Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

74 задачі
ГеометріяКомбінації кіл (точка Мікеля, лема Архімеда тощо)
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-24-25-111

Бісектриси BK і BL та пряма OD

Задано трикутник ABCABC, на стороні ACAC якого вибрали довільну точку DD. У трикутниках ABDABD та CBDCBD провели бісектриси BKBK та BLBL відповідно. Точка OO — центр описаного кола трикутника KBLKBL. Доведіть, що друга точка перетину описаних кіл трикутників ABLABL та CBKCBK лежить на прямій ODOD.
11 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-096

Рівнобедрений трикутник і дотична до описаного кола

На бічних сторонах ACAC і ABAB рівнобедреного трикутника ABCABC вибрано точки EE та FF відповідно так, що AE=BFAE = BF. Точку DD вибрано по той самий бік від прямої EFEF, що й точку AA, таким чином, що трикутники DFEDFE та ABCABC подібні. Пряма EFEF перетинає пряму BCBC у деякій точці KK. Доведіть, що пряма DKDK дотикається до описаного кола трикутника ABCABC.
9 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-23-24-110

Точка з рівними кутами в чотирикутнику і перпендикуляр

Усередині опуклого чотирикутника ABCDABCD вибрали точку XX так, що ∠XBC=∠XAD\angle XBC = \angle XAD і ∠XCB=∠XDA\angle XCB = \angle XDA. Промені ABAB і DCDC перетинаються в точці OO, описані кола трикутників BCOBCO й ADOADO перетинаються вдруге в точці TT. Доведіть, що пряма TXTX та перпендикуляр, опущений з точки OO на пряму BCBC, перетинаються на описаному колі трикутника AODAOD.
11 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-092

Точки K і L на дотичній та дотик кіл

Нехай точка II — центр вписаного в трикутник ABCABC кола, а PP — довільна точка, яку взято на дузі BACBAC його описаного кола. На дотичній до описаного кола ω\omega трикутника APIAPI в точці II взяли точки KK і LL такі, що BK=KIBK = KI та CL=LICL = LI. Доведіть, що описане коло трикутника PKLPKL дотикається до кола ω\omega.
10 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-20-21-059

Точка дотику вписаного кола, висота і бісектриса

У трикутнику ABCABC провели висоту BHBH і бісектрису BLBL, вписане коло ww дотикається до сторони ACAC у точці KK. Відомо, що ∠BKA=45∘\angle BKA = 45^\circ. Доведіть, що коло діаметром HLHL дотикається до кола ww.
11 класПроєктивна геометрія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-19-20-024

Симетричний образ точки M відносно EF на BC

На сторонах ABAB та ACAC трикутника ABCABC вибрано довільні точки EE та FF відповідно. Описане коло трикутника AEFAEF перетинає вдруге описане коло трикутника ABCABC у точці MM. Точка DD — симетричний образ точки MM відносно прямої EFEF, точка OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що точка DD лежить на стороні BCBC тоді й тільки тоді, коли точка OO належить описаному колу трикутника AEFAEF.
10 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-19-20-071

Перпендикулярність прямої Ейлера до BI і пряма XIM

Дано гострокутний нерівнобедрений трикутник ABCABC, прямі AKAK та CNCN — його бісектриси, II — точка їхнього перетину. Нехай XX — друга точка перетину кіл, описаних навколо трикутників ABCABC та KBNKBN. Нехай точка MM — середина сторони ACAC. Доведіть, що пряма Ейлера трикутника ABCABC перпендикулярна до прямої BIBI тоді й тільки тоді, коли точки XX, II та MM лежать на одній прямій. Примітка. Прямою Ейлера в нерівносторонньому трикутнику називають пряму, що проходить через точку перетину висот, точку перетину медіан і центр описаного кола трикутника.
10 класПряма Ейлера
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-15-16-122

Дотичні кола трикутника та колінеарність трьох точок

Задано трикутник ABCABC. Коло ww із центром у точці QQ дотикається до сторони BCBC, а також дотикається внутрішнім чином до описаного кола трикутника ABCABC у точці AA. Нехай MM — середина сторони BCBC, а NN — середина дуги BACBAC описаного кола трикутника ABCABC. На відрізку BCBC вибрано таку точку SS, що ∠BAM=∠SAC\angle BAM = \angle SAC. Доведіть, що точки NN, QQ та SS лежать на одній прямій.
11 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-065

Точка P на колі та рівність PM і PN

Кола w1w_1 та w2w_2 із центрами в точках O1O_1 та O2O_2 відповідно перетинаються в точках AA та BB. Навколо трикутника O1O2BO_1O_2B описали коло ww із центром у точці OO, яке перетинає кола w1w_1 та w2w_2 вдруге в точках KK та LL відповідно. Пряма OAOA перетинає кола w1w_1 та w2w_2 у точках MM та NN відповідно. Прямі MKMK та NLNL перетинаються в точці PP. Доведіть, що точка PP лежить на колі ww та PM=PNPM = PN.
10 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-092

Кут XZY для точки D на стороні BC

На стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC вибрано довільну точку DD. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC, а ZZ — точка цього кола, що діаметрально протилежна точці AA. Нехай XX, YY — такі точки на відрізках BOBO, COCO відповідно, для яких виконується умова ∠BXD+∠ABC=180∘=∠CYD+∠ACB.\angle BXD+\angle ABC=180^\circ=\angle CYD+\angle ACB. Доведіть, що градусна міра кута XZYXZY не залежить від вибору точки DD.
9 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-12-13-026

Бісектриса кута KJH і інцентр трикутника OCB

Задано рівнобедрений трикутник OCBOCB з вершиною OO, коло w=S(O,OB)w = S(O, OB). Дотичні до цього кола в точках BB і CC перетинаються в точці AA. Розглянемо коло w1w_1, що розташоване всередині трикутника ABCABC і дотикається до кола ww та сторони ACAC у точці HH. Коло w2w_2 також розташоване всередині трикутника ABCABC і дотикається до кола ww та кола w1w_1 у точці JJ та до сторони ABAB у точці KK. Доведіть, що бісектриса кута KJHKJH проходить через інцентр трикутника OCBOCB.
11 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-069

Бісектриса трикутника і центри двох вписаних кіл

Задано трикутник ABCABC, ADAD — його бісектриса. Нехай EE, FF — центри кіл, вписаних у трикутники ADCADC та ADBADB відповідно. Позначимо літерою ω\omega коло, описане навколо трикутника DEFDEF, літерою QQ — точку перетину BEBE та CFCF, а літерами HH, JJ, KK, MM — відповідно другі точки перетину прямих CECE, CFCF, BEBE, BFBF з колом ω\omega. Нехай ω1\omega_1, ω2\omega_2 — кола, описані навколо трикутників HQJHQJ та KQMKQM. Доведіть, що точка перетину кіл ω1\omega_1 і ω2\omega_2 відмінна від QQ і лежить на прямій ADAD.
9 класРадикальна вісь
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-12-13-127

Середина бісектриси трикутника та кола на сторонах

Нехай точка MM — середина бісектриси ADAD трикутника ABCABC. Коло ω2\omega_2 діаметра ACAC перетинає відрізок BMBM у точці EE, а коло ω1\omega_1 діаметра ABAB перетинає відрізок CMCM у точці FF. Доведіть, що точки BB, EE, FF, CC лежать на одному колі.
10 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-014

Рівнобедрений трикутник на перетині двох кіл

AA й BB — точки перетину кіл S1S_1 та S2S_2 таких, що центр кола S1S_1 лежить на колі S2S_2, а центр кола S2S_2 лежить на колі S1S_1. Точку CC, відмінну від точки BB, вибрано на колі S1S_1 так, що AC=ABAC = AB. Знайдіть кути трикутника ABCABC.
8 класРівнобедрений та рівносторонній т…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-11-12-105

Перпендикулярність A'C' і B'M при добудовах трикутника

На сторонах гострокутного трикутника ABCABC зовні його побудовано трикутники A′BCA'BC, AB′CAB'C, ABC′ABC' так, що ∠ABC′=∠A′BC=∠B′AC=30∘\angle ABC' = \angle A'BC = \angle B'AC = 30^\circ та ∠BAC′=∠A′CB=∠AB′C=90∘\angle BAC' = \angle A'CB = \angle AB'C = 90^\circ. Довести, що A′C′⊥B′MA'C' \perp B'M, де MM — середина BCBC.
10 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-10-11-087

Три дотичні кола і прямі через кінці діаметрів

У трьох колах, що попарно дотикаються зовнішнім чином, провели однаково напрямлені діаметри A1A2A_1A_2, B1B2B_1B_2, C1C2C_1C_2 (кожен із чотирикутників A1B1B2A2A_1B_1B_2A_2 та A1C1C2A2A_1C_1C_2A_2 є паралелограмом або трапецією, у якої відрізок A1A2A_1A_2 є основою). Доведіть, що прямі A1B2A_1B_2, B1C2B_1C_2 та C1A2C_1A_2 перетинаються в одній точці.
11 класКола, що дотикаються
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-09-10-007

Перетини кіл з центрами у вершинах вписаного чотирикутника

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, вписаний у коло з центром у точці OO та радіусом RR (через (O,R)(O, R) тут і далі будемо позначати коло з центром у точці OO та радіусом RR). Розглянемо чотири кола γA=(A,R)\gamma_A = (A, R), γB=(B,R)\gamma_B = (B, R), γC=(C,R)\gamma_C = (C, R), γD=(D,R)\gamma_D = (D, R) і позначимо їх точки перетину, відмінні від точки OO, таким чином: K∈γA∩γBK \in \gamma_A \cap \gamma_B, L∈γB∩γCL \in \gamma_B \cap \gamma_C, M∈γC∩γDM \in \gamma_C \cap \gamma_D, N∈γD∩γAN \in \gamma_D \cap \gamma_A. Доведіть, що KLMNKLMN — паралелограм.
8 класКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Київський турнір математичних боївKMB-19-20-122

Три дотичні кола та точки A, B, C

Три задані кола k,k1,k2k, k_1, k_2, які дотикаються одне до одного, розташовано таким чином, що кола k1,k2k_1, k_2 дотикаються зовнішнім чином у точці WW, яка лежить усередині кола kk. Так само відомо, що точки AA, BB, CC на колі kk задовольняють умови: пряма BCBC дотикається в різних точках до кіл k1,k2k_1, k_2, пряма WAWA — спільна дотична до цих кіл, при цьому точки AA, WW лежать по один бік від прямої BCBC. Доведіть, що точка WW — центр вписаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-110

Точки дотику вписаного кола та перетини з описаним

Позначимо через c (O,R)c\,(O, R) описане коло гострокутного трикутника ABCABC (AB<AC<BCAB < AC < BC), точки DD, EE, GG — точки дотику вписаного кола до сторін BCBC, ACAC та ABAB відповідно. Кола c1c_1, c2c_2 та c3c_3, описані навколо трикутників AEGAEG, BDGBDG та CDECDE відповідно, перетинають удруге коло cc у точках A′A', B′B' та C′C' відповідно. Доведіть, що чотирикутник DEA′B′DEA'B' — вписаний.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-175

Бісектриса кута між діагоналями вписаного чотирикутника

Діагоналі вписаного чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці OO. Пряма ll ділить кут AOBAOB навпіл. Через (a,b,c)(a, b, c) позначимо невироджений трикутник, утворений цими трьома прямими. Доведіть, що описані кола трикутників Δ1=(l,AB,CD)\Delta_1 = (l, AB, CD) та Δ2=(l,AD,BC)\Delta_2 = (l, AD, BC) дотикаються.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-175

Точка Мікеля чотирикутника і прямі B1B3 та B2B4

Нехай MM — точка Мікеля опуклого чотирикутника A1A2A3A4A_1A_2A_3A_4. Бісектриса кута AiMAi+1A_iMA_{i+1} перетинає пряму AiAi+1A_iA_{i+1} в точці BiB_i, i=1,2,3,4 (A5≡A1)i=1,2,3,4\,(A_5\equiv A_1). Доведіть, що прямі B1B3B_1B_3 та B2B4B_2B_4 при перетині утворюють кути 12(A1+A3)\dfrac{1}{2}(A_1+A_3) та 12(A2+A4)\dfrac{1}{2}(A_2+A_4). Примітка. Нехай чотири прямі розташовані загальним чином, у результаті їхнього взаємного перетину утворюються чотири трикутники. Тоді описані навколо цих трикутників кола мають спільну точку, яку називають точкою Мікеля цієї конфігурації прямих.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-149

Середини сторін вписаного чотирикутника і перпендикуляр до діагоналі

Точки MM, NN, PP, QQ — відповідні середини сторін DADA, ABAB, BCBC, CDCD вписаного чотирикутника ABCDABCD. Діагоналі ACAC та BDBD перетинаються в точці EE. Описані кола трикутників EMNEMN та EPQEPQ удруге перетинаються в точці FF. Доведіть, що EF⊥ACEF \perp AC.
9 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-225

Перетин кіл через середини сторін чотирикутника

У чотирикутнику ABCDABCD сторони ABAB і CDCD не паралельні. Середини сторін ADAD і BCBC позначимо літерами MM і NN. Пряма MNMN перетинає діагоналі ACAC і BDBD у точках KK і LL. Доведіть, що описані кола трикутників AKMAKM і BNLBNL перетинаються на прямій ABAB.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-256

Ортоцентр, інцентр, зовнівписане коло і перетини прямих

Для гострокутного трикутника ABCABC точки HH, II та IcI_c — відповідно його ортоцентр, інцентр та центр зовнівписаного кола ωc\omega_c, що дотикається до сторони ABAB. Відрізок CC1CC_1 — висота трикутника ABCABC, FF — проекція точки II на сторону ABAB. Позначимо точки перетину прямих таким чином: HI∩AB=DHI \cap AB = D, HIc∩CD=EHI_c \cap CD = E, EC1∩CF=MEC_1 \cap CF = M. Доведіть, що точка MM лежить на колі ωc\omega_c.
10–11 класиГомотерія і подібність
Київський турнір математичних боївKMB-12-13-201

Серединний перпендикуляр до бісектриси та рівність кутів

Серединний перпендикуляр до бісектриси ADAD трикутника ABCABC перетинає описане коло трикутника в точках KK і LL. Коло радіуса AKAK з центром у точці KK вдруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці SS, а коло радіуса ALAL із центром у точці LL удруге перетинає описане коло трикутника в точці TT. Доведіть, що ∠BAS=∠CAT\angle BAS = \angle CAT.
10–11 класиЦентральні і вписані кути

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.