Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

99 задач
ГеометріяКомплексні числа
Київський турнір математичних боївKMB-18-19-147

Степені відстаней точки описаного кола рівностороннього трикутника

Трикутник ABCABC — рівносторонній, точка PP — деяка точка на описаному колі. Для яких натуральних nn сума Sn(P)=APn+BPn+CPnS_n(P) = AP^n + BP^n + CP^n не залежить від вибору точки PP на описаному колі?
10–11 класиМетод координат
Київський турнір математичних боївKMB-15-16-146

Значення параметра a і n для подільності многочленів

Визначте такі значення параметра a∈Ca \in \mathbb{C} та n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+, для яких многочлен g(x)=x2−x+1g(x) = x^2 - x + 1 є дільником многочлена f(x)=(x−1)n+(x−2)2n+1+(1−x2)2n+1+af(x) = (x-1)^n + (x-2)^{2n+1} + (1-x^2)^{2n+1} + a.
10–11 класиКомплексні числа
Київський турнір математичних боївKMB-15-16-147

Перпендикуляри до сторін трикутника і рівність відрізків

Нехай точка PP розташована всередині трикутника ABCABC. Будуємо такі точки P1P_1, P2P_2, P3P_3, що задовольняють умови: PP1⊥BCPP_1 \perp BC, PP2⊥CAPP_2 \perp CA, PP3⊥ABPP_3 \perp AB та BP3=BP1BP_3 = BP_1, CP2=CP1CP_2 = CP_1. Доведіть, що AP3=AP2AP_3 = AP_2.
10–11 класиКомплексні числа
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-188

Трикутники на сторонах чотирикутника і найбільше відношення

Правильні трикутники ABQABQ, BCRBCR, CDSCDS, DAPDAP побудовані в зовнішній бік на сторонах чотирикутника ABCDABCD. Точки XX, YY, ZZ, TT — середини відрізків PQPQ, QRQR, RSRS, SPSP відповідно. Визначте найбільше можливе значення відношення XZ+YTAC+BD\dfrac{XZ+YT}{AC+BD}.
10–11 класиКомплексні числа
Київська математична карусельKMC-07-08-062

Сума біноміальних коефіцієнтів з індексами кратними чотирьом

Знайти суму C20070+C20074+C20078+...+C20072004C_{2007}^0 + C_{2007}^4 + C_{2007}^8 + ... + C_{2007}^{2004}.
10–11 класиКомплексні числа
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-120

Підмножини вершин правильного p-кутника з нульовою сумою векторів

pp – просте число і множина S={1,2,…,p}S = \{1, 2, \ldots, p\}. Нехай A1,A2,…,ApA_1, A_2, \ldots, A_p – вершини правильного pp-кутника, OO – його центр. Знайти всі підмножини σ⊂S\sigma \subset S, для яких виконується рівність: ∑j∈σOAj→=0→.\sum_{j \in \sigma} \overrightarrow{OA_j} = \overrightarrow{0}.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-089

Сума попарних добутків при добутку a² + 1

Дійсні числа aa, bb, cc, dd задовольняють умову (a2+1)(b2+1)(c2+1)(d2+1)=16(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)=16. Доведіть, що справджується нерівність −3⩽ab+ac+ad+bc+bd+cd−abcd⩽5-3 \leqslant ab+ac+ad+bc+bd+cd-abcd \leqslant 5.
9 класКомплексні числа
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-06-07-009

Подібність трикутників з перетинів кіл і симетричних точок

Точки A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 обрані на сторонах BC,CA,ABBC, CA, AB трикутника ABCABC відповідно. Кола, що описані навколо трикутників AB1C1AB_1C_1, BC1A1BC_1A_1, CA1B1CA_1B_1, перетинають описане навколо трикутника ABCABC коло в точках A2,B2,C2A_2, B_2, C_2 відповідно (A2≠A,B2≠B,C2≠C)\left(A_2 \ne A, B_2 \ne B, C_2 \ne C\right). Точки A3,B3,C3A_3, B_3, C_3 є симетричними точкам A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 відносно середин сторін BC,CA,ABBC, CA, AB відповідно. Довести, що трикутники A2B2C2A_2B_2C_2, A3B3C3A_3B_3C_3 є подібними.
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-03-04-010

Діагоналі шестикутника з перетину трикутників PQR і DEF

Нехай II — точка перетину бісектрис трикутника ABCABC. Коло ω\omega з центром у точці II перетинає сторону BCBC в точках DD і PP (точка DD лежить між BB і PP), сторону CACA — у точках EE і QQ (точка EE лежить між CC і QQ), сторону ABAB — у точках FF і RR (точка FF лежить між AA і RR). Трикутники PQRPQR і DEFDEF утворюють у перетині шестикутник. Доведіть, що діагоналі цього шестикутника, які сполучають протилежні вершини, перетинаються в одній точці.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2024-003

N-допустима множина і трикутники з кутами до 61°

Для натурального числа nn множину SS назвемо nn-допустимою, якщо: - кожен елемент множини SS є невпорядкованою трійкою чисел у множині {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}, ∣S∣=n−2;|S| = n - 2; - для кожного натурального числа kk, такого, що 1⩽k⩽n−21 \leqslant k \leqslant n - 2, та для будь-яких kk попарно різних елементів A1,A2,…,Ak∈SA_1, A_2, \ldots, A_k \in S справджується умова ∣A1∪A2∪…∪Ak∣⩾k+2.|A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k| \geqslant k + 2. Чи дійсно для всіх n>3n > 3 та для кожної nn-допустимої множини SS існують попарно різні точки P1,P2,…,PnP_1, P_2, \ldots, P_n на площині такі, що для будь-якої трійки {i,j,k}\{i, j, k\} у множині SS градусні міри кутів трикутника PiPjPkP_iP_jP_k є меншими за 61∘61^\circ?
10–11 класиКомплексні числа
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-003

Найменший степінь многочлена для вершин правильного 2n-кутника

Нехай n⩾2n \geqslant 2 — натуральне число, а ff — многочлен з дійсними коефіцієнтами від 4n4n змінних. Припустимо, що для будь-яких 2n2n точок (x1,y1),…,(x2n,y2n)(x_1, y_1), \ldots, (x_{2n}, y_{2n}) на декартовій площині значення многочлена f(x1,y1,…,x2n,y2n)=0f(x_1, y_1, \ldots, x_{2n}, y_{2n}) = 0 тоді й тільки тоді, коли ці точки утворюють у деякому порядку вершини правильного 2n2n-кутника або всі збігаються. Знайдіть найменший можливий степінь многочлена ff. Примітка. Нагадаємо, що степінь многочлена дорівнює найбільшому зі степенів одночленів у його складі, тобто сумі показників степенів усіх змінних цього одночлена. Наприклад, степінь многочлена g(x,y)=4x3y4+yx+x−2g(x, y) = 4x^3y^4 + yx + x - 2 дорівнює 77, оскільки 7=3+47 = 3 + 4.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-004

Середина відрізка AH і проєкції точок B і C

У гострокутному трикутнику ABCABC нехай точки HH та OO є ортоцентром і центром описаного кола відповідно. Нехай точка KK — це середина відрізка AHAH. Нехай ll — це пряма, що проходить через точку OO, а точки PP та QQ — ортогональні проєкції на пряму ll точок BB і CC відповідно. Доведіть, що KP+KQ⩾BCKP + KQ \geqslant BC.
10–11 класиПоворот
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-009

Середина між точками з різними швидкостями на колі

Нехай Γ\Gamma — коло на площині, а SS — точка на колі Γ\Gamma. Два брати, Маріо та Луїджі, їздять по колу Γ\Gamma на своїх картах. Вони обидва стартують із SS одночасно, обидва їдуть рівно 6 хвилин зі сталою швидкістю проти годинникової стрілки навколо траси. За ці 6 хвилин Луїджі робить рівно одне коло по Γ\Gamma, тоді як Маріо, який утричі швидший, робить три кола. Поки Маріо та Луїджі їдуть на своїх картах, принцеса Дейзі розташовується так, щоб завжди бути точно посередині між двома братами. Коли вона потрапляє в точку, в якій вже побувала, вона позначає її бананом. Скільки точок на площині, крім SS, буде позначено бананом після перегонів?
10–11 класиКомплексні числа
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2025-009

Система рівнянь з модулями та єдиний розв'язок

Нехай kk — дійсне число таке, що система ∣25+20i−z∣=5∣z−4−k∣=∣z−3i−k∣\begin{aligned} |25 + 20i - z| &= 5 \\ |z - 4 - k| &= |z - 3i - k| \end{aligned} має рівно один комплексний розв'язок zz. Суму всіх можливих значень kk можна записати як mn\frac{m}{n}, де mm і nn — взаємно прості натуральні числа. Знайдіть m+nm+n. Тут i=−1i = \sqrt{-1}.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-044

Умова на одиничному колі для суми дробів

Кожне з комплексних чисел ω1\omega_{1}, …\ldots, ωn\omega_{n} має модуль 11. Нехай zz — комплексне число, відмінне від ω1\omega_{1}, …\ldots, ωn\omega_{n}, таке, що z+ω1z−ω1+⋯+z+ωnz−ωn=0.\frac{z + \omega_{1}}{z - \omega_{1}} + \dots + \frac{z + \omega_{n}}{z - \omega_{n}} = 0. Доведіть, що ∣z∣=1|z| = 1.
10–11 класиКомплексні числа2 розв’язки
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-012

Найменший кут у прямокутних трикутниках

Нехай α\alpha — радіанна міра найменшого кута прямокутного трикутника 33-44-55. Нехай β\beta — радіанна міра найменшого кута прямокутного трикутника 77-2424-2525. Виразіть β\beta через α\alpha. (A) α3\frac{\alpha}{3} (B) α−π8\alpha - \frac{\pi}{8} (C) π2−2α\frac{\pi}{2} - 2\alpha (D) α2\frac{\alpha}{2} (E) π−4α\pi - 4\alpha
10–11 класиПеретворення тригонометричних вир…
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-015

Площа чотирикутника за степенями комплексного числа

Нехай zz — комплексне число з додатною уявною частиною, з дійсною частиною, більшою за 11, і таке, що ∣z∣=2|z| = 2. На комплексній площині чотири значення 00, zz, z2z^2 і z3z^3 є вершинами чотирикутника з площею 1515. Чому дорівнює уявна частина zz? (A) 34\frac{3}{4} (B) 11 (C) 43\frac{4}{3} (D) 32\frac{3}{2} (E) 53\frac{5}{3}
10–11 класиКомплексні числа
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-029

Примітивні піфагорові трикутники з сумою кутів

Величини найменших кутів трьох різних прямокутних трикутників у сумі дають 90∘90^\circ. Довжини сторін усіх трьох трикутників утворюють примітивні піфагорові трійки. Дві з них — 33-44-55 і 55-1212-1313. Чому дорівнює периметр третього трикутника? (A) 4040 (B) 126126 (C) 154154 (D) 176176 (E) 208208
10–11 класиПіфагорові трійки
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-031

Сума добутків квадратів тангенсів

Обчисліть значення виразу tg⁡2π16⋅tg⁡23π16+tg⁡2π16⋅tg⁡25π16+tg⁡23π16⋅tg⁡27π16+tg⁡25π16⋅tg⁡27π16\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{16} \cdot \operatorname{tg}^2 \frac{3\pi}{16} + \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{16} \cdot \operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{16} + \operatorname{tg}^2 \frac{3\pi}{16} \cdot \operatorname{tg}^2 \frac{7\pi}{16} + \operatorname{tg}^2 \frac{5\pi}{16} \cdot \operatorname{tg}^2 \frac{7\pi}{16}
10–11 класиТеорема Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-096

Тангенси кутів з внутрішньої точки правильного шестикутника

Нехай ABCDEFA B C D E F — правильний шестикутник, а PP — точка в його внутрішності. Доведіть, що з трьох значень tg⁡∠APD\operatorname{tg} \angle A P D, tg⁡∠BPE\operatorname{tg} \angle B P E і tg⁡∠CPF\operatorname{tg} \angle C P F два в сумі дають третє.
10–11 класиРадикальна вісь3 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-120

Сума коренів тринадцятого степеня з фіксованим модулем

Нехай ζ=cos⁡2π13+isin⁡2π13\zeta = \cos \frac{2\pi}{13} + i \sin \frac{2\pi}{13}. Припустімо, що a>b>c>da > b > c > d — натуральні числа, які задовольняють ∣ζa+ζb+ζc+ζd∣=3\left|\zeta^{a} + \zeta^{b} + \zeta^{c} + \zeta^{d}\right| = \sqrt{3} Обчисліть найменше можливе значення 1000a+100b+10c+d1000a + 100b + 10c + d.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-069

Відстань між центрами кіл за довжинами дотичних

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, які не перетинаються. Припустімо, що виконуються такі три умови: - Довжина спільної внутрішньої дотичної до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дорівнює 1919. - Довжина спільної зовнішньої дотичної до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} дорівнює 3737. - Якщо точки XX і YY вибрано на колах ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} відповідно рівномірно навмання, то математичне сподівання XY2XY^{2} дорівнює 20232023. Обчисліть відстань між центрами кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2}.
10–11 класиЗастосування тригонометрії2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2023-027

Середина PQ на прямій Ейлера

Нехай ABCABC — різносторонній трикутник, а PP і QQ — дві різні точки в його внутрішній області. Припустимо, що бісектриси кутів ∠PAQ\angle PAQ, ∠PBQ\angle PBQ і ∠PCQ\angle PCQ є висотами трикутника ABCABC. Доведіть, що середина відрізка PQ‾\overline{PQ} лежить на прямій Ейлера трикутника ABCABC.
10–11 класиПряма Ейлера3 розв’язки
Американський запрошувальний математичний іспит (AIME)AIME-2022-003

Кількість пар для рівняння i·wʳ = zˢ

Нехай w=3+i2w = \frac{\sqrt{3}+i}{2} і z=−1+i32z = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, де i=−1i = \sqrt{-1}. Знайдіть кількість впорядкованих пар (r,s)(r, s) натуральних чисел, що не перевищують 100100, які задовольняють рівняння i⋅wr=zsi \cdot w^r = z^s.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-120

Рівність степеневих сум координат вершин п’ятикутника

Нехай (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)(x_{1}, y_{1}),(x_{2}, y_{2}),(x_{3}, y_{3}),(x_{4}, y_{4}) і (x5,y5)(x_{5}, y_{5}) — вершини правильного п’ятикутника з центром у (0,0)(0,0). Обчисліть добуток усіх натуральних чисел kk, для яких рівність x1k+x2k+x3k+x4k+x5k=y1k+y2k+y3k+y4k+y5kx_{1}^{k}+x_{2}^{k}+x_{3}^{k}+x_{4}^{k}+x_{5}^{k}=y_{1}^{k}+y_{2}^{k}+y_{3}^{k}+y_{4}^{k}+y_{5}^{k} обов’язково виконується для всіх можливих виборів п’ятикутника.
10–11 класиКомплексні числа

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.