Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

374 задачі
ГеометріяСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-128

Коло через вершини трикутника та дотик кіл

У трикутнику ABCABC коло ω\omega з центром OO проходить через BB і CC та вдруге перетинає відрізки AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} у точках B′B' і C′C' відповідно. Припустимо, що кола з діаметрами BB′BB' і CC′CC' зовні дотикаються одне до одного в точці TT. Якщо AB=18AB = 18, AC=36AC = 36 і AT=12AT = 12, обчисліть довжину відрізка AOAO.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-112

Циклічний п'ятикутник з паралельними сторонами

Геологиня Ізабелла виявляє глибоко під землею діамант за допомогою рентгенівського апарата. Діамант має форму опуклого вписаного п'ятикутника PABCDP A B C D, у якому AD∥BCA D \| B C. Невдовзі після відкриття її рентген ламається, і вона відновлює лише часткову інформацію про його розміри. Вона знає, що AD=70A D=70, BC=55B C=55, PA:PD=3:4P A: P D=3: 4, і PB:PC=5:6P B: P C=5: 6. Обчисліть довжину відрізка PBP B.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-057

Рівносторонній трикутник і хорда з відрізками 55, 121, 55

Рівносторонній трикутник вписано в коло ω\omega. Хорду кола ω\omega периметр трикутника розбиває на три відрізки завдовжки 5555, 121121 і 5555 у вказаному порядку. Обчисліть суму всіх можливих довжин сторони трикутника.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-034

Єдиний трикутник XYZ навколо точок D, E, F

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 11. Точки DD, EE, FF лежать усередині трикутника ABCABC так, що AA, EE, FF колінеарні, BB, FF, DD колінеарні, CC, DD, EE колінеарні, а трикутник DEFDEF рівносторонній. Припустімо, що існує єдиний рівносторонній трикутник XYZXYZ з XX на стороні BC‾\overline{BC}, YY на стороні AB‾\overline{AB} і ZZ на стороні AC‾\overline{AC} такий, що DD лежить на стороні XZ‾\overline{XZ}, EE лежить на стороні YZ‾\overline{YZ}, а FF лежить на стороні XY‾\overline{XY}. Обчисліть довжину відрізка AZAZ.
10–11 класиДотична кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-070

Основа висоти і точки з рівними кутами

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а DD — основа висоти з AA на BC‾\overline{BC}. Нехай XX і YY — точки на відрізку BC‾\overline{BC} такі, що ∠BAX=∠YAC\angle BAX = \angle YAC, BX=2BX = 2, XY=6XY = 6 і YC=3YC = 3. Відомо, що AD=12AD = 12, обчисліть довжину відрізка BDBD.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-003

Рівносторонній трикутник, коло через A і AD+AE=13 та BX

Розглянемо рівносторонній трикутник ABCABC зі стороною 1010. Коло, що проходить через AA, дотикається до сторони BCBC (за винятком кінців) у точці XX і перетинає сторони ABAB та ACAC у точках DD та EE відповідно, причому обидві точки відмінні від точки AA. Задано, що BX>CXBX > CX та AD+AE=13AD + AE = 13. Знайдіть довжину відрізка BXBX.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-006

Коло, дотичне до сторони та описаного кола

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник з AB=AC=5AB = AC = 5. Нехай DD — точка на стороні ABAB, така, що AD=3AD = 3, а EE — точка на стороні BCBC (відмінна від кінців BB і CC). Нехай ω\omega — коло, яке проходить через EE і дотикається до прямої ABAB у точці BB. Припустимо, що коло ω\omega дотикається до описаного кола трикутника ADEADE. Нехай FF — точка перетину кола ω\omega і прямої AEAE, відмінна від EE. Коли CF=10CF = 10, знайдіть довжину сторони BCBC.
10–11 класиКола, що дотикаються
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-029

Дотична до описаного кола з перетину прямих

Нехай ABCABC — трикутник з описаним колом Γ\Gamma, DD — точка на прямій (AB)(AB) і EE — точка на прямій (AC)(AC) такі, що прямі (DE)(DE) і (BC)(BC) паралельні. Описане коло трикутника ABCABC перетинає описане коло трикутника BDEBDE вдруге в точці KK, а описане коло трикутника CDECDE — вдруге в точці LL. Нехай TT — точка перетину прямих (BK)(BK) і (CL)(CL). Доведіть, що пряма (TA)(TA) є дотичною до кола Γ\Gamma.
8–10 класиРадикальна вісь
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-001

Точки на одному колі із симетрій трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, D,ED, E — основи висот, проведених з AA і BB відповідно. Пряма (DE)(DE) перетинає описане коло трикутника ABCABC у двох точках PP і QQ. Нехай A′A', B′B' — точки, симетричні до AA і BB відносно прямих (BC)(BC) і (AC)(AC) відповідно. Доведіть, що A′A', B′B', PP, QQ лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-086

Хорда через середини сторін трикутника

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 22, вписаний у коло ω\omega. Хорда кола ω\omega проходить через середини сторін ABAB і ACAC. Обчисліть довжину цієї хорди.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-128

Відношення відрізків на медіані квадрата

Нехай ABCDABCD — квадрат, а MM — середина сторони BCBC. Точки PP і QQ лежать на відрізку AMAM так, що ∠BPD=∠BQD=135∘\angle BPD = \angle BQD = 135^{\circ}. Відомо, що AP<AQAP < AQ, обчисліть AQAP\frac{AQ}{AP}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-097

Перпендикулярність бісектриси AD і прямої XY

Нехай ABCABC — трикутник. Точка DD лежить на відрізку BCBC так, що ∠BAD=∠DAC\angle BAD = \angle DAC. Точка XX лежить по інший бік від прямої BCBC, ніж AA, і задовольняє XB=XDXB = XD та ∠BXD=∠ACB\angle BXD = \angle ACB. Аналогічно, точка YY лежить по інший бік від прямої BCBC, ніж AA, і задовольняє YC=YDYC = YD та ∠CYD=∠ABC\angle CYD = \angle ABC. Доведіть, що прямі XYXY і ADAD перпендикулярні.
10–11 класиЗовнівписане коло3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-131

Дотик кіл у вписаному чотирикутнику

Чотирикутник ABCDA B C D вписано в коло Γ\Gamma. Відрізки ACA C і BDB D перетинаються в точці EE. Коло γ\gamma проходить через точку EE і дотикається до кола Γ\Gamma в точці AA. Припустімо, що описане коло трикутника BCEB C E дотикається до кола γ\gamma в точці EE і дотикається до прямої CDC D в точці CC. Припустімо, що коло Γ\Gamma має радіус 33, а коло γ\gamma має радіус 22. Обчисліть довжину відрізка BDB D.
10–11 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-098

Діагональ трапеції з прямим кутом

Нехай ABCDABCD — опукла трапеція така, що ∠BAD=∠ADC=90∘\angle BAD = \angle ADC = 90^{\circ}, AB=20AB = 20, AD=21AD = 21 і CD=28CD = 28. Точку P≠AP \neq A вибрано на відрізку ACAC так, що ∠BPD=90∘\angle BPD = 90^{\circ}. Обчисліть довжину відрізка APAP.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-132

Трикутник із трисекцією основи й умовою на кути

Трикутник ABCABC з ∠BAC>90∘\angle BAC > 90^{\circ} має AB=5AB = 5 і AC=7AC = 7. Точки DD і EE лежать на відрізку BCBC так, що BD=DE=ECBD = DE = EC. Якщо ∠BAC+∠DAE=180∘\angle BAC + \angle DAE = 180^{\circ}, обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-084

Найменша відстань у прямокутній трапеції

Нехай ABCDABCD — опукла трапеція така, що ∠ABC=∠BCD=90∘\angle ABC = \angle BCD = 90^{\circ}, AB=3AB = 3, BC=6BC = 6 і CD=12CD = 12. Серед усіх точок XX всередині трапеції, які задовольняють ∠XBC=∠XDA\angle XBC = \angle XDA, обчисліть найменше можливе значення довжини відрізка CXCX.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-054

Прямокутний трикутник із дотичним колом і відрізками гіпотенузи

Накреслено прямокутний трикутник і коло так, що коло дотикається до катетів прямокутного трикутника. Коло розбиває гіпотенузу на три відрізки завдовжки 11, 2424 і 33, причому відрізок завдовжки 2424 є хордою кола. Обчисліть площу трикутника.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2023-020

Трикутник із центроїдом та кутовою умовою

Нехай ABCABC — трикутник із центроїдом GG. Точки RR і SS вибрано на променях GBGB та GCGC відповідно так, що ∠ABS=∠ACR=180∘−∠BGC.\angle ABS = \angle ACR = 180^\circ - \angle BGC. Доведіть, що ∠RAS+∠BAC=∠BGC\angle RAS + \angle BAC = \angle BGC.
10–11 класиТочка перетину медіан
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-002

Бісектриса кута в паралелограмі з центроїдом

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а GG — точка перетину медіан трикутника ABDABD. Нехай PP і QQ — точки прямої (BD)(BD) такі, що прямі (GP)(GP) і (PC)(PC) перпендикулярні, а прямі (GQ)(GQ) і (QC)(QC) перпендикулярні. Доведіть, що пряма (AG)(AG) є бісектрисою кута PAQ^\widehat{PAQ}.
9–11 класиТеорема про тризуб
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-006

Фіксована точка рухомих хорд

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Нехай ω\omega — коло, що проходить через BB і CC, причому точка AA лежить усередині кола ω\omega. Нехай XX і YY — точки кола ω\omega такі, що BXA^=AYC^\widehat{BX A} = \widehat{A Y C}. Припустимо, що XX і CC лежать по різні боки від прямої (AB)(AB) і що YY і BB лежать по різні боки від прямої (AC)(AC). Доведіть, що коли XX і YY змінюються на колі ω\omega, пряма (XY)(XY) проходить через фіксовану точку.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-099

Паралелограм із вписаними чотирикутниками

Розглянемо паралелограм ABCDABCD, у якому AB>BCAB > BC. Точка EE на відрізку AB‾\overline{AB} і точка FF на відрізку CD‾\overline{CD} позначені так, що існує коло ω1\omega_1, яке проходить через A,D,E,FA, D, E, F, і коло ω2\omega_2, яке проходить через B,C,E,FB, C, E, F. Якщо кола ω1,ω2\omega_1, \omega_2 розбивають діагональ BD‾\overline{BD} на відрізки BX‾,XY‾,YD‾\overline{BX}, \overline{XY}, \overline{YD} у такому порядку з довжинами 200,9,80200, 9, 80 відповідно, обчисліть довжину сторони BCBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-036

Максимум синуса B за умови із зовнівписаним колом

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з AA-зовнівписаним колом Γ\Gamma. Нехай пряма через AA, перпендикулярна до BCBC, перетинає BCBC в точці DD і перетинає Γ\Gamma в точках EE та FF. Припустимо, що AD=DE=EFAD = DE = EF. Якщо максимальне значення sin⁡B\sin B можна записати у вигляді a+bc\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{c} для натуральних чисел a,ba, b і cc, обчисліть найменше можливе значення a+b+ca+b+c.
10–11 класиЗовнівписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-042

Прямокутний трикутник, коло і перпендикуляр до BO

У прямокутному трикутнику ABCA B C точка DD лежить на гіпотенузі ACA C так, що BD⊥ACB D \perp A C. Нехай ω\omega — коло з центром OO, яке проходить через CC і DD та дотикається до прямої ABA B в точці, відмінній від BB. Точку XX вибрано на катеті BCB C так, що AX⊥BOA X \perp B O. Якщо AB=2A B=2 і BC=5B C=5, то довжину відрізка BXB X можна подати у вигляді ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100 a+b.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2022-027

Конкурентні прямі в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм, у якому ∣AC∣=∣BC∣|AC| = |BC|. Точка PP вибрана на промені ABAB так, що BB лежить між AA і PP. Описане коло трикутника ACDACD і відрізок PDPD мають, окрім точки DD, ще одну спільну точку QQ. Описане коло трикутника APQAPQ і відрізок PCPC мають, окрім точки PP, ще одну спільну точку RR. Доведіть, що три прямі CDCD, AQAQ і BRBR перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2022-002

Дотик описаного кола в трикутнику з бісектрисою

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, у якому AB<ACAB < AC. Нехай - DD — основа бісектриси кута при AA, - EE — точка відрізка BCBC (відмінна від BB) така, що AB=AEAB = AE, - FF — точка відрізка BCBC (відмінна від BB) така, що BD=DFBD = DF, - GG — точка відрізка ACAC така, що AB=AGAB = AG. Доведіть, що описане коло трикутника EFGEFG дотикається до прямої ACAC.
10–11 класиЦентральні і вписані кути

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.