Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-063

Вибрані числа до 2022 з неподільністю сум на різниці

Серед натуральних чисел 1,2,…,20221, 2, \ldots, 2022 вибрали декілька. Виявилося, що сума будь-яких двох із вибраних чисел не ділиться націло на жодну різницю будь-яких двох із цих чисел. Знайдіть найбільшу можливу кількість вибраних чисел.
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-064

Турнір з 2022 команд і обернений порядок у таблиці

У турнірі з підводного поло взяли участь 20222022 команди, і кожні дві команди зіграли між собою рівно один матч. Кожній команді за перемогу, нічию та поразку нараховували відповідно 22 очки, 11 очко та 00 очок. Виявилося, що жодні дві команди не набрали однакової кількості очок. У підсумковій таблиці команди розташували в порядку спадання кількості набраних очок. Під час перегляду регламенту встановили, що кожний матч, у якому був переможець, мав закінчитися внічию, і навпаки, у кожному матчі, що закінчився внічию, мав бути переможець. При цьому знову жодні дві команди не набрали однакової кількості очок, і в підсумковій таблиці їх знову розташували в порядку спадання кількості набраних очок. Чи могло статися так, що новий порядок команд у підсумковій таблиці протилежний початковому?
8 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-066

Турнір одинадцяти команд і протилежний порядок

У турнірі з підводного поло взяли участь 1111 команд, і кожні дві команди зіграли між собою рівно один матч. Кожній команді за перемогу, нічию та поразку нараховували відповідно 22 очки, 11 очко та 00 очок. Виявилося, що жодні дві команди не набрали однакової кількості очок. У підсумковій таблиці команди розташували в порядку спадання кількості набраних очок. Під час перегляду регламенту встановили, що кожний матч, у якому був переможець, мав закінчитися внічию, і навпаки, у кожному матчі, що закінчився внічию, мав бути переможець. При цьому знову жодні дві команди не набрали однакової кількості очок, і в підсумковій таблиці їх знову розташували в порядку спадання кількості набраних очок. Чи могло статися так, що новий порядок команд у підсумковій таблиці протилежний початковому?
8 класКонструкція через періодичність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-076

Найбільша кількість дільників вільного від квадратів числа

Назвемо натуральне число вільним від квадратів, якщо воно не ділиться на p2p^2 для жодного простого числа pp. Дано число n>1n > 1, що вільне від квадратів і має dd натуральних дільників. Яку найбільшу кількість дільників цього числа можна вибрати таким чином, щоб для будь-яких двох із цих вибраних, наприклад aa і bb, число a2+ab−na^2 + ab - n не було б квадратом цілого числа?
9 класДільники та кратні (базові власти…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-077

Круговий турнір зі зміною результатів і зворотний порядок

У турнірі з підводного поло взяли участь команди, кількість яких становила n⩾2n \geqslant 2, і кожні дві команди зіграли між собою рівно один матч. Кожній команді за перемогу, нічию та поразку нараховували відповідно 22 очки, 11 очко та 00 очок. Виявилося, що жодні дві команди не набрали однакової кількості очок. У підсумковій таблиці команди розташували в порядку спадання кількості набраних очок. Під час перегляду регламенту встановили, що кожний матч, у якому був переможець, мав закінчитися внічию, і навпаки, у кожному матчі, що закінчився внічию, мав бути переможець. При цьому знову жодні дві команди не набрали однакової кількості очок, і в підсумковій таблиці їх знову розташували в порядку спадання кількості набраних очок. Для яких nn могло статися так, що новий порядок команд протилежний початковому?
9 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-079

Хто має виграшну стратегію на дошці m × n

Петрик і Василь грають у гру на дошці розміром m×nm \times n. Вони роблять ходи почергово, розпочинає Петрик. Він ставить пішака в будь-яку вільну клітинку дошки. Василь на своєму ході має поставити пішака на вільну клітинку, що є сусідньою по стороні з клітинкою, у яку Петрик поставив пішака останнім ходом. Василь ви́грає, якщо вся дошка буде заповнена пішаками. Петрик ви́грає, якщо після його ходу Василь не зможе зробити хід за зазначеними правилами та на дошці ще будуть вільні клітинки. Якщо кожен прагне перемогти, то хто має виграшну стратегію залежно від значень mm, nn?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-086

Пари зі складеними сумами з 2n різних чисел

Задано 2n2n попарно різних натуральних чисел. Яку найбільшу кількість пар із цих чисел можна гарантовано вибрати так, щоб кожне число було не більше ніж в одній парі та в кожній парі сума чисел була складеним числом?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-089

Чорна та дві білі фішки на дошці m × n

У лівій нижній кутовій клітинці 1×11 \times 1 дошки розміром m×nm \times n (m,n⩾3)(m, n \geqslant 3) стоїть чорна фішка, а в лівій верхній та правій нижній клітинках стоять білі фішки. Петрик за один хід двічі поспіль пересуває чорну фішку на сусідню по стороні клітинку, а Василь може або одну з білих фішок двічі поспіль пересунути на сусідню по стороні клітинку, або кожну з двох білих фішок окремо пересунути на сусідню по стороні клітинку. Фішки не можна ставити на клітинки, у яких уже побувала фішка іншого кольору. Василь перемагає, якщо в певний момент через скінченну кількість ходів обидві білі фішки опиняться в одній клітинці. Якщо Василь прагне перемогти, а Петрик прагне не дати йому такої можливості, то за яких умов для mm та nn переможе Василь? Першим ходить Петрик.
10 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-091

Чорна і дві білі фішки на дошці 2022×2023

У лівій нижній кутовій клітинці 1×11 \times 1 дошки розміром 2022×20232022 \times 2023 клітинки стоїть чорна фішка, а в лівій верхній і правій нижній клітинках стоять білі фішки. Петрик за один хід двічі поспіль пересуває чорну фішку на сусідню по стороні клітинку, а Василь може або одну з білих фішок двічі поспіль пересунути на сусідню по стороні клітинку, або кожну з двох білих фішок окремо пересунути на сусідню по стороні клітинку. Фішки не можна ставити на клітинки, у яких уже побувала фішка іншого кольору. Василь переможе, якщо в певний момент через скінченну кількість ходів обидві білі фішки опиняться в одній клітинці. Доведіть, що за правильної гри Петрика, який робить перший хід, Василь перемогти не зможе.
10 класКласичні ігри
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-097

П'ять чисел та однакові набори сум пар і трійок

Учитель написав на дошці п’ять попарно різних чисел. Після цього Петрик порахував суми кожних двох із цих чисел і виписав їх на лівій половині дошки, Василь зробив те саме для сум кожної трійки чисел та записав їх на правій половині дошки (сума записується Петриком і Василем стільки разів, скільки разів вона була отримана). Чи міг учитель записати такі числа, щоб на лівій та правій половинах дошки були записані однакові набори чисел, з урахуванням кількості разів, скільки вони там записані?
11 класКонструкція через симетрією
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-100

Мінімальне n для розбиття квадрата на квадрати двох розмірів

Для якого мінімального натурального nn квадрат можна розрізати на 2n2n квадратів двох різних розмірів: nn квадратів одного розміру та ще nn — іншого розміру?
11 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-102

Максимальне розміщення доміно на дошці m × n

На прямокутну дошку розміром m×nm \times n клітинок, де m,n⩾3m, n \geqslant 3, поклали декілька кісточок доміно (прямокутники розміром 1×21 \times 2 клітинки або 2×12 \times 1 клітинку) таким чином, що кісточки доміно не накладаються одна на одну, не виходять за межі дошки m×nm \times n, принаймні одне кутове поле дошки покрите кісточкою доміно та більше жодної кісточки доміно не можна докласти на дошку без порушення цих правил. Доведіть, що принаймні 23\dfrac{2}{3} усіх полів дошки заповнено.
11 класБієкції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-058

Гра з трьома купками камінців 100, 101, 102

У Федька та Михайлика є три купки камінців: у першій — 100100 камінців, у другій — 101101 камінець, а в третій — 102102 камінці. Хлопці грають за такими правилами: ходи роблять почергово, на своєму ході кожен вибирає дві довільні купки, що містять, скажімо, aa та bb камінців відповідно, та з кожної забирає камінці, кількість яких дорівнює найбільшому спільному дільнику чисел aa та bb. Перемагає той гравець, після ходу якого вперше лишилося менше ніж три купки камінців. Хто може перемогти за таких умов, якщо перший хід робить Федько й кожен прагне виграти?
7 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-060

Поліцейські на кільцевій дорозі з мінімальною сумою перевезень

Кільцева дорога має довжину 2525 км. Через кожний кілометр на ній стоїть поліцейський пост. На ці пости вивели по одному поліцейському, кожен з яких має особистий нагрудний номер від 11 до 2525 (у кожного відмінний від інших номер). Спочатку вони були розставлені на постах довільним чином. А далі керівництво вирішило їх розставити так, щоб номери поліцейських, починаючи з деякого посту, ішли за рухом годинникової стрілки в порядку 11, 22, …\ldots, 2525. Для цього потрібно було перевезти деяких поліцейських по кільцевій дорозі таким чином, щоб сумарна довжина перевезень усіх поліцейських була мінімальною. Доведіть, що за таких умов принаймні один поліцейський залишився на своєму посту.
7 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-068

Гра з n точками на площині та k відстанями

Моніка та Богдан грають у гру, яка залежить від двох натуральних чисел nn та kk. Спочатку Моніка виписує kk додатних чисел. Богдан ви́грає, якщо йому вдасться відмітити на площині nn точок так, що для кожного числа mm, виписаного Монікою, знайдуться дві відмічені точки на відстані mm, інакше — переможе Моніка. З’ясуйте, залежно від чисел nn і kk, хто виграє за правильної гри, якщо кожен із гравців прагне перемогти.
8 класДерева
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-071

Найменша кількість застосувань програми Три для рівних чисел

Петрик використовує комп’ютерну програму «Три», яка перетворює записані на дисплеї числа. Для одного застосування цієї програми Петрик вибирає п’ять чисел із записаних, а програма збільшує кожне із цих п’яти чисел у 33 рази. На початку на дисплеї записано такі 2020 чисел: 1,31,32,…,3191, 3^1, 3^2, \ldots, 3^{19}. За яку найменшу кількість застосувань цієї програми Петрик зможе отримати на дисплеї набір рівних чисел?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-081

2022 точки на колі і зміна кольору кожної

На колі розташовано 20222022 точки, одну з яких пофарбовано в чорний колір, а інші 20212021 точок — у білий. За один хід Їжачку дозволено зробити одну з таких операцій: - перефарбувати в протилежний колір дві однокольорові точки, що йдуть поспіль; - перефарбувати в протилежний колір дві різнокольорові точки, що йдуть через одну. Чи зможе Їжачок зазначеними операціями зробити так, щоб кожна точка змінила свій колір на протилежний (порівняно з початковим розфарбуванням)?
9 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-083

Зсув дійсних чисел на k√2 з ірраціональними сумами

Задано деяке натуральне число nn. Доведіть, що для довільних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n існує число вигляду k2k\sqrt{2}, де kk — деяке таке натуральне число, що всі числа k2+a1k\sqrt{2}+a_1, k2+a2k\sqrt{2}+a_2, …\ldots, k2+ank\sqrt{2}+a_n є ірраціональними.
9 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-103

Многочлени у пам’яті комп’ютера та многочлен P(x)

На початку роботи в пам’яті комп’ютера був єдиний многочлен x2−1x^2-1. Щохвилини комп’ютер або вибирає зі своєї пам’яті довільний многочлен f(x)f(x) та запам’ятовує ще й многочлени f2(x)−1f^2(x)-1 та f(x2−1)f(x^2-1), або вибирає будь-які два різних многочлени g(x)g(x) та h(x)h(x) та ще й запам’ятовує многочлен 12(g(x)+h(x))\frac{1}{2}(g(x)+h(x)). Чи може за деякий час у пам’яті комп’ютера бути записаний многочлен P(x)=11024(x2−1)2048−1?P(x)=\frac{1}{1024}(x^2-1)^{2048}-1?
11 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-104

Найбільше k цілих часток сум початку перестановки

Для якого найбільшого kk існує перестановка (a1,a2,…,a2022)(a_1, a_2, \ldots, a_{2022}) чисел (1,2,…,2022)(1, 2, \ldots, 2022) така, що для kk чисел 1⩽i⩽20221 \leqslant i \leqslant 2022 дріб a1+a2+…+ai1+2+…+i\dfrac{a_1 + a_2 + \ldots + a_i}{1 + 2 + \ldots + i} є натуральним числом, більшим за 11?
11 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-20-21-001

Найбільша кількість гномів з фразою про сусідів

На кожній клітинці шахівниці 8×88 \times 8 стоїть по одному гному — брехуну чи лицарю. Відомо, що брехуни завжди кажуть неправду, а лицарі завжди кажуть правду. Сусідами вважають гномів, що стоять у клітинках зі спільною стороною. Яка найбільша кількість гномів на шахівниці могли б сказати фразу: «Поміж моїх сусідів брехунів більше, ніж лицарів»?
7 класКонструкція через періодичність
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-20-21-004

Найбільший квадрат з торта 99×99 після квадратів 33×33

Сова принесла Віслючку Іа квадратний торт розміром 99×9999 \times 99. Вінні-Пух одразу вирізав собі із цього торта чотири квадратних шматочки розміром 33×3333 \times 33 зі сторонами, що паралельні сторонам торта, але не обов’язково проходять по лініях сітки квадрата 99×9999 \times 99. Після цього Віслючок вирізав собі із частини торту, що лишилася, квадратний шматочок зі сторонами, що також паралельні сторонам торта. На який найбільший шматочок торта може розраховувати Іа? У відповіді наведіть сторону квадратного шматочка Віслючка.
7 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-20-21-005

Найбільша кількість мавп з трьома різними фруктами

Мавпа стає щасливою, коли з'їдає три різних фрукти. Яку найбільшу кількість мавп можна ощасливити, маючи 2020 груш, 3030 бананів, 4040 персиків і 5050 яблук?
7 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-20-21-013

Лицарі і брехуни з картками та найбільше k

За круглим столом сидить 20212021 людина. Кожна з них є або лицарем, котрий завжди каже правду, або брехуном, який щоразу бреше. Їм роздали по одній картці, на кожній картці написано по одному числу, при цьому всі числа на картках різні. Глянувши на картки сусідів ліворуч і праворуч, кожна з 20212021 людини за столом сказала: «Число на моїй картці більше, ніж у кожного з обох моїх сусідів». Після цього kk людей із 20212021 людини за столом сказали: «Моє число менше, ніж у кожного з двох моїх сусідів». При якому найбільшому kk це могло статися?
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київська міська олімпіада юних математиківKCMO-20-21-017

Найменше число з добутком цифр від 2000 до 2021

Знайдіть найменше натуральне число, яке має добуток цифр у проміжку від 20002000 до 20212021 включно.
9 класОсновна теорема арифметики

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.