Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 538 задач
Теорія чиселТеорія подільності, основні поняття
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2023-017

НСД членів рекурентної послідовності

Нехай xx, yy та a0a_{0}, a1a_{1}, a2a_{2}, …\ldots — цілі числа, що задовольняють a0=a1=0a_{0}=a_{1}=0 і an+2=x⋅an+1+y⋅an+1a_{n+2}=x \cdot a_{n+1}+y \cdot a_{n}+1 для всіх цілих n≥0n \geq 0. Нехай pp — довільне просте число. Доведіть, що НСД(ap,ap+1)\text{НСД}\left(a_{p}, a_{p+1}\right) або дорівнює 11, або більше за p\sqrt{p}.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-007

Мінімізація відношення добутків різних цифр

Нехай aa, bb, cc, dd, ee, ff, gg, hh, ii — різні цілі числа від 11 до 99. Найменше можливе додатне значення виразу a⋅b⋅c−d⋅e⋅fg⋅h⋅i\frac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i} можна записати у вигляді mn\frac{m}{n}, де mm і nn — взаємно прості натуральні числа. Знайдіть m+nm+n.
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2022-003

Максимальне остаточне значення при операціях на дошці

Нехай n≥2n \geq 2 — ціле число. Спочатку число 11 написано на дошці nn разів. Щохвилини Вішал вибирає два числа, написані на дошці, скажімо aa і bb, стирає їх і записує або a+ba+b, або min⁡{a2,b2}\min \{a^{2}, b^{2}\}. Через n−1n-1 хвилин на дошці залишається одне число. Нехай найбільше можливе значення цього остаточного числа дорівнює f(n)f(n). Доведіть, що 2n/3<f(n)≤3n/32^{n / 3}<f(n) \leq 3^{n / 3}
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-001

Найбільше дільниково просте число

Натуральне число nn називається дільниково простим, якщо для кожного натурального дільника dd числа nn принаймні одне з чисел d−1d-1 і d+1d+1 є простим. Наприклад, 88 — дільниково просте, бо його натуральні дільники 11, 22, 44 і 88 кожен відрізняється на 11 від простого числа (відповідно від 22, 33, 55 і 77), тоді як 99 не є дільниково простим, бо дільник 99 не відрізняється на 11 від простого числа (і 88, і 1010 — складені). Знайдіть найбільше дільниково просте число.
10–11 класиПарність та непарність
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-009

Властивості чотирицифрових сонячних чисел

Натуральне число називаємо сонячним, якщо воно має чотири цифри і до того ж кожна з двох крайніх цифр рівно на 1 більша за сусідню з нею цифру. Числа 87238723 і 10011001, наприклад, сонячні, а 12341234 і 8724587245 — ні. a) Скільки існує сонячних чисел таких, що подвоєне число знову є сонячним числом? b) Доведіть, що кожне сонячне число, більше за 20002000, ділиться на трицифрове число з 99 посередині.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2022-003

Послідовність дробів з ітеративним скороченням

Нехай задано натуральне число cc, побудуємо послідовність дробів a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots так: a1=cc+1a_1 = \frac{c}{c+1}; щоб отримати ana_n, беремо an−1a_{n-1} (у найпростішому вигляді, з додатними чисельником і знаменником) і додаємо 2 до чисельника та 3 до знаменника. Потім результат знову максимально скорочуємо, з додатними чисельником і знаменником. Наприклад, якщо взяти c=20c = 20, то a1=2021a_1 = \frac{20}{21} і a2=2224=1112a_2 = \frac{22}{24} = \frac{11}{12}. Тоді дістаємо, що a3=1315a_3 = \frac{13}{15} (який уже є нескоротним) і a4=1518=56a_4 = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}. a. Нехай c=10c = 10, отже a1=1011a_1 = \frac{10}{11}. Знайдіть найбільше nn, для якого при побудові ana_n потрібне скорочення. b. Нехай c=99c = 99, отже a1=99100a_1 = \frac{99}{100}. Визначте, чи знадобиться десь у послідовності скорочення. c. Знайдіть два значення cc, для яких на першому кроці побудови a5a_5 (до скорочення) чисельник і знаменник діляться на 5.
10–11 класиНСД та НСК
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-031

Рівність сум факторіалів та добуток

Нехай aa, bb, cc і dd — натуральні числа. Припустимо, що a!+b!=c!+d!a! + b! = c! + d!. Доведіть, що ab=cda b = c d.
8–10 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-034

Суми на послідовних аркушах по колу

Нехай nn — ціле число таке, що n⩾3n \geqslant 3. Люсі розкладає nn білих аркушів по колу, а потім пише дійсне число на кожному аркуші. Знайти всі цілі числа kk такі, що 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, для яких справджується така властивість: якщо хоча б одне з чисел, написаних Люсі, відмінне від нуля, то існує kk послідовних аркушів, сума чисел на яких відмінна від нуля.
8–10 класиНСД та НСК
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-035

Гра з простими числами і подільністю

Аліна і Тео грають у таку гру. Спочатку Тео вибирає прості числа p1,p2,…p_{1}, p_{2}, \ldots Потім Аліна вибирає попарно різні ненульові натуральні числа n1,n2,…n_{1}, n_{2}, \ldots Після цього Тео вибирає два цілі числа k⩾1k \geqslant 1 і ℓ⩾1\ell \geqslant 1. Він виграє партію, якщо існує нескінченно багато цілих чисел nin_{i}, які не діляться на pkℓp_{k}^{\ell}. Інакше виграє Аліна. a) Хто — Аліна чи Тео — має виграшну стратегію? b) Щоб ще ускладнити гру, Аліна тепер має додаткове обмеження: кожне ціле число nin_{i} може ділити лише скінченну кількість цілих чисел njn_{j}. За цих нових правил хто — Аліна чи Тео — має виграшну стратегію?
8–10 класиОсновна теорема арифметики
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-036

Максимальна множина кодів з відстанню Геммінга

Уряд Боснії і Герцеговини вирішив запровадити нову систему номерних знаків. Кожен номерний знак має містити 8 цифр, кожна з яких може дорівнювати 0,1,2,3,4,5,6,7,80,1,2,3,4,5,6,7,8 або 99. Крім того, будь-які два різні номерні знаки завжди повинні відрізнятися принаймні двома цифрами. Наприклад, якщо введено в обіг знак 0000000000000000, уряд не зможе ввести в обіг знак 0001000000010000. Знайдіть найбільшу кількість номерних знаків, яку уряд може ввести в обіг.
8–10 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-039

Сума остач від ділення

Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 позначимо через fnf_{n} суму всіх остач, одержаних при діленні nn на числа 1,2,…,n1,2, \ldots, n. Наприклад, якщо поділити 55 на 1,2,3,41,2,3,4 і 55, одержані остачі дорівнюють 0,1,2,10,1,2,1 і 00, так що f5=0+1+2+1+0=4f_{5}=0+1+2+1+0=4. Знайти всі цілі n⩾2n \geqslant 2 такі, що fn=fn−1+n−2f_{n}=f_{n-1}+n-2.
8–10 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-003

Найменше число з трьома дільниками із сумою 2022

Кажуть, що ціле число n⩾1n \geqslant 1 є ніппонським, якщо воно має три дільники d1,d2d_{1}, d_{2} і d3d_{3} такі, що 1⩽d1<d2<d31 \leqslant d_{1}<d_{2}<d_{3} і d1+d2+d3=2022d_{1}+d_{2}+d_{3}=2022. Яке найменше ніппонське ціле число?
9–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-041

Послідовні числа із заданими найбільшими простими дільниками

Нехай pp і qq — два різні прості числа, такі, що p<2qp < 2q і q<2pq < 2p. Доведіть, що існують два послідовні цілі числа, одне з яких має pp як найбільший простий дільник, а інше має qq як найбільший простий дільник.
8–10 класиЛінійні діофантові рівняння
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-019

Сума зі знаками плюс і мінус, кратна 2021

Орельєн написав на дошці 11 натуральних чисел. Доведіть, що він може вибрати деякі з цих чисел і розставити між ними знаки + і - так, щоб результат ділився на 2021.
8–10 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-043

Найбільше не $n$-розфарбовне коло

Нехай mm і nn — цілі числа такі, що m>n⩾3m > n \geqslant 3. Моргана розташувала mm фішок по колу і збирається пофарбувати їх, використовуючи nn різних кольорів. Вона хоче, щоб серед будь-яких n+1n+1 послідовних фішок завжди була принаймні одна фішка кожного з nn кольорів. Якщо вона може цього досягти, то кажуть, що ціле число mm є nn-розфарбовним. Доведіть, що для будь-якого цілого n⩾3n \geqslant 3 існує лише скінченна ненульова кількість цілих чисел mm, які не є nn-розфарбовними, і знайдіть найбільше ціле число mm, яке не є nn-розфарбовним.
8–10 класиКонструкція через періодичність
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-007

Множини з цілими середніми арифметичними та геометричними

Множина EE натуральних чисел називається цікавою, якщо для будь-якого n⩾1n \geqslant 1 і для будь-яких x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} попарно різних елементів з EE їхнє середнє арифметичне 1n(x1+…+xn)\frac{1}{n}\left(x_{1}+\ldots+x_{n}\right) та їхнє середнє геометричне (x1⋅…⋅xn)1n\left(x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{\frac{1}{n}} є цілими числами. 1. Чи існує цікава множина EE, що містить рівно 2022 елементи? 2. Чи існує нескінченна цікава множина EE?
8–10 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-048

Подільність на добуток змінних

Знайдіть усі пари (x,y)(x, y) натуральних чисел таких, що xy∣x2+2y−1x y \mid x^{2}+2 y-1.
8–10 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-052

Мінімальна сума цілих частин для перестановки

Перестановкою цілих чисел від 11 до 20222022 називається послідовність σ=(σ1,…,σ2022)\sigma = (\sigma_{1}, \ldots, \sigma_{2022}) така, що кожен елемент множини {1,…,2022}\{1, \ldots, 2022\} збігається рівно з одним членом σi\sigma_{i}. Яке найменше можливе значення може набувати сума ⌊a11⌋+⌊a22⌋+…+⌊a20222022⌋\left\lfloor\frac{a_{1}}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{a_{2}}{2}\right\rfloor+\ldots+\left\lfloor\frac{a_{2022}}{2022}\right\rfloor коли цілі числа a1,a2,…,a2022a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2022} утворюють перестановку цілих чисел від 11 до 20222022?
10–11 класиМетод математичної індукції
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-045

Дільники потроєного квадрата, що дають повний квадрат

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — натуральне число. Знайдіть усі дільники d⩾1d \geqslant 1 числа 3n23 n^{2} такі, що n2+dn^{2}+d є повним квадратом.
8–10 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-021

Трикутники з трьох кольорів між n цвяхами

Нехай n⩾1n \geqslant 1 — натуральне число. На стіні забито nn цвяхів. Кожна пара цвяхів з'єднана мотузкою, пофарбованою в один з nn кольорів. Кажуть, що стіна пофарбована, якщо для будь-якої трійки попарно різних кольорів a,b,ca, b, c існують три цвяхи такі, що три мотузки, які їх з'єднують, мають кольори a,ba, b і cc. - Чи існує пофарбована стіна для n=6n=6? - Чи існує пофарбована стіна для n=7n=7?
8–10 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-055

Подільність тягне остаточну періодичність

Нехай (an)n⩾1\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1} — послідовність натуральних чисел така, що an+2ma_{n+2 m} ділить an+an+ma_{n}+a_{n+m} для всіх цілих чисел m⩾1m \geqslant 1 і n⩾1n \geqslant 1. Доведіть, що ця послідовність є остаточно періодичною, тобто існують цілі числа N⩾1N \geqslant 1 і d⩾1d \geqslant 1 такі, що an=an+da_{n}=a_{n+d} для всіх n⩾Nn \geqslant N.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-056

Допустимі множини з x²+kxy+y² для m і n

Множина AA цілих чисел називається допустимою, якщо вона має таку властивість: для всіх x,y∈Ax, y \in A (не обов'язково різних) і для всякого k∈Zk \in \mathbb{Z} маємо x2+kxy+y2∈Ax^{2}+k x y+y^{2} \in A. Визначити всі пари ненульових цілих чисел (m,nm, n) такі, що єдиною допустимою множиною, яка містить одночасно mm і nn, є Z\mathbb{Z}.
8–10 класиНСД та НСК
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-026

Подвійна сума з цілою частиною

Знайдіть усі цілі числа nn, для яких виконується рівність ∑i=1n∑j=1n⌊i×jn+1⌋=n2(n−1)4\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left\lfloor\frac{i \times j}{n+1}\right\rfloor=\frac{n^{2}(n-1)}{4} Нагадаємо, що для будь-якого дійсного числа xx позначення ⌊x⌋\lfloor x\rfloor означає цілу частину числа xx, тобто найбільше ціле число, менше або рівне xx.
9–11 класиЦіла та дробова частини числа
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-046

Подільність куба мінус три

Знайдіть усі цілі числа aa такі, що a−3a-3 ділить a3−3a^{3}-3.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2022-020

Строго зростаюча послідовність із властивістю різниць

Нехай (an)(a_{n}) — строго зростаюча послідовність натуральних чисел така, що a1=1a_{1}=1 і для кожного n⩾1n \geqslant 1 виконується an+1⩽2na_{n+1} \leqslant 2n. Доведіть, що для кожного натурального n⩾1n \geqslant 1 існують два індекси pp і qq такі, що ap−aq=na_{p}-a_{q}=n.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.