Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

27 задач
ГеометріяІнші точки трикутника
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-22-23-018

Симетричні точки основ бісектрис і перпендикуляри до сторін

У трикутнику ABCABC проведено бісектриси AA0AA_0, BB0BB_0 та CC0CC_0. Точка A1A_1 — симетрична точці A0A_0 відносно середини сторони BCBC. Аналогічно визначено точки B1B_1 та C1C_1. Описане коло трикутника A1B1C1A_1B_1C_1 перетинає вдруге сторони BCBC, CACA та ABAB трикутника ABCABC відповідно в точках XX, YY та ZZ. Доведіть, що коли перпендикуляри, проведені до сторін BCBC, CACA та ABAB із точок XX, YY та ZZ відповідно, перетинаються в одній точці, то трикутник ABCABC — рівнобедрений.
9 класІнші точки трикутника
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-089

Симедіана з вершини B і середина відрізка B1K

У трикутнику ABCABC провели висоти AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1. Точка KK — проєкція точки BB на A1C1A_1C_1. Доведіть, що симедіана трикутника ABCABC з вершини BB ділить відрізок B1KB_1K навпіл. Примітка. Симедіана — це чевіана трикутника, промінь якої симетричний променю медіани відносно бісектриси кута, проведеної з тієї самої вершини.
11 класАнтипаралельні прямі
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-107

Точка K у чотирикутнику з кутами 120° і 60°

В опуклому чотирикутнику ABCDABCD з кутами ABCABC та BCDBCD, що дорівнюють 120∘120^\circ, OO — точка перетину діагоналей, MM — середина сторони BCBC, KK — точка перетину прямих MOMO та ADAD. Відомо, що ∠BKC=60∘\angle BKC = 60^\circ. Доведіть, що ∠BKA=∠CKD=60∘\angle BKA = \angle CKD = 60^\circ.
11 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київський турнір математичних боївKMB-22-23-114

Прямі BP і DQ у прямокутнику з колом

Дано прямокутник ABCDABCD з різними сторонами. Нехай точка OO належить серединному перпендикуляру відрізка BDBD і лежить усередині трикутника BCDBCD. Коло із центром у точці OO проходить через точки BB і DD та перетинає вдруге сторону ABAB у точці EE і сторону DADA в точці FF. Нехай прямі BFBF і DEDE перетинаються в точці GG. Точки XX, YY, ZZ — це основи перпендикулярів, опущених із точки GG на прямі ABAB, BDBD та DADA відповідно. Точки LL, MM, NN — це основи перпендикулярів, опущених із точки OO на прямі CDCD, BDBD і BCBC відповідно. Нехай прямі XYXY і MLML перетинаються в точці PP, а прямі YZYZ і MNMN перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі BPBP та DQDQ паралельні.
10–11 класиРадикальна вісь
Київський турнір математичних боївKMB-18-19-115

Точка F і бісектриса через центр вписаного кола

Точка OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC (AB<ACAB < AC). Перпендикуляри, проведені через точки AA та OO до прямої BCBC, перетинають її в точках A1A_1 та PP відповідно. Прямі BOBO та COCO перетинають пряму AA1AA_1 у точках DD та EE відповідно. Описані кола трикутників ABDABD та ACEACE вдруге перетинаються в точці FF. Доведіть, що бісектриса кута FAPFAP проходить через центр вписаного кола трикутника ABCABC.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-153

Вписане коло трикутника та перетин прямих BC1 і CB1

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до його сторін у точках A0A_0, B0B_0, C0C_0. Пряма AA0AA_0 перетинає вдруге описане коло трикутника ABCABC у точці PP, а прямі PB0PB_0 та PC0PC_0 — у точках B1B_1 та C1C_1 відповідно. Для яких трикутників ABCABC прямі BC1BC_1 і CB1CB_1 перетинаються на прямій AA0AA_0?
10–11 класиПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-209

Рівність кута DET і кута ABC у трикутнику

Задано гострокутний нерівнобедрений трикутник ABCABC і точку PP усередині нього таку, що ∠APB=∠APC=α>180∘−∠BAC\angle APB=\angle APC=\alpha>180^\circ-\angle BAC. Описане коло трикутника APBAPB удруге перетинає пряму ACAC у точці EE, а описане коло трикутника APCAPC удруге перетинає пряму ABAB у точці FF. Нехай точку QQ вибрали всередині трикутника AEFAEF таким чином, що ∠AQE=∠AQF=α\angle AQE=\angle AQF=\alpha. Точку, симетричну QQ відносно прямої EFEF, позначимо літерою DD. Бісектриса кута EDFEDF перетинає APAP у точці TT. Доведіть, що ∠DET=∠ABC\angle DET=\angle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-14-15-160

Прямий кут з медіаною, бісектрисою та ортоцентром

У трикутнику ABCABC проведено медіану AMAM і бісектрису ALAL. Дотичні до описаного кола трикутника ABCABC, які проведені через точки BB і CC, перетинаються в точці FF. Пряма AFAF вдруге перетинає це коло в точці KK (K≠A)(K \neq A). Пряма AMAM перетинається з описаним колом трикутника AKLAKL в точці PP (P≠A)(P \neq A). Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Доведіть, що ∠APH=90∘\angle APH = 90^\circ.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Київський турнір математичних боївKMB-13-14-244

Трикутник, бісектриса і коло, що ділить навпіл BC

Задано трикутник ABCABC та описане навколо нього коло ww. Точка PP — середина дуги BACBAC кола ww. Коло w1w_1 з діаметром CPCP перетинає бісектрису кута BACBAC у точках KK і LL (точка KK належить відрізку ALAL). Точка MM симетрична точці LL відносно прямої BCBC. Доведіть, що описане коло трикутника BKMBKM ділить навпіл відрізок BCBC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-13-14-145

Точка всередині трикутника з найменшою сумою відстаней

Задано трикутник ABCABC. Знайдіть усередині цього трикутника таку точку MM, для якої сума довжин відрізків MAMA, MBMB, MCMC є мінімальною.
9 класІнші нерівності в геометрії
Київський турнір математичних боївKMB-12-13-202

Точка Жерґонна, точка Наґеля і перетин антибісектрис

Доведіть, що точка Жерґонна, точка Наґеля і точка перетину антибісектрис трикутника лежать на одній прямій. Точкою Жерґонна називають точку перетину трьох прямих, що сполучають вершини трикутника з точками дотику протилежних сторін до вписаного кола трикутника. Точкою Наґеля називають точку перетину трьох прямих, що сполучають вершини трикутника з точками дотику до протилежних сторін відповідних зовнівписаних кіл. Антибісектриса трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника з точкою на протилежній стороні, симетричною відносно середини сторони до основи опущеної на цю сторону бісектриси.
10–11 класиІнші точки трикутника
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-136

Відношення відрізків KL і MN у гострому куті

Дано гострий кут з вершиною OO. На одній стороні обрано довільні точки A,DA, D, на іншій – B,CB, C. Нехай M,NM, N – середини відрізків ABAB і CDCD відповідно. KK – точка перетину дотичних до описаного кола трикутника OABOAB в точках AA і BB; LL – точка перетину дотичних до описаного кола трикутника OCDOCD в точках CC і DD. Довести, що відношення KLMN\frac{KL}{MN} не залежить від вибору точок A,B,C,DA, B, C, D.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-145

Точки Нагеля, Жергона та перетину антибісектрис на прямій

Довести, що в різносторонньому трикутнику точка Нагеля NN, точка Жергона JJ та точка перетину антибісектрис SS лежать на одній прямій, де точка Нагеля – це точка перетину прямих, що з'єднують вершини трикутника з точками дотику зовнівписаних кіл зі сторонами; точка Жергона – це точка перетину прямих, що з'єднують вершини трикутника з точками дотику вписаного кола; антибісектриса – це відрізок, що з'єднує вершину трикутника з точкою, симетричною основі бісектриси відносно середини сторони.
10–11 класиТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-143

Паралельність прямих IK та NJ у різносторонньому трикутнику

Довести, що в різносторонньому трикутнику пряма IKIK паралельна прямій NJNJ, де: II – центр вписаного кола; KK – точка Лемуана – точка перетину прямих, що проходять через вершини трикутника і ділять протилежні стороні пропорційно квадратам довжин прилеглих сторін; NN – точка Нагеля – точка перетину прямих, що з'єднують вершини трикутника з точками дотику зовнівписаних кіл зі сторонами; JJ – точка Жергона – точка перетину прямих, що з'єднують вершини трикутника з точками дотику вписаного кола.
10–11 класиІнші точки трикутника
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-21-22-002

Трикутник з кутом 120° і коло, дотичне до AC

У трикутнику ABCABC, у якому ∠A=120∘\angle A = 120^\circ, відмітили центр OO описаного кола. Позначимо через PP та QQ основи перпендикулярів, проведених із вершини BB відповідно на прямі COCO та AOAO. Нехай точка MM — середина відрізка AOAO. Доведіть, що описане коло трикутника MPQMPQ дотикається до прямої ACAC.
10–11 класиІнші точки трикутника
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-12-13-006

Середини на прямій AB і дотична до описаного кола

Трикутник ABCABC має тупий кут при вершині BB, описане коло навколо нього позначимо через ww. Перпендикуляри до прямих CACA та CBCB, проведені в точці CC, перетинають пряму ABAB у точках PP і QQ відповідно. Позначимо середини відрізків BPBP і PQPQ через RR і SS відповідно. Відомо, що CB=CPCB=CP. Доведіть, що: а) CRCR дотикається до кола ww у точці CC; б) якщо TT — точка дотику іншої дотичної до кола ww, що проведена з точки RR, то CT⊥CSCT\perp CS.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-002

Прямі через вершини трикутника та точки на променях

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC, і цей центр не належить жодній з медіан AA0AA_0, BB0BB_0, CC0CC_0. На променях OA0OA_0, OB0OB_0 і OC0OC_0 позначили точки A1A_1, B1B_1, C1C_1 відповідно так, що ∠OAA0=∠OA1A\angle OAA_0 = \angle OA_1 A, ∠OBB0=∠OB1B\angle OBB_0 = \angle OB_1 B і ∠OCC0=∠OC1C\angle OCC_0 = \angle OC_1 C. Доведіть, що прямі AA1AA_1, BB1BB_1 і CC1CC_1 перетинаються в одній точці.
10–11 класиОзнаки подібності
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-003

Опуклий чотирикутник і точки X і Y на сторонах

Задано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому ∠BAD=∠BCD\angle BAD = \angle BCD і ∠ABC<∠ADC\angle ABC < \angle ADC. Точка MM є серединою діагоналі ACAC. Доведіть, що існують точки XX та YY на сторонах ABAB та BCBC відповідно такі, що XY⊥BDXY \perp BD, MX=MYMX = MY і ∠XMY=∠ADC−∠ABC\angle XMY = \angle ADC - \angle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-002

Рівнобічна трапеція, середина діагоналі та дотичні до кіл

Дано рівнобічну трапецію ABCDABCD з основами ABAB і CDCD. Нехай точка EE — середина сторони ACAC, ω\omega та Ω\Omega — описані кола трикутників ABEABE та CDECDE відповідно. Точка PP — точка перетину дотичної до кола ω\omega у точці AA та дотичної до кола Ω\Omega у точці DD. Доведіть, що пряма PEPE дотикається до кола Ω\Omega.
10–11 класиДотична кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2014-003

Чотирикутник з двома прямими кутами та дотична до кола

Дано опуклий чотирикутник ABCDABCD, у якому ∠ABC=∠CDA=90∘\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ. Точка HH — основа перпендикуляра, опущеного з точки AA на пряму BDBD. Точки SS і TT вибрали на відрізках ABAB і ADAD відповідно таким чином, що точка HH знаходиться всередині трикутника SCTSCT і виконуються рівності ∠CHS−∠CSB=90∘,∠THC−∠DTC=90∘.\angle CHS - \angle CSB = 90^\circ, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^\circ. Доведіть, що пряма BDBD дотикається до кола, описаного навколо трикутника TSHTSH.
10–11 класиІнверсія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-042

Паралельні прямі в трикутнику із серединами

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, AC=14AC = 14 і BC=15BC = 15. Нехай GG — точка на стороні ACAC така, що відбиття прямої BGBG відносно бісектриси кута ∠B\angle B проходить через середину сторони ACAC. Нехай YY — середина відрізка GCGC, а XX — точка на відрізку AGAG така, що AXXG=3\frac{AX}{XG} = 3. Точки FF і HH на сторонах ABAB і BCBC відповідно вибрано так, що FX∥BG∥HYFX \parallel BG \parallel HY. Якщо AHAH і CFCF перетинаються в точці ZZ, а WW лежить на ACAC так, що WZ∥BGWZ \parallel BG, знайдіть довжину відрізка WZWZ.
10–11 класиІнші точки трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-071

Вісім кривих трикутника 2, 3, 4 та їх перетини

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=2AB = 2, AC=3AC = 3, BC=4BC = 4. Ізогональним спряженням точки PP, позначеним P∗P^*, називається точка, отримана перетином відбиттів прямих PAPA, PBPB, PCPC відносно бісектрис кутів ∠A\angle A, ∠B\angle B і ∠C\angle C відповідно. Для точки QQ через K(Q)\mathfrak{K}(Q) позначимо єдину кубічну плоску криву, яка проходить через усі точки PP такі, що пряма PP∗PP^* містить QQ. Розглянемо: a. кубіку Маккея K(O)\mathfrak{K}(O), де OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC, b. кубіку Томсона K(G)\mathfrak{K}(G), де GG — центроїд трикутника △ABC\triangle ABC, c. кубіку Наполеона–Фейєрбаха K(N)\mathfrak{K}(N), де NN — центр кола дев'яти точок трикутника △ABC\triangle ABC, d. кубіку Дарбу K(L)\mathfrak{K}(L), де LL — точка де Лоншана (відбиття ортоцентра відносно точки OO), e. кубіку Нойберга K(X30)\mathfrak{K}(X_{30}), де X30X_{30} — нескінченно віддалена точка на прямій OGOG, f. коло дев'яти точок трикутника △ABC\triangle ABC, g. вписане коло трикутника △ABC\triangle ABC і h. описане коло трикутника △ABC\triangle ABC. Оцініть NN, кількість точок, що лежать принаймні на двох із цих восьми кривих. Оцінка EE дає ⌊20⋅2−∣N−E∣/6⌋\left\lfloor 20 \cdot 2^{-|N-E| / 6}\right\rfloor балів.
10–11 класиІнші точки трикутника
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-042

Фіксована точка з дотичних кіл і оцінка відрізка

Нехай ABCABC — нерівнобедрений трикутник, вписаний у коло Γ\Gamma радіуса RR. Коло, що проходить через AA і дотикається в точці CC до сторони [BC][BC], перетинає вдруге коло, що проходить через BB і дотикається в точці CC до сторони [AC][AC], у точці DD. a) Доведіть, що CD⩽RCD \leqslant R. b) Доведіть, що коли CC рухається по Γ\Gamma, пряма (CD)(CD) проходить через фіксовану точку.
9–11 класиІнші точки трикутника
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-096

Точка на стороні з умовами паралельності й перпендикулярності

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з центром описаного кола OO, у якому AB=4AB = 4, AC=5AC = 5 і BC=6BC = 6. Нехай DD — основа висоти з AA на BCBC, а EE — точка перетину прямої AOAO зі стороною BCBC. Припустімо, що XX лежить на BCBC між DD і EE так, що існує точка YY на ADAD, яка задовольняє XY∥AOXY \parallel AO і YO⊥AXYO \perp AX. Знайдіть довжину відрізка BXBX.
10–11 класиДотична кола
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2011-004

Паралельність відрізка Q1Q2 у чотирикутнику з кутовими умовами

Нехай PP — задана точка всередині чотирикутника ABCDABCD. Точки Q1Q_1 і Q2Q_2 розташовані всередині ABCDABCD так, що ∠Q1BC=∠ABP,∠Q1CB=∠DCP,∠Q2AD=∠BAP,∠Q2DA=∠CDP.\angle Q_1 BC = \angle ABP, \quad \angle Q_1 CB = \angle DCP, \quad \angle Q_2 AD = \angle BAP, \quad \angle Q_2 DA = \angle CDP. Доведіть, що Q1Q2‾∥AB‾\overline{Q_1Q_2} \parallel \overline{AB} тоді й лише тоді, коли Q1Q2‾∥CD‾\overline{Q_1Q_2} \parallel \overline{CD}.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.