Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

288 задач
ГеометріяГомотерія і подібність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-030

Перпендикулярні бісектриси та паралельність XY і EC

Трикутники ABCABC та ADEADE такі, що точка EE розташована на промені ABAB, а точка DD — на промені ACAC. Виявилося, що бісектриси BXBX та DYDY цих трикутників перпендикулярні. Доведіть, що XY∥ECXY \parallel EC.
11 класГомотерія і подібність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-098

Шестикутник з паралельними сторонами та рівновіддалені прямі

Дано опуклий шестикутник з паралельними протилежними сторонами. Для кожної пари протилежних сторін побудовано пряму, паралельну цим сторонам та рівновіддалену від них. Доведіть, що три прямі, проведені таким чином, перетинаються в одній точці тоді й тільки тоді, коли довжини протилежних сторін рівні.
9 класПаралельні прямі і теорема Фалеса
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-073

KM паралельно AC і пряма P, N, L

Вписане в трикутник ABCABC коло Ω\Omega дотикається до сторін ABAB та ACAC у точках KK та LL відповідно. Пряма BLBL перетинає вписане коло вдруге в точці MM. Коло ω\omega, що проходить через точку MM та дотикається до сторін ABAB і BCBC у точках PP і QQ відповідно, удруге перетинає коло Ω\Omega у точці NN. Доведіть, що коли KM∥ACKM \parallel AC, то точки PP, NN та LL лежать на одній прямій.
11 класГомотерія і подібність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-19-20-036

Коло через точки D, E, M, N у трикутнику

Нехай трикутник ABCABC має інцентром точку II, Ω\Omega — описане коло. Позначимо через ww коло, що дотикається до сторін ABAB та ACAC у точках DD та EE відповідно, а також внутрішнім чином дотикається до кола Ω\Omega у точці TT. Пряма ITIT удруге перетинає коло ww у точці PP. Позначимо через MM та NN відповідно точки перетину прямих PDPD та PEPE з прямою BCBC. Доведіть, що точки DD, EE, MM, NN належать одному колу, та визначте центр цього кола.
11 класКола, що дотикаються
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-105

Дотик описаних кіл трикутників ABC і XYK

Нехай точки Ha,Hb,HcH_a, H_b, H_c — основи висот, опущених із відповідних вершин трикутника ABCABC, точка HH — ортоцентр цього трикутника, а точка KK симетрична точці HH відносно прямої BCBC. Пряма, що проходить через точку HH паралельно прямій HbHcH_bH_c, перетинає прямі ABAB та ACAC у точках XX та YY. Доведіть, що описані кола трикутників ABCABC та XYKXYK дотикаються.
10 класГомотерія і подібність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-101

Описаний чотирикутник і прямі A1A2, C1C2, BD

Нехай чотирикутник ABCDABCD описано навколо кола із центром у точці OO. На променях ABAB, ADAD, CBCB та CDCD відклали рівні відрізки AA1AA_1, AA2AA_2, CC1CC_1 та CC2CC_2, довжина яких більша за довжину будь-якої зі сторін чотирикутника ABCDABCD. Виявилося, що точки A1A_1, A2A_2, C1C_1 та C2C_2 лежать на одному колі із центром у точці OO. Доведіть, що прямі A1A2A_1A_2, C1C2C_1C_2 та BDBD перетинаються в одній точці або паралельні.
9 класДотична кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-18-19-018

Рівність кутів у трикутнику з паралельним відрізком

На сторонах ABAB та ACAC трикутника ABCABC вибрано точки DD та EE відповідно таким чином, що DE∥BCDE \parallel BC. Точка MM — середина сторони BCBC. Точка PP така, що DB=DPDB = DP, EC=EPEC = EP, відрізки APAP і BCBC перетинаються у внутрішній точці, тобто в точці, що відмінна від кінців відрізків. Доведіть, що ∠CPE=∠BMD\angle CPE = \angle BMD, якщо ∠BPD=∠CME\angle BPD = \angle CME.
9 класТочка перетину серединних перпенд…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-111

Дотик кіл через симетричні відносно сторін точки

У трикутнику ABCABC пряма, яка не збігається зі сторонами трикутника та проходить через точку AA, перетинає висоти BH2BH_2 та CH3CH_3 у точках D1D_1 та E1E_1 відповідно. Точки D2D_2 та E2E_2 симетричні точкам D1D_1 та E1E_1 відносно сторін ABAB і ACAC відповідно. Доведіть, що кола, описані навколо трикутників D2ABD_2AB та E2ACE_2AC, дотикаються.
10 класСиметрія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-122

Дотичні кола трикутника та колінеарність трьох точок

Задано трикутник ABCABC. Коло ww із центром у точці QQ дотикається до сторони BCBC, а також дотикається внутрішнім чином до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA. Нехай MM — середина сторони BCBC, а NN — середина дуги BACBAC описаного кола трикутника ABCABC. На відрізку BCBC вибрано таку точку SS, що ∠BAM=∠SAC\angle BAM = \angle SAC. Доведіть, що точки NN, QQ та SS лежать на одній прямій.
11 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-032

Дотичні з точки кола і фіксована пряма

Два кола w1w_1 та w2w_2 із центрами O1O_1 та O2O_2 відповідно дотикаються зовнішнім чином у точці MM, при цьому радіус кола w2w_2 більший за радіус кола w1w_1. Розглянемо точку A∈w2A \in w_2 таку, що точки O1O_1, O2O_2 та AA не колінеарні. ABAB та ACAC — дотичні до кола w1w_1 (BB та CC є точками дотику). Лінії MBMB і MCMC перетинають вдруге коло w2w_2 у точках EE і FF відповідно. Точку перетину EFEF і дотичної в точці AA до кола w2w_2 позначимо через DD. Доведіть, що точка DD лежить на фіксованій прямій, коли точка AA рухається по колу w2w_2 таким чином, що точки O1O_1, O2O_2 та AA не колінеарні.
11 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-13-14-023

Площа шестикутника, утвореного симетрією вершин трикутника

У трикутнику ABCABC позначимо через MM, LL, KK середини його сторін. Усередині трикутника MKLMKL вибрано точку UU. Точки A′A', B′B', C′C' — симетричні відповідно точкам AA, BB, CC відносно точки UU. Доведіть, що площа шестикутника AB′CA′BC′AB'CA'BC' удвічі більша за площу трикутника ABCABC.
10 класГомотерія і подібність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-12-13-020

Трапеція з точками K і L на відрізку EF

Нехай ABCDABCD — трапеція з основами AB>CDAB > CD. Точки EE та FF вибрано на відрізках ABAB і CDCD відповідно таким чином, щоб AEEB=DFFC\dfrac{AE}{EB} = \dfrac{DF}{FC}. Нехай KK та LL — дві точки на відрізку EFEF такі, що ∠AKB=∠DCB\angle AKB = \angle DCB і ∠CLD=∠CBA\angle CLD = \angle CBA. Доведіть, що точки KK, LL, BB і CC — циклічні.
10 класГомотерія і подібність
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-10-11-026

Перетин прямих через точки дотику та бісектриси трикутника

Бісектриси кутів AA, BB та CC трикутника ABCABC перетинають описане навколо цього трикутника коло S1(O,R)S_1(O, R) у точках A2A_2, B2B_2, C2C_2 відповідно. Дотичні до кола S1S_1 у точках A2A_2, B2B_2, C2C_2 перетинаються між собою в точках A3A_3, B3B_3, C3C_3 (точки AA і A3A_3 лежать по один бік від прямої BCBC, аналогічно для інших точок). Нехай вписане у трикутник ABCABC коло S2(I,r)S_2(I, r) дотикається до його сторін у точках A1A_1, B1B_1, C1C_1 відповідно (точка A1∈BCA_1 \in BC, аналогічно для інших точок). Доведіть, що прямі A1A2A_1A_2, B1B2B_1B_2, C1C2C_1C_2, AA3AA_3, BB3BB_3, CC3CC_3 перетинаються в одній точці.
10 класГомотерія і подібність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-083

Два дотичні кола у протилежних кутах паралелограма

Усередині паралелограма ABCDABCD розташовано кола γ1\gamma_1 та γ2\gamma_2, які дотикаються зовнішнім чином у точці KK. Коло γ1\gamma_1 дотикається до сторін ADAD та ABAB, а коло γ2\gamma_2 — до сторін CDCD та CBCB паралелограма. Доведіть, що точка KK лежить на діагоналі ACAC паралелограма.
11 класГомотерія і подібність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-064

Кола, що дотикаються, паралельні діаметри і пряма MN

У двох колах, що дотикаються зовнішнім чином у точці CC, провели однаково напрямлені діаметри A1A2A_1A_2 та B1B2B_1B_2 (чотирикутник A1B1B2A2A_1B_1B_2A_2 є трапецією з основами A1A2A_1A_2 та B1B2B_1B_2 або паралелограмом). Коло з центром на спільній внутрішній дотичній до обох кіл проходить через точку перетину прямих A1B2A_1B_2 та A2B1A_2B_1, а також перетинає їх у точках MM та NN відповідно. Доведіть, що пряма MNMN перпендикулярна до паралельних діаметрів A1A2A_1A_2 та B1B2B_1B_2.
9 класГомотерія і подібність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-09-10-058

Рівність сум площ чотирикутників при гомотетії квадрата

Усередині квадрата ABCDABCD вибрано точку OO. Квадрат A′B′C′D′A'B'C'D' — образ квадрата ABCDABCD при гомотетії з центром у точці OO та коефіцієнтом k>1k>1 (точки A′A', B′B', C′C', D′D' є образами точок AA, BB, CC, DD відповідно). Доведіть, що сума площ чотирикутників A′ABB′A'ABB' і C′CDD′C'CDD' дорівнює сумі площ чотирикутників B′BCC′B'BCC' і D′DAA′D'DAA'.
10 класПлоща чотирикутника
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-031

Вписаний чотирикутник, перпендикуляри і точки на одній прямій

Нехай чотирикутник ABCDABCD вписаний в коло з центром OO, з тупими кутами ∠B\angle B і ∠C\angle C. Нехай EE – точка перетину прямих ABAB і CDCD. PP та RR – основи перпендикулярів, опущених з точки EE на BCBC та ADAD відповідно. Нехай QQ – точка перетину прямих EPEP і ADAD, а SS – точка перетину прямих ERER і BCBC. Позначимо через KK – середина відрізку QSQS. Доведіть, що точки E,K,OE, K, O лежать на одній прямій.
10 класОписане коло
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-029

2006-кутник з діагоналями і лініями середин через одну точку

Нехай PP – опуклий 2006-кутник. Проведені 1003 діагоналі, що з'єднують протилежні вершини та 1003 прямі, що з'єднують середини протилежних сторін, усі ці 2006 прямих перетинаються в одній точці. Довести, що протилежні сторони PP паралельні та рівні.
9 класГомотерія і подібність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-050

Прямий кут на серединах сторін трикутника

Дано трикутник ABCABC всередині якого існує така точка OO, що ∠BOC=90∘\angle BOC = 90^\circ та ∠BAO=∠BCO\angle BAO = \angle BCO. Точки MM і NN – середини сторін ACAC і BCBC відповідно. Доведіть, що кут ∠OMN\angle OMN – прямий.
11 класГомотерія і подібність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-039

Висота BB1, точка D і середина відрізка BF

У гострокутному різносторонньому трикутнику ABCABC проведено висоту BB1BB_1. На стороні BCBC вибрано таку точку DD, що ∠BAD=∠CBB1\angle BAD = \angle CBB_1. Відрізки ADAD і BB1BB_1 перетинаються в точці FF. Через точку BB, перпендикулярно до сторони ABAB провели пряму ll, яка перетинається з прямою CFCF в точці KK. Доведіть, що пряма DKDK перетинає відрізок BFBF у його середині.
9 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-047

Середина відрізка BH і точки на прямій A2C2

Нехай HH – точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC, точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1, – середини сторін BC,CABC, CA і ABAB відповідно. Нехай A2A_2 та C2C_2 – такі точки, що A2A⊥ACA_2A \perp AC і A2C1⊥ABA_2C_1 \perp AB, C2C⊥ACC_2C \perp AC і C2A1⊥BCC_2A_1 \perp BC. Доведіть такі твердження: а) середина відрізка BHBH лежить на прямій A2C2A_2C_2 б) нехай пряма BB1BB_1 перетинає коло, описане навколо трикутника A1B1C1A_1B_1C_1, в точках B1B_1 і B3B_3, тоді точка B3B_3 лежить на прямій A2C2A_2C_2
10 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-06-07-032

Середина бісектриси і точки з прямими кутами

В гострокутному трикутнику ABCABC проведена бісектриса AA1AA_1, точка MM – її середина. На відрізку BMBM існує така точка PP, що кут APCAPC дорівнює 90∘90^\circ, на відрізку CMCM існує така точка QQ, що ∠AQB=90∘\angle AQB = 90^\circ. Доведіть, що точки P,M,Q,A1P, M, Q, A_1 належать одному колу.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-05-06-084

Два кола, що перетинаються, дотичні та паралельні прямі

Нехай AA і BB — дві різні точки перетину двох кіл ω1\omega_1 і ω2\omega_2, CC — точка перетину дотичної до кола ω1\omega_1, проведеної через точку AA, з дотичною до кола ω2\omega_2, проведеною через точку BB. Пряма ACAC перетинає коло ω2\omega_2 в точці TT, відмінній від AA. На колі ω1\omega_1 довільно обирається відмінна від AA і BB точка XX так, щоб пряма XAXA перетинала коло ω2\omega_2 в точці YY, відмінній від AA. Нехай пряма YBYB перетинає пряму XCXC в точці ZZ. Доведіть, що прямі TZTZ і XYXY паралельні.
11 класГомотерія і подібність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-05-06-087

Паралелепіпед на променях від точки всередині куба

У просторі дано куб ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1. Усередині цього куба відмітили довільно точку MM. На променях MAMA, MBMB, MCMC, MDMD, MA1MA_1, MB1MB_1, MC1MC_1 і MD1MD_1 відмітили відмінні від MM точки A′A', B′B', C′C', D′D', A1′A_1', B1′B_1', C1′C_1' і D1′D_1' відповідно так, що A′B′C′D′A1′B1′C1′D1′A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1' є паралелепіпедом (призмою, усі грані котрої є паралелограмами). Доведіть, що цей паралелепіпед A′B′C′D′A1′B1′C1′D1′A'B'C'D'A_1'B_1'C_1'D_1' — куб.
11 класГомотерія і подібність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-04-05-050

Відрізок, паралельний стороні трикутника, і перпендикулярні площини

Точки KK і LL лежать на сторонах ABAB і ACAC відповідно гострокутного трикутника ABCABC так, що KL∥BCKL\parallel BC. Точка OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, MM — точка простору, яка не лежить у площині трикутника ABCABC і MK⊥ABMK\perp AB та ML⊥ACML\perp AC. Доведіть, що площина трикутника AOMAOM перпендикулярна площині трикутника ABCABC.
10 класГомотерія і подібність

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.