Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

217 задач
АлгебраНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2005-003

Найбільше значення симетричного раціонального виразу

Знайдіть найбільше можливе значення виразу xyz(1+x)(x+y)(y+z)(z+16)\frac{x y z}{(1+x)(x+y)(y+z)(z+16)} де x,y,zx, y, z — додатні дійсні числа.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2004-002

Два набори дійсних чисел та суми квадратів

Нехай a1,a2,…,an,b1,b2,…,bna_1, a_2, \dots, a_n, b_1, b_2, \dots, b_n — дійсні числа, для яких (a12+a22+⋯+an2−1)(b12+b22+⋯+bn2−1)>(a1b1+a2b2+⋯+anbn−1)2.(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 - 1)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2 - 1) > (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n - 1)^2. Доведіть, що a12+a22+⋯+an2>1a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 > 1 і b12+b22+⋯+bn2>1b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2 > 1.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського3 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2004-017

Мінімум симетричної суми з параметрами

Нехай aa і bb — фіксовані додатні числа. Знайдіть залежно від aa і bb найменше можливе значення суми x2(ay+bz)(az+by)+y2(az+bx)(ax+bz)+z2(ax+by)(ay+bx)\frac{x^{2}}{(a y+b z)(a z+b y)}+\frac{y^{2}}{(a z+b x)(a x+b z)}+\frac{z^{2}}{(a x+b y)(a y+b x)} де x,y,zx, y, z — додатні дійсні числа.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2003-005

Нерівність із симетричними квадратичними дробами

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа. Доведіть, що (2a+b+c)22a2+(b+c)2+(2b+c+a)22b2+(c+a)2+(2c+a+b)22c2+(a+b)2≤8.\frac{(2a + b + c)^2}{2a^2 + (b+c)^2} + \frac{(2b + c + a)^2}{2b^2 + (c+a)^2} + \frac{(2c + a + b)^2}{2c^2 + (a+b)^2} \le 8.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2001-011

Кут BAC і тупокутний трикутник з PA, PB, PC

Нехай PP — точка в площині трикутника ABCABC така, що відрізки PAPA, PBPB і PCPC є сторонами деякого тупокутного трикутника. Припустимо, що в цьому трикутнику тупий кут лежить проти сторони, що дорівнює PAPA. Доведіть, що ∠BAC\angle BAC гострий.
10–11 класиІнші нерівності в геометрії6 розв’язків
Відбіркові тести на IMOTST-2000-003

Найбільше значення змінної за сумою та сумою квадратів

Дійсні числа a1,a2,…,a16a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{16} задовольняють обидві умови ∑i=116ai=100 і ∑i=116ai2=1000\sum_{i=1}^{16} a_{i}=100 \quad \text{ і } \quad \sum_{i=1}^{16} a_{i}^{2}=1000 Яке найбільше можливе значення може набувати a16a_{16}?
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-1999-008

Послідовності з фіксованими степеневими сумами

Знайдіть усі цілі числа nn, для яких існують додатні дійсні числа 0<a1≤a2≤…≤an0 < a_{1} \leq a_{2} \leq \ldots \leq a_{n} такі, що ∑k=1nak=96,∑k=1nak2=144,∑k=1nak3=216\sum_{k=1}^{n} a_{k}=96, \quad \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2}=144, \quad \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{3}=216
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-0000-005

Циклічна нерівність з умовою суми

Доведіть для додатних дійсних чисел x,y,zx, y, z, для яких x+y+z=1x+y+z=1, таку нерівність: x2+y2z+y2+z2x+z2+x2y≥2\frac{x^{2}+y^{2}}{z}+\frac{y^{2}+z^{2}}{x}+\frac{z^{2}+x^{2}}{y} \geq 2
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського10 розв’язків
Математичний гурток БеркліBMC-2019-009

Нерівність для многочлена з додатними коефіцієнтами

Нехай PP — многочлен з додатними дійсними коефіцієнтами. Доведіть, що якщо P(1x)≥1P(x)P\left(\frac{1}{x}\right) \geq \frac{1}{P(x)} виконується при x=1x=1, то воно виконується для кожного x>0x>0.
Нерівність Коші-Буняковського
Математичний гурток БеркліBMC-2018-012

Симетрична нерівність зі зваженими знаменниками

Нехай aa, bb, xx, yy, zz — додатні дійсні числа. Доведіть нерівність xay+bz+yaz+bx+zax+by≥3a+b.\frac{x}{a y+b z}+\frac{y}{a z+b x}+\frac{z}{a x+b y} \geq \frac{3}{a+b} .
Нерівність Коші-Буняковського
Математичний гурток БеркліBMC-2017-017

Нерівність із симетричною сумою у знаменниках

Доведіть, що для додатних дійсних чисел aa, bb і cc 1a+b+1b+c+1c+a≥(a+b+c)2ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a b(a+b)+b c(b+c)+c a(c+a)}
Нерівність Коші-Буняковського
Математичний гурток БеркліBMC-2015-024

Сума біноміальних коефіцієнтів при фіксованій сумі

Для натуральних чисел x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, що задовольняють умову x1+⋯+xn=101nx_{1}+\cdots+x_{n}=101 n, доведіть, що (x12)+(x22)+⋯+(xn2)≥5050n\binom{x_{1}}{2}+\binom{x_{2}}{2}+\cdots+\binom{x_{n}}{2} \geq 5050 n
Нерівність Коші-Буняковського
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-047

Обернена матриця зі строго додатними елементами

Нехай nn — ціле число, а n1n_1 — один з його дільників. Нехай AA — симетрична матриця розміру n×nn \times n, задана рівностями ai,i=4a_{i,i} = 4, ai,i+1=ai+1,i=−1a_{i,i+1} = a_{i+1,i} = -1 для всіх ii таких, що 1≤i≤n−11 \le i \le n-1 і i+1i+1 не кратне n1n_1, ai,i+n1=ai+n1,i=−1a_{i,i+n_1} = a_{i+n_1,i} = -1, а ai,j=0a_{i,j} = 0 в інших випадках. Доведіть, що AA має обернену матрицю і що всі елементи оберненої матриці додатні.
Нерівність Коші-Буняковського
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2009-005

Сума cos α / cos(β − γ) гострокутного трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з кутами α,β\alpha, \beta і γ\gamma. Доведіть, що cos⁡αcos⁡(β−γ)+cos⁡βcos⁡(γ−α)+cos⁡γcos⁡(α−β)≥32\frac{\cos \alpha}{\cos (\beta-\gamma)}+\frac{\cos \beta}{\cos (\gamma-\alpha)}+\frac{\cos \gamma}{\cos (\alpha-\beta)} \geq \frac{3}{2}
Тригонометричні нерівності2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2004-006

Мінімальний параметр для періодичних точок

Нехай aa і bb — дійсні числа. Визначимо fa,b:R2→R2f_{a,b}: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 формулою fa,b(x,y)=(a−by−x2,x)f_{a,b}(x, y) = (a - b y - x^2, x). Якщо P=(x,y)∈R2P = (x, y) \in \mathbb{R}^2, визначимо fa,b0(P)=Pf_{a,b}^0(P) = P і fa,bk+1(P)=fa,b(fa,bk(P))f_{a,b}^{k+1}(P) = f_{a,b}(f_{a,b}^k(P)) для всіх невід'ємних цілих чисел kk. Множина per⁡(a,b)\operatorname{per}(a, b) періодичних точок відображення fa,bf_{a,b} — це множина точок P∈R2P \in \mathbb{R}^2 таких, що fa,bn(P)=Pf_{a,b}^n(P) = P для деякого натурального числа nn. Зафіксуємо bb. Доведіть, що множина Ab={a∈R∣per⁡(a,b)≠∅}A_b = \{a \in \mathbb{R} \mid \operatorname{per}(a, b) \neq \emptyset\} має мінімум. Знайдіть цей мінімум.
Нерівність Коші-Буняковського
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1999-003

Максимум фішок без прямокутника на дошці

На клітинки дошки 10×1010 \times 10 треба поставити nn фішок так, щоб жодні 4 фішки не були вершинами прямокутника зі сторонами, паралельними сторонам дошки. Знайдіть найбільше значення nn, для якого це можливо.
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-0000-059

Найбільша площа паралелограма та нерівність Коші–Шварца

(a) Чотирикутник з рівними протилежними сторонами є паралелограмом. На рисунках нижче показано два паралелограми з однаковими сторонами, причому другий з них — прямокутник. Визначте найбільшу можливу площу паралелограма зі сторонами bb та hh. (b) Розглянемо два рисунки нижче, де a,b,xa, b, x та yy — додатні дійсні числа. Покажіть, що другий рисунок має більшу площу. (c) Використовуючи результат попереднього пункту, доведіть нерівність Коші–Шварца для двох доданків: ax+by≤a2+b2⋅x2+y2a x+b y \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}} \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}}
Нерівність Коші-Буняковського

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.