Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

261 задача
КомбінаторикаКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2014-029

Покриття чисел перевертанням аркушів

Нехай nn — натуральне число. Даніель і Мерлін грають у гру. Даніель має kk аркушів паперу, що лежать поруч на столі, де kk — натуральне число. Він пише на кожному аркуші паперу кілька з чисел від 1 до nn включно (можна жодного, можна й усі). На звороті кожного аркуша паперу він пише саме решту чисел від 1 до nn включно. Коли Даніель закінчить, Мерлін може покласти кілька аркушів паперу зворотом догори (він може не перевертати жодного аркуша або ж перевернути всі). Якщо йому вдасться зробити всі числа від 1 до nn включно одночасно видимими (повторення дозволені), то він виграє. Знайдіть найменше kk, для якого Мерлін завжди може виграти, що б не робив Даніель.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2014-003

Покриття кліками та незалежними множинами

Нехай nn — натуральне число. Для кожної пари учнів певної школи, в якій навчається nn учнів, або ця пара є взаємними друзями, або ні. Нехай NN — найменша можлива сума a+ba+b натуральних чисел aa і bb, що задовольняють такі 2 умови щодо учнів цієї школи: (1) Можна поділити учнів на aa команд так, щоб будь-яка пара учнів, які належать до однієї команди, були взаємними друзями. (2) Можна поділити учнів на bb команд так, щоб будь-яка пара учнів, які належать до однієї команди, не були взаємними друзями. Припускається, що кожен учень належатиме до однієї й лише однієї команди, коли учнів ділять на команди для виконання умов (1) і (2) вище, а команда може складатися лише з одного учня, і в цьому разі вважається, що ця команда задовольняє обидві умови: що будь-яка пара учнів у цій команді є взаємними друзями; не є взаємними друзями. Визначте через nn найбільше можливе значення, якого може набувати NN.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-004

Незліченний перетин відкритих множин

Підмножина U⊂RU \subset \mathbb{R} називається відкритою, якщо для будь-якого x∈Ux \in U існують дійсні числа a,ba, b такі, що x∈(a,b)⊂Ux \in (a, b) \subset U. Припустімо, що S⊂RS \subset \mathbb{R} має властивість, що будь-яка відкрита множина, яка перетинає (0,1)(0,1), також перетинає SS. Нехай TT — зліченна сукупність відкритих множин, що містять SS. Доведіть, що перетин усіх множин із TT не є зліченною підмножиною R\mathbb{R}. (Множина Γ\Gamma називається зліченною, якщо існує бієктивна функція f:Γ→Zf: \Gamma \rightarrow \mathbb{Z}.)
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2013-016

Мінімальне покриття збалансованими прямокутниками

Нехай n≥3n \geq 3 — ціле число, і розглянемо дошку n×nn \times n, поділену на n2n^{2} одиничних квадратиків. Для кожного m≥1m \geq 1 маємо в необмеженій кількості прямокутники 1×m1 \times m (тип I) та прямокутники m×1m \times 1 (тип II). Ми покриваємо дошку NN такими прямокутниками, які не перекриваються і не виходять за межі дошки. При цьому загальна кількість прямокутників типу I на дошці має дорівнювати загальній кількості прямокутників типу II на дошці. (Зауважимо, що прямокутник 1×11 \times 1 є одночасно типу I і типу II.) Яке найменше значення NN, для якого це можливо?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2013-044

Стабільні трикутні таблиці із заданими сумами рядків

Нехай nn — натуральне число. Розглянемо трикутну таблицю з невід'ємних цілих чисел такого вигляду: Назвемо таку трикутну таблицю стабільною, якщо для всіх 0≤i<j<k≤n0 \le i < j < k \le n виконується ai,j+aj,k≤ai,k≤ai,j+aj,k+1.a_{i,j} + a_{j,k} \le a_{i,k} \le a_{i,j} + a_{j,k} + 1. Для будь-якої неспадної послідовності невід'ємних цілих чисел s1,…,sns_1, \dots, s_n доведіть, що існує єдина стабільна трикутна таблиця, у якій сума всіх елементів у рядку kk дорівнює sks_k.
10–11 класиОрієнтовані графи
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-001

Зібрання з k осіб і спільним знайомим

Нехай nn та kk — два натуральні числа. Розглянемо зібрання з kk осіб таке, що для будь-якої групи з nn осіб знайдеться (n+1)(n+1)-а особа, яка знає всіх їх (якщо AA знає BB, то BB знає AA). 1) Якщо k=2n+1k=2 n+1, доведіть, що існує особа, яка знає всіх інших. 2) Якщо k=2n+2k=2 n+2, наведіть приклад такого зібрання, в якому ніхто не знає всіх інших.
9–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2012-011

Видалення куль з подвоєнням або потроєнням

Маємо дві коробки з кулями. В одній коробці mm куль, в іншій — nn куль, причому m,n>0m, n>0. Дозволено дві різні дії: (i) Забрати з обох коробок однакову кількість куль. (ii) Збільшити кількість куль в одній з коробок у kk разів. Чи завжди можна забрати всі кулі з обох коробок за допомогою цих двох дій, a) якщо k=2k=2? b) якщо k=3k=3?
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2012-014

Кубічне діофантове рівняння з великими змінними

Визначте, з доведенням, чи існують цілі числа a,b,c>2010a, b, c > 2010, що задовольняють рівняння a3+2b3+4c3=6abc+1.a^3 + 2b^3 + 4c^3 = 6abc + 1.
10–11 класиРівняння Пелля
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2011-005

Знакові суми квадратів членів арифметичної прогресії

Нехай dd — натуральне число. Доведіть, що для кожного цілого числа SS існує ціле число n>0n > 0 і послідовність ϵ1,ϵ2,…,ϵn\epsilon_1, \epsilon_2, \dots, \epsilon_n, де для будь-якого kk, ϵk=1\epsilon_k = 1 або ϵk=−1\epsilon_k = -1, така, що S=ϵ1(1+d)2+ϵ2(1+2d)2+ϵ3(1+3d)2+⋯+ϵn(1+nd)2.S = \epsilon_1(1+d)^2 + \epsilon_2(1+2d)^2 + \epsilon_3(1+3d)^2 + \dots + \epsilon_n(1+nd)^2.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2011-013

Розбиття чисел 0 … 2^n - 1 на підмножини

Доведіть, що множину цілих чисел {0,1,2,…,2n−1}\{0, 1, 2, \dots, 2^n - 1\} можна розбити на n+1n + 1 попарно неперетинні підмножини A0,A1,…,AnA_0, A_1, \dots, A_n так, щоб виконувалися обидві умови: a) Якщо k+l=nk + l = n, то підмножини AkA_k і AlA_l мають однакову кількість елементів. b) Якщо ss і tt — невід'ємні цілі числа та s+t≤ns + t \le n, то для довільного елемента zz з множини As+tA_{s+t} існують елементи xx і yy з множин AsA_s і AtA_t відповідно такі, що x+y=zx + y = z.
10–11 класиСистеми числення2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2011-009

Роздільність замощення прямокутника доміно

Розглянемо замощення прямокутної дошки m×nm \times n плитками 1×21 \times 2. Плитки можуть лежати як горизонтально, так і вертикально, але вони не можуть перекриватися і виступати за межі дошки. Усі клітинки дошки мають бути покриті плиткою. a) Доведіть, що за будь-якого замощення дошки 4×20104 \times 2010 плитками 1×21 \times 2 існує пряма лінія, яка ділить дошку на дві частини так, що кожна плитка цілком лежить усередині однієї з частин. b) Доведіть, що існує замощення дошки 5×20105 \times 2010 плитками 1×21 \times 2 таке, що немає прямої лінії, яка ділить дошку на дві частини так, що кожна плитка цілком лежить усередині однієї з частин.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2011-001

Мінімальна кількість місць для інтервальних бронювань

Нехай nn — натуральне число. Потяг зупиняється на 2n2 n станціях, включно з початковою та кінцевою, пронумерованих по порядку від першої до 2n2 n-ї. Відомо, що в певному вагоні для кожної пари цілих чисел i,ji, j таких, що 1≤i<j≤2n1 \leq i<j \leq 2 n, заброньовано рівно одне місце для поїздки між ii-ю та jj-ю станціями. Очевидно, різні бронювання не можуть накладатися. Визначте залежно від nn мінімальну кількість місць, які мають бути доступними в цьому вагоні, щоб описана ситуація була можливою.
9–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-004

Послідовність з НСД, що дорівнює різниці

Чи існують 20112011 натуральних чисел a1<a2<⋯<a2011a_1 < a_2 < \dots < a_{2011} таких, що НСД(ai,aj)=aj−ai\text{НСД}(a_i, a_j) = a_j - a_i для будь-яких i,ji, j таких, що 1≤i<j≤20111 \le i < j \le 2011?
10–11 класиНСД та НСК
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-016

Триангуляція з розкидом сум не більше одиниці

У правильному nn-кутнику в кожній вершині написано або 00, або 11. За допомогою діагоналей, що не перетинаються, Юку розбиває цей многокутник на трикутники. Потім у кожний трикутник він вписує суму чисел, які стоять у його вершинах. Доведіть, що Юку може вибрати діагоналі так, щоб найбільше та найменше з чисел, вписаних у трикутники, відрізнялися не більше ніж на 11. (Старша ліга.)
10–11 класиКонструкція за індукцією
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-026

Розрізання збільшеної L-фігури на одиничні L-фігури

Одинична L-фігура складається з трьох одиничних квадратів, як показано на малюнку. Доведіть, що для будь-якого натурального числа kk подібну L-фігуру, довжини сторін якої у kk разів більші, можна розрізати на одиничні L-фігури.
11 класРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-099

Афінна рекурсія ходами коня

Кінь рухається двовимірною решіткою. З будь-якої клітинки він може піти на 2 одиниці в одному напрямку, паралельному осям, а потім на 1 одиницю в ортогональному напрямку, так, як ходить звичайний кінь у шахах. Кінь починає з початку координат. Під час руху він відстежує число tt, яке спочатку дорівнює 00. Коли кінь потрапляє в точку (a,b)(a, b), число змінюється з xx на ax+ba x + b. Доведіть, що для будь-яких цілих aa і bb кінь може потрапити в точки (1,a)(1, a) і (−1,a)(-1, a) так, щоб tt дорівнювало bb.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2010-003

Перестановка із заданим заворушенням

Нехай π=(a1,a2,…,an)\pi=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) — перестановка чисел 1,2,…,n1,2, \ldots, n. Заворушенням перестановки π\pi називається кількість пар (i,j)(i, j) натуральних чисел таких, що 1≤i<j≤n1 \leq i<j \leq n і aj>aia_{j}>a_{i}. Доведіть, що для кожного цілого числа kk такого, що 0≤k≤(n2)0 \leq k \leq\binom{ n}{2} існує перестановка чисел 1,2,…,n1,2, \ldots, n із заворушенням kk.
10–11 класиПерестановки
Відбіркові тести на IMOTST-2010-034

Перестановка із сумою-квадратом

Для невід'ємного цілого числа nn перестановку (a0,a1,…,an)\left(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\right) множини {0,1,…,n}\{0,1, \ldots, n\} назвемо квадратичною, якщо k+akk+a_{k} є квадратом для k=0,1,…,nk=0,1, \ldots, n. Доведіть, що для кожного невід'ємного цілого nn існує квадратична перестановка множини {0,1,…,n}\{0,1, \ldots, n\}.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2010-031

Вибір більшості при розподілі фруктів

Банани, яблука й апельсини довільно розподілені по 100 ящиках. Доведіть, що можна вибрати 51 ящик, які разом містять принаймні половину фруктів кожного виду.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2010-017

Двоколірний цикл з малою кількістю перетинів

Нехай nn — ціле число, не менше за 22. Припустимо, що nn білих точок і nn чорних точок розміщено на колі, і ми намагаємося провести 2n2n відрізків з кінцями в цих точках так, щоб виконувалися такі умови: (1) Кожен відрізок має кінцями білу точку і чорну точку. (2) Обходячи ці відрізки по порядку, можна завершити цикл, що проходить через кожну із заданих 2n2n точок рівно один раз. Доведіть, що незалежно від того, як задані 2n2n точок розміщено на колі, можна провести відрізки, що задовольняють наведені вище умови, так, щоб серед проведених відрізків було не більше ніж n−1n-1 перетинів. При цьому кінцеву точку відрізка не вважаємо точкою перетину.
7–9 класиКонструкція за індукцією
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-006

Посилання між вебсторінками з переходом за три кроки

Якщо існує посилання з вебсторінки ii на вебсторінку jj, то з вебсторінки ii можна перейти на вебсторінку jj безпосередньо. Для n≥2n \ge 2 є nn вебсторінок, пронумерованих від 11 до nn, і для всіх i∈{1,2,…,n−1}i \in \{1, 2, \dots, n-1\} існує посилання з вебсторінки ii на вебсторінку (i+1)(i+1). Тепер дозволено додавати нові посилання так, що нові посилання можуть з’єднувати дві вебсторінки від ii до jj, коли i<ji < j. Доведіть, що існує спосіб додати не більше ніж 3(n−1)log⁡2(log⁡2n)3(n-1) \log_2(\log_2 n) таких нових посилань так, щоб для будь-яких двох цілих чисел 1≤i<j≤n1 \le i < j \le n можна було перейти з вебсторінки ii на вебсторінку jj, використовуючи не більше 3 посилань.
10–11 класиОрієнтовані графи
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2010-003

Передача печива на круглому столі

За круглим столом сидять 2n2n людей, яким роздано mm печив. Ці люди можуть передавати печиво за такими правилами: - Передавати печиво можна лише своїм сусідам. - Передати печиво можна, лише з'ївши одне печиво. Нехай AA — один із цих людей. Знайдіть найменше mm таке, що незалежно від того, як було розподілено mm печив, існує стратегія передавання печива, за якої AA матиме принаймні одне печиво.
10–11 класиНапівінваріанти
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2009-094

Графи з великим хроматичним числом без великих клік

Доведіть, що для всіх n>3n > 3 існує граф із хроматичним числом nn, який не містить жодної nn-кліки.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2009-026

Забарвлені кола з умовою дотику

Розглянемо nn колінеарних точок P1,…,PnP_{1}, \ldots, P_{n} і всі кола з діаметром PiPjP_{i} P_{j} для 1≤i<j≤n1 \leq i<j \leq n. Кожне з цих кіл пофарбовано в один з kk кольорів. Таку множину пофарбованих кіл називають (n,k)(n, k)-плутаниною. Одноколірна вісімка — це два кола одного кольору, які дотикаються зовні. Доведіть, що кожна (n,k)(n, k)-плутанина містить одноколірну вісімку тоді й лише тоді, коли n>2kn>2^{k}.
10–11 класиКонструкція за індукцією2 розв’язки
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2009-002

Перевертання монет за правилом сусідства

На столі лежать 20092009 монет, кожна з яких має один бік білий, а другий — чорний. Спочатку всі монети вишикувані в ряд білими боками догори, крім однієї, що лежить чорним боком догори. На кожному кроці ми вибираємо монету, що лежить чорним боком догори, і перевертаємо дві сусідні монети. Якщо вибрано крайню монету, то перевертаємо лише одну сусідню монету. Знайдіть усі початкові положення чорної монети, з яких можна досягти стану, коли всі монети лежать чорними боками догори.
10–11 класиІнші інваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.