 чи −1-1 до чисел, що стоять у вибраних комірках (до всіх вибраних чисел додаємо однакове число під час кожного ходу). Відомо, що в довільній частині таблиці розміром завбільшки 3×33 \times 3 ми можемо отримати такими ходами всі числа, що дорівнюватимуть 00, не змінюючи жодного іншого числа поза цим фрагментом 3×33 \times 3. Доведіть, що таким чином можна отримати таблицю із числом 00 у кожній комірці. На рис. 7.5 зображено приклад діагоналі та фрагмент 3×33 \times 3 таблиці. | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---| | 1 | | | | | | ♣ | | | | | 2 | | ◊ | ◊ | ◊ | | | ♣ | | | | 3 | | ◊ | ◊ | ◊ | | | | ♣ | | | 4 | | ◊ | ◊ | ◊ | | | | | ♣ | | 5 | | | | | | | | | | Рис. 7.5
9 класІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-065

Гра Петрика та Василя з купою зі 131 каменя

У купі 131131 камінь. Петрик та Василь беруть камені по черзі. Спочатку бере один камінь Петрик. Кожним наступним ходом гравець бере або стільки ж каменів, скільки брав його супротивник своїм попереднім ходом, або на один більше. Хто не може зробити хід за цими правилами (коли каменів у купі лишилося менше, ніж треба), той програв. Хто з гравців може гарантувати собі перемогу, як би не грав його супротивник?
6–7 класиКласичні ігри
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-066

Гра з 131 каменем з правилом ходу

У купі 131131 камінь. Петрик та Василь беруть камені по черзі. Спочатку Петрик бере дев’ять каменів. Кожним наступним ходом гравець бере або стільки ж каменів, скільки брав його супротивник своїм попереднім ходом, або на один більше. Хто не може зробити хід за цими правилами (коли каменів у купі лишилося менше, ніж треба), той програв. Хто з гравців може гарантувати собі перемогу, як би не грав його супротивник?
6–7 класиКласичні ігри
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-100

Послідовність з нулів і одиниць та її періодичність

Послідовність (an)(a_n), що складається із чисел 00 та 11, для кожного k>2016k > 2016 задовольняє таку умову: ak=0⇔ak−1+ak−2+…+ak−2016>23.a_k = 0 \Leftrightarrow a_{k-1} + a_{k-2} + \ldots + a_{k-2016} > 23. Доведіть, що існує таке натуральне число TT, що для всіх достатньо великих kk справджується умова ak=ak+Ta_k = a_{k+T}.
9 класПеріодичні і неперіодичні послідо…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-022

Сім машин по шість тонн і три по дев'ять

Відомо, що декілька невеликих, але важких ящиків можна вивезти на семи машинах, що можуть перевозити до 66 тонн вантажу. Проте ці ящики не вдасться вивезти на таких самих машинах, узятих меншою кількістю. Доведіть, що цей вантаж не вдасться вивезти на трьох машинах, що можуть перевозити по 99 тонн вантажу кожна.
7–8 класиЖадібний алгоритм
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-047

Сто чисел у таблиці 10×10 без сусідньої різниці 1

Задано 100100 різних дійсних чисел. Доведіть, що їх можна розставити в клітинках таблиці розміром 10×1010 \times 10 так, щоб різниця ніяких двох чисел, що стоять у сусідніх по стороні клітинках, не дорівнювала 11.
7–8 класиНапівінваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-20-21-019

Розбиття чисел до 10 на дві групи до 80

Сума декількох, не обов'язково різних, натуральних чисел, не більших за 1010, дорівнює SS. Знайдіть усі значення суми SS, при яких ці числа завжди можна розбити на дві групи, у кожній з яких суми чисел не більші за 8080.
6–7 класиОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.