Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 538 задач
Теорія чиселТеорія подільності, основні поняття
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-114

Стрілки годинника з рівними кутами

Опівночі 29 квітня Ебігейл слухає пісню свого улюбленого виконавця, дивлячись на свій годинник, який має годинну, хвилинну та секундну стрілки. Ці стрілки рухаються неперервно. Між двома послідовними опівночами обчисліть кількість моментів, коли годинна, хвилинна та секундна стрілки утворюють два рівні кути, причому жодні дві стрілки не збігаються.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-030

Рівні степені різних повних квадратів

Нехай aa, bb, cc і dd — попарно різні додатні повні квадрати такі, що ab=cda^{b} = c^{d}. Обчисліть найменше можливе значення a+b+c+da + b + c + d.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-047

НСД степеня зі сталою

Ціле число nn вибирають навмання рівномірно з множини {1,2,3,…,2023!}\{1,2,3, \ldots, 2023!\}. Обчисліть ймовірність того, що НСД(nn+50,n+1)=1\text{НСД}\left(n^{n}+50, n+1\right)=1
10–11 класиНСД та НСК
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-061

Монічні многочлени з єдиними універсальними дільниками

Нехай P1(x),P2(x),…,Pk(x)P_{1}(x), P_{2}(x), \ldots, P_{k}(x) — монічні многочлени степеня 1313 з цілими коефіцієнтами. Припустімо, що існують попарно різні натуральні числа n1,n2,…,nkn_{1}, n_{2}, \ldots, n_{k} такі, що для всіх натуральних чисел ii і jj, не більших за kk, твердження «nin_{i} ділить Pj(m)P_{j}(m) для кожного цілого mm» виконується тоді й лише тоді, коли i=ji = j. Обчисліть найбільше можливе значення kk.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-008

Розподіл карток по коробках з обмеженою сумою

Кожен школяр у Нідерландах отримує скінченну кількість карток. На кожній картці стоїть дійсне число з проміжку [0,1][0,1]. (Числа на різних картках не обов'язково мають бути різними.) Знайдіть найменше дійсне число c>0c>0, для якого виконується таке, незалежно від чисел на картках, які отримав кожен. Кожен школяр, у якого сума чисел на картках не перевищує 1000, може розподілити картки по 100 коробках так, щоб сума чисел на картках у кожній коробці не перевищувала cc.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-005

Нижня межа відношення членів послідовності

Знайдіть найбільше дійсне число MM таке, що для кожної нескінченної послідовності x0,x1,x2,…x_0, x_1, x_2, \dots дійсних чисел, яка задовольняє умови a. x0=1x_0 = 1 і x1=3x_1 = 3, b. x0+x1+⋯+xn−1≥3xn−xn+1x_0 + x_1 + \dots + x_{n-1} \ge 3x_n - x_{n+1} для всіх n≥1n \ge 1, нерівність xn+1xn>M,\frac{x_{n+1}}{x_n} > M, виконується для всіх n≥0n \ge 0.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2023-006

Розподіл чисел з відрізка по коробках

Кожен учень у Нідерландах отримує скінченну кількість карток. На кожній картці записано дійсне число з проміжку [0,1][0, 1]. (Числа на різних картках не зобов’язані бути різними.) Знайдіть найменше дійсне число c>0c > 0, для якого, незалежно від чисел на картках, які отримав кожен учень, виконується таке: Будь-який учень, у якого сума чисел на його картках не перевищує 10001000, може розподілити свої картки по 100100 коробках так, щоб сума чисел на картках у кожній коробці не перевищувала cc.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-021

Нерівність для суми обернених квадратів і кубів

Нехай n≥m≥1n \ge m \ge 1 — натуральні числа. Доведіть, що ∑k=mn(1k2+1k3)≥m⋅(∑k=mn1k2)2.\sum_{k=m}^{n} \left( \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^3} \right) \ge m \cdot \left( \sum_{k=m}^{n} \frac{1}{k^2} \right)^2 .
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Відбіркові тести на IMOTST-2023-011

Перестановка без нерухомих точок із заданим порядком

Ми граємо в гру «музичні стільці» з nn стільцями, пронумерованими від 1 до nn. Ми розвішуємо nn аркушів, пронумерованих від 1 до nn, на стільцях так, щоб номер на аркуші не збігався з номером стільця. На кожному стільці сидить гравець. Коли ми плескаємо в долоні, кожен гравець дивиться на номер на аркуші на своєму поточному стільці та сідає на стілець із цим номером. Доведіть, що для кожного mm, що не є степенем простого числа і задовольняє 1<m≤n1<m \leq n, можна розвісити аркуші так, щоб після mm плескань уперше всі знову сиділи на своїх власних стільцях.
10–11 класиПерестановки2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-017

Рівняння з f(x + y) та f(xy) на Q+

Знайдіть усі функції f:Q+→Qf: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q} такі, що f(x)+f(y)=(f(x+y)+1x+y)(1−xy+f(xy))f(x)+f(y)=\left(f(x+y)+\frac{1}{x+y}\right)(1-x y+f(x y)) для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^{+}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2023-038

Відстані у графі, які ділять різницю цілих чисел

Нехай GG — граф, вершинами якого є цілі числа. Припустимо, що будь-які два цілі числа сполучені скінченним шляхом у GG. Для двох цілих чисел xx і yy через d(x,y)d(x, y) позначимо довжину найкоротшого шляху від xx до yy, де довжина шляху — це кількість ребер у ньому. Припустимо, що d(x,y)∣x−yd(x, y) \mid x-y для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}, і визначимо S(G)={d(x,y)∣x,y∈Z}S(G)=\{d(x, y) \mid x, y \in \mathbb{Z}\}. Знайдіть усі можливі множини S(G)S(G).
10–11 класиШляхи на графах
Відбіркові тести на IMOTST-2023-032

Самозбіг скінченних різниць на циклічній групі

Нехай pp — фіксоване просте число, а a≥2a \ge 2 і e≥1e \ge 1 — фіксовані цілі числа. Для функції f:Z/aZ→Z/peZf: \mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z} та цілого числа k≥0k \ge 0 kk-ту скінченну різницю, позначену Δkf\Delta^k f, означено як функцію з Z/aZ\mathbb{Z}/a\mathbb{Z} до Z/peZ\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}, задану рекурсивно як Δ0f(n)=f(n)Δkf(n)=Δk−1f(n+1)−Δk−1f(n)при k=1,2,…\begin{aligned} \Delta^0 f(n) &= f(n) \\ \Delta^k f(n) &= \Delta^{k-1} f(n+1) - \Delta^{k-1} f(n) \quad \text{при } k = 1, 2, \dots \end{aligned} Визначте кількість функцій ff таких, що існує деяке k≥1k \ge 1, для якого Δkf=f\Delta^k f = f.
10–11 класиКитайська теорема про остачі
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-009

Дільники чисел виду 100…001

Розглянемо число N=1000…0001N=1000\ldots 0001, яке складається з цифри один, за якою йдуть 2023 нулі, за якими своєю чергою йде цифра один. Скільки існує власних дільників числа NN (тобто дільників, більших за 1 і менших за NN), які також записуються як цифра 1, за якою йде деяка додатна кількість нулів, за якими своєю чергою йде цифра 1? (A) 3 (B) 5 (C) 12 (D) 14 (E) 16
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-018

Лицарі та брехуни в шерензі

На острові 2023 людини стоять один за одним, кожен з яких — брехун або лицар: лицарі завжди кажуть правду, а брехуни завжди брешуть. Якщо ii непарне, особа на ii-му місці вигукує: «Брехунів щонайменше ii»; якщо ii парне, особа на ii-му місці вигукує: «Брехунів рівно ii». Скільки брехунів?
10–11 класиРозбиття на випадки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-002

Паліндромні числа у послідовних основах

Натуральне число nn називається двічі зворотним типу ℓ\ell, якщо існують дві послідовні основи bb і b+1b+1 такі, що nn подається паліндромними числами з ℓ\ell цифр як в основі bb, так і в основі b+1b+1. Наприклад, 104 є двічі зворотним типу 3, оскільки 10410=4045=2526104_{10}=404_{5}=252_{6}. a. Доведіть, що не існує двічі зворотних чисел типу 2. b. Доведіть, що існує нескінченно багато двічі зворотних чисел типу 3.
10–11 класиСистеми числення
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-001

Зсунуті й масштабовані квадрати

Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що 10+n10 + n і 10n10n — обидва повні квадрати.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-015

Послідовності з обмеженою властивістю підрахунку

Нехай cc — невід'ємне ціле число. Знайдіть усі послідовності натуральних чисел {an}n≥1\{a_n\}_{n \ge 1} такі, що для довільного натурального числа nn виконується така умова: Існує рівно ana_n натуральних чисел ii, які задовольняють ai≤an+1+ca_i \le a_{n+1} + c.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-005

Різні числа в масштабованій арифметичній прогресії

Нехай a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 — різні натуральні числа. Знайдіть найменше можливе значення ∣a7−a1∣|a_7 - a_1| за умови, що послідовність a1,2a2,3a3,4a4,5a5,6a6,7a7a_1, 2a_2, 3a_3, 4a_4, 5a_5, 6a_6, 7a_7 є арифметичною прогресією. Послідовність x1,x2,…,x7x_1, x_2, \dots, x_7 називається арифметичною прогресією, якщо x2−x1=x3−x2=⋯=x7−x6x_2 - x_1 = x_3 - x_2 = \dots = x_7 - x_6.
10–11 класиНСД та НСК
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-011

Гра зі стиранням чисел зі спільними дільниками

Аліса та Боб грають у гру на дошці. Спочатку на дошці написано по одному разу кожне з 2,3,…,502, 3, \dots, 50. Також задано непорожню підмножину SS множини {2,3,…,50}\{2, 3, \dots, 50\}. Першим ходом Аліса стирає з дошки всі елементи множини SS. Після цього обидва гравці, починаючи з Боба, по черзі стирають з дошки одне або більше цілих чисел. Проте вони не можуть стирати цілі числа, які взаємно прості з усіма цілими числами, стертими суперником на попередньому ході. Гра закінчується, коли гравець на початку свого ходу не має цілих чисел, які він може стерти, внаслідок чого цей гравець програє, а інший гравець виграє. Скільки існує множин SS таких, що Аліса завжди може виграти, незалежно від дій Боба?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-002

Строго спадна функція на додатних дійсних числах

Нехай R+\mathbb{R}^+ — множина додатних дійсних чисел. Нехай f:R+→R+f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ — функція, яка задовольняє таку умову. Для кожного додатного дійсного числа xx існує y∈Ry \in \mathbb{R} таке, що (x+f(y))(y+f(x))≤4,(x + f(y))(y + f(x)) \leq 4, і кількість таких yy скінченна. Доведіть, що f(x)>f(y)f(x) > f(y) для кожної пари додатних дійсних чисел xx і yy з x<yx < y.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Корейська математична олімпіада (KMO)KMO-2023-004

Найбільша кількість ходів для скриньок за модулем 3

Нехай nn — натуральне число. Є nn скриньок B1,B2,…,BnB_1, B_2, \dots, B_n, у кожній з яких лежить деяка кількість кульок. Можна виконувати такі ходи. Виберіть натуральні числа ii і jj з 1≤i≤j≤n1 \le i \le j \le n і додайте рівно по одній кульці до кожної зі скриньок Bi,Bi+1,…,BjB_i, B_{i+1}, \dots, B_j. Для натуральних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n нехай f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n) — найменша кількість ходів, необхідна для того, щоб кількість кульок у кожній скриньці стала кратною 33, починаючи з xix_i кульок у скриньці BiB_i для кожного i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n. Знайдіть найбільше значення f(x1,x2,…,xn)f(x_1, x_2, \dots, x_n). (Якщо 3∣xi3|x_i при i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n, то f(x1,x2,…,xn)=0f(x_1, x_2, \dots, x_n) = 0)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-008

Квадратний многочлен, кратний простому числу для всіх значень

Нехай pp — просте число, а f(x)=ax2+bx+cf(x) = a x^{2} + b x + c — многочлен другого степеня з цілими коефіцієнтами такий, що 0<a,b,c≤p0 < a, b, c \leq p. Припустимо, що f(x)f(x) ділиться на pp, коли xx — натуральне число. Знайдіть усі можливі значення a+b+ca + b + c.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-012

Максимальна система трійок з обмеженими перетинами

Нехай n,mn, m — натуральні числа. Нехай A1,A2,A3,…,AmA_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{m} — множини такі, що Ai⊆{1,2,3,…,n}A_{i} \subseteq \{1,2,3,\ldots, n\} і ∣Ai∣=3|A_{i}| = 3 для всіх ii (тобто AiA_{i} складається з трьох різних натуральних чисел, кожне з яких не перевищує nn). Припустимо, що для всіх i<ji < j виконується ∣Ai∩Aj∣⩽1|A_{i} \cap A_{j}| \leqslant 1 (тобто AiA_{i} і AjA_{j} мають не більше одного спільного елемента). a. Доведіть, що m⩽n(n−1)6m \leqslant \frac{n(n - 1)}{6}. b. Покажіть, що для всіх n≥3n \geq 3 можна досягти m⩾(n−1)(n−2)6m \geqslant \frac{(n - 1)(n - 2)}{6}.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-005

Цілі значення виразу з простими числами

Знайдіть усі цілі значення, яких може набувати вираз pq+pp+qqp+q\frac{p q + p^{p} + q^{q}}{p + q} де pp і qq — прості числа.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-010

Прямокутні розбиття непарного квадрата

Нехай nn — натуральне число. Рожер має квадратний сад розміру (2n+1)×(2n+1)(2 n+1) \times (2 n+1). Він зводить паркани, щоб поділити його на прямокутні грядки. Він хоче отримати рівно дві горизонтальні грядки k×1k \times 1 і рівно дві вертикальні грядки 1×k1 \times k для кожного парного числа kk між 1 і 2n+12 n+1, а також одну квадратну грядку розміру 1×11 \times 1, коли завершить. Скількома різними способами Рожер може поділити свій сад?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.