Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

230 задач
КомбінаторикаІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-24-25-032

Хто переможе в грі з купками монет

Альберт і Барбара грають у таку гру: спочатку на столі лежить 40484048 купок монет, що містять відповідно 1,1,…,1⏟2024,2,3,4,…,2025\underbrace{1, 1, \ldots, 1}_{2024}, 2, 3, 4, \ldots, 2025 монет. Гравці роблять ходи по черзі, і розпочинає Альберт. Кожен гравець робить один з таких можливих ходів: - забирає 11 монету з будь-якої купки; - ділить довільну купку на дві купки, у кожній з яких має бути принаймні 11 монета. Перемагає той, хто забере зі стола останню монету. З'ясуйте, хто може перемогти в цій грі, якщо кожний прагне перемогти.
11 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-109

Два многочлени на дошці та їхня можлива рівність

На початку на дошці записано два константні многочлени: 00 і 11. На кожному кроці дозволяється до одного з многочленів додати 11, а інший домножити на многочлен 45x+202545x + 2025. Чи можуть у якийсь момент многочлени стати рівними?
11 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-019

Послідовності від 1 до n і сума сталих чисел

Нехай nn — деяке натуральне число. Розглянемо послідовності чисел a0,a1,…,aka_0, a_1, \ldots, a_k та b0,b1,…,bkb_0, b_1, \ldots, b_k, що задовольняють такі умови: a0=b0=1a_0 = b_0 = 1, ak=bk=na_k = b_k = n, для кожного ii від 11 до kk пара чисел (ai,bi)(a_i, b_i) дорівнює або парі (1+ai−1,bi−1)\left(1 + a_{i-1}, b_{i-1}\right), або парі (ai−1,1+bi−1)\left(a_{i-1}, 1 + b_{i-1}\right). Розглянемо для кожного ii від 11 до kk послідовність ci={ai, якщо ai=ai−1;bi, якщо bi=bi−1.c_i = \begin{cases} a_i, \text{ якщо } a_i = a_{i-1}; \\ b_i, \text{ якщо } b_i = b_{i-1}. \end{cases} Чому дорівнює сума c1+c2+…+ckc_1 + c_2 + \ldots + c_k? У відповіді запишіть значення виразу при n=100n = 100.
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-067

Об'єднання і поділ купок монет на одиничні

Дано 315315 монет, що поділені на три купки з 8181, 115115 та 119119 монет. За один крок можна поєднати разом декілька існуючих купок або купку, що має парну кількість монет, поділити на дві рівні купки. Чи можна за скінченну кількість кроків утворити 315315 купок, у кожній з яких буде рівно одна монета?
10 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-023

Перетворення ряду з мільйона чисел до зупинки

У ряд виписано мільйон чисел: перше число дорівнює 123 456 789123\,456\,789, а решта 999 999999\,999 чисел — нулі. За один хід дозволено вибрати одне число, яке принаймні на 1010 менше від сусіднього ліворуч, збільшити його на 11, а всі числа ліворуч за вибране число зменшити на 99. Такі ходи роблять доти, доки це можливо. Який набір чисел може утворитися врешті-решт? Укажіть усі можливі відповіді.
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-071

Найменша кількість застосувань програми Три для рівних чисел

Петрик використовує комп’ютерну програму «Три», яка перетворює записані на дисплеї числа. Для одного застосування цієї програми Петрик вибирає п’ять чисел із записаних, а програма збільшує кожне із цих п’яти чисел у 33 рази. На початку на дисплеї записано такі 2020 чисел: 1,31,32,…,3191, 3^1, 3^2, \ldots, 3^{19}. За яку найменшу кількість застосувань цієї програми Петрик зможе отримати на дисплеї набір рівних чисел?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-103

Многочлени у пам’яті комп’ютера та многочлен P(x)

На початку роботи в пам’яті комп’ютера був єдиний многочлен x2−1x^2-1. Щохвилини комп’ютер або вибирає зі своєї пам’яті довільний многочлен f(x)f(x) та запам’ятовує ще й многочлени f2(x)−1f^2(x)-1 та f(x2−1)f(x^2-1), або вибирає будь-які два різних многочлени g(x)g(x) та h(x)h(x) та ще й запам’ятовує многочлен 12(g(x)+h(x))\frac{1}{2}(g(x)+h(x)). Чи може за деякий час у пам’яті комп’ютера бути записаний многочлен P(x)=11024(x2−1)2048−1?P(x)=\frac{1}{1024}(x^2-1)^{2048}-1?
11 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-060

Перетворення відсортованого масиву з відніманням індексів

Дано натуральне число NN і відсортований масив цілих чисел A0=[a1,a2,…,aN]A^0=[a_1, a_2, \ldots, a_N], для яких виконується умова 0=a1⩽a2⩽…⩽aN⩽N0=a_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_N \leqslant N. Масив Ai+1A^{i+1} отримують з масиву AiA^i так: для кожного jj від 11 до NN від jj-го елемента AiA^i віднімають jj, отриманий масив сортують знову в порядку неспадання, після чого до всіх чисел додають деяку константу так, щоб мінімальне число в масиві стало рівним 00 — отриманий масив є масивом Ai+1A^{i+1}. Наприклад: A0=[0,0,1,2]→[−1,−2,−2,−2]→[−2,−2,−2,−1]→A1=[0,0,0,1]→[−1,−2,−3,−3]→[−3,−3,−2,−1]→A2=[0,0,1,2].A^0=[0, 0, 1, 2] \to [-1, -2, -2, -2] \to [-2, -2, -2, -1] \to A^1=[0, 0, 0, 1] \to [-1, -2, -3, -3] \to [-3, -3, -2, -1] \to A^2=[0, 0, 1, 2]. Доведіть, що для i⩾N−1i \geqslant N-1 справджується умова Ai=Ai+2A^i=A^{i+2}.
11 класНапівінваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-077

Числа по колу та три сусідні одиниці

По колу написано 299299 цифр 00 та одну цифру 11. Дозволено робити такі ходи з написаними по колу числами: - від кожного числа відняти суму сусідніх із ним чисел; - вибрати два числа, між якими розташовано рівно два інших числа, та збільшити обидва на 11 або зменшити обидва на 11. Чи можна за скінченну кількість зазначених дій отримати таке розташування чисел, за якого матимемо три сусідніх числа 11, а решту чисел — 00?
10 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-024

Хто виграє у грі з розрізання аркуша 2017×2017

Двоє гравців по черзі розрізають аркуш паперу в клітинку розміром 2017×20172017\times2017. Кожен робить розріз довжиною 1 по довільній стороні деякого одиничного квадрата. Сторона сполучає сусідні вузли клітинок, при цьому принаймні один із цих вузлів має бути розташованим на краю аркуша або бути з'єднаним розрізами з краєм. Програє той із гравців, після чийого розрізання аркуш розпадеться на дві чи більшу кількість частин. Хто виграє за умови правильної гри — той, хто починає, чи той, хто розрізає другим?
10 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-044

Гра з викреслюванням цифр і подільність на 3

Учитель писав на дошці цифри 123…9123…9123…123\ldots9123\ldots9123\ldots, доки не утворилося 20182018-цифрове число. Після цього Андрій та Олеся стали грати в таку гру. По черзі (розпочинає Андрій) вони викреслювали по дві цифри таким чином: або дві перші цифри числа, що залишилося після попереднього ходу, або дві останні цифри, або першу та останню цифри того числа. Гра закінчувалася, коли залишалося двоцифрове число. Перемагає Олеся, якщо це число ділиться на 33, інакше перемагає Андрій. Хто переможе за правильної гри обох гравців?
8 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-17-18-095

Чи пропрацює обчислювальний агрегат без зупинки 2018 хвилин

Обчислювальний агрегат працює за таким принципом: кожної нової хвилини за поданими йому на вхід цілими числами x1x_1, x2x_2, x3x_3 в указаному порядку він обчислює значення x4x_4, що задовольняє рівність x1(x4+x2)=x3(x3+x2)x_1(x_4 + x_2) = x_3(x_3 + x_2). Якщо x4x_4 виявляється нецілим, то агрегат припиняє роботу. Якщо x4x_4 ціле, то на вхід подається нова трійка чисел x1′=x2x_1' = x_2, x2′=x3x_2' = x_3 та x3′=x4x_3' = x_4, і через хвилину агрегат обчислює x4′x_4'. Чи зможе агрегат пропрацювати без зупинки принаймні 20182018 хвилин, якщо із самого початку задати x1=1x_1 = 1, x2=2x_2 = 2, x3=3x_3 = 3?
8 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-15-16-014

Найбільша кількість зіткнень 2016 божих корівок на палиці

У різні місця палки довжиною 11 м посадили 20162016 божих корівок. Кожна божа корівка біжить по палці або в один, або в другий бік зі швидкістю 11 см/с. Якщо дві божі корівки зіштовхуються, то вони розвертаються та біжать у протилежні боки. Якщо божа корівка добігає до будь-якого з кінців палки, вона відлітає. Яка найбільша кількість зіткнень божих корівок могла відбутися?
9 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-15-16-010

Мураха на кубі і різниця кількості маршрутів

Мураха стартує з вершини AA куба ABCDA1B1C1D1ABCDA_1B_1C_1D_1. Вона блукає протягом 2015 хвилин, при цьому за кожну хвилину переходить уздовж одного ребра в сусідню вершину. Позначимо через mm кількість таких мандрівок, що закінчуються у вершині BB, а через nn — таких, що закінчуються у вершині C1C_1. Знайдіть величину m−nm - n.
8 класШляхи на графах
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-019

2015 різних натуральних чисел із умовою подільності

Наведіть приклад 20152015 попарно різних натуральних чисел, які задовольняють умову: сума всіх чисел, крім будь-якого числа з набору, ділиться на це число.
9 класКонструкція за індукцією
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-046

Розбиття 2016-кутника діагоналями на трикутники трьох типів

На колі вибрано 20162016 точок. Їх послідовно сполучено за рухом годинникової стрілки таким чином, що утворився 20162016-кутник. Аліса та Базиліо за чергою (розпочинає Базиліо) проводять у ньому діагоналі, які можуть перетинатися лише у вершинах многокутника, доки це можливо. По завершенні гри многокутник буде розбито на трикутники трьох типів — нульові, одиничні та двійкові, залежно від того, скільки сторін трикутника збігається зі сторонами заданого многокутника (рис. 1.4). У прикінцевому розподілі Аліса отримує 11 золоту монету за кожний нульовий трикутник, а Базиліо — 11 золоту монету за кожний двійковий трикутник. Хто з них може отримати більше золотих монет та на скільки за умови правильної гри обох?
8 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-060

Великий хрест з числами та зміна знаків у хрестах

У кожній клітинці фігури «великий хрест» (рис. 1.6) стоїть число «+1+1». За один крок можна замінити знак на протилежний у всіх клітинках фігури «хрест» (рис. 1.7), що повністю розташована всередині «великого хреста». Чи можна за скінченну кількість кроків одержати «великий хрест», повністю заповнений числами «−1-1»?
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-099

Симетричне розсування фішок по клітинках квадрата

У деякій клітинці квадрата n×nn \times n, розбитого на n2n^2 клітинок, лежить n2n^2 фішок. За один крок дозволено з клітинки, у якій розташовано не менше двох фішок, пересунути по одній фішці у дві клітинки, що симетричні відносно даної та мають з нею принаймні одну спільну точку. Чи можливо, щоб через декілька кроків у кожній клітинці квадрата знаходилося рівно по одній фішці, якщо: а) n=2016n = 2016; б) n=2017n = 2017?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-107

Фішки в квадраті n×n і чотири типи ходів

Для деякого непарного nn квадрат n×nn \times n розбито на n2n^2 клітинок і в деякій його клітинці лежить n2n^2 фішок. За один крок дозволено з клітинки, у якій лежить не менше двох фішок, пересунути дві фішки у клітинки, що симетричні відносно даної та мають з нею принаймні одну спільну точку. Є чотири типи ходів: (1), коли фішки пересувають по вертикалі; (2), коли фішки пересувають по горизонталі; (3), коли фішки пересувають паралельно діагоналі квадрата, що йде з лівого нижнього кута у правий верхній; (4), коли фішки пересувають паралельно другій діагоналі квадрата. Через декілька кроків виявилося, що в кожній клітинці квадрата лежить рівно по одній фішці. Доведіть, що ходів типу (3) було зроблено таку саму кількість, що й ходів типу (4).
9 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-14-15-022

Обернення рівних частин намиста з pⁿ намистинок

Намисто складається з pnp^n намистинок, де pp — просте число, а n>2n > 2 — натуральне. За один хід дозволено розділити намисто на декілька рівних за кількістю намистинок частин, у кожному з яких порядок намистинок змінюється на протилежний, після чого частини з’єднують у початковому порядку в суцільні буси. Чи будь-який порядок послідовності намистинок можна одержати таким чином після скінченної кількості ходів?
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-003

Суми рядків і стовпців таблиці 8×8

У кожній клітині таблиці 8×88 \times 8 записано число 00 або 11. Леся підрахувала суми чисел у кожному рядку. Якщо записати ці суми в порядку зростання, вийде набір 0,1,2,2,2,5,60, 1, 2, 2, 2, 5, 6 та 88. Андрійко ж обчислив суми чисел у кожному стовпці. Якщо записати в порядку зростання його суми, вийде набір 0,2,2,3,4,4,50, 2, 2, 3, 4, 4, 5 та 66. Чи не помилився хтось із дітей у своїх підрахунках?
6 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-012

Жовті кульки у другій коробці і блакитні у першій

У першій коробці міститься кілька жовтих кульок, а у другій — кілька блакитних. Андрій перекладає декілька кульок із першої коробки в другу, після чого перемішує вміст другої коробки. Далі Леся перекладає таку ж саму кількість кульок із другої коробки в першу. Яких кульок тепер більше: жовтих у другій коробці чи блакитних у першій?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-055

Трійки чисел на дошці і можливість переходу

На дошці записано три числа aa, bb, cc. За один хід ми витираємо всі три числа і замість них записуємо числа aa, a(b+c−4)a(b+c-4) та a(b−2)(c−2)a(b-2)(c-2). Порядок чисел aa, bb, cc ролі не відіграє, тобто можна записати трійку чисел bb, b(c+a−4)b(c+a-4), b(c−2)(a−2)b(c-2)(a-2) або cc, c(a+b−4)c(a+b-4), c(a−2)(b−2)c(a-2)(b-2). Чи можна за декілька подібних ходів із трійки чисел 33, 44, 55 одержати трійку чисел 20122012, 90099009, 11 10011\,100, записаних у довільному порядку?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-115

Підвищення зарплат на 1, 2, …, n до рівності

На фірмі працюють nn співробітників; ii-й працівник має зарплатню ai∈Na_i\in\mathbb{N}, 1⩽i⩽n1\leqslant i\leqslant n. Керівник вирішив кожного місяця підвищувати працівникам зарплатню таким чином: одному на 11, другому на 22, …\ldots, останньому на nn. При цьому порядок, у якому працівники отримують підвищення, може бути різним. За яких умов на числа aia_i, 1⩽i⩽n1\leqslant i\leqslant n, керівник зможе за скінченну кількість часу зробити зарплатню всіх працівників однаковою?
11 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-08-09-008

Найменша кількість чудових пар за круглим столом

Припустимо, що n≥3n \ge 3 людей з різними іменами сидять за круглим столом. Назвемо невпорядковану пару людей AA та BB «чудовою», якщо AA та BB сидять не на сусідніх місцях та принаймні на одній з дуг, що з'єднують AA та BB по краю стола, всі імена людей, що сидять вздовж неї, за алфавітом йдуть після імен AA та BB. Знайдіть найменшу можливу кількість «чудових» пар.
8 класІнші інваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.